用多项式除法求矩阵多项式的逆

杨海霞 张会凌 吴应琴

摘 要：以线性代数教学中的一类重要问题“求矩阵多项式的逆矩阵”为例，利用多项式的带余除法，特别是综合除法介绍最常见的一类矩阵多项式求逆的具体计算方法，使得这类问题的求解简单高效、容易掌握。由于这种方法具有一定的构造性，也可使此类问题的解决思路更加清晰，激发学生后续学习的兴趣。

关键词：矩阵多项式;求逆;多项式除法;综合除法

中图分类号：O151.21文献标识码：A

Using Division to Calculate the Inverse of a Matrix Polynomial

Yang Haixia1 Zhang Huiling1 Wu Yingqin2

1.School of Education，Lanzhou University of Arts and Sciences GansuLanzhou 730000;

2.Key laboratory of Petroleum Resource Research，Northwest Institute of EcoEnvironment and Research，

Chinese Academy of Sciences GansuLanzhou 730000

Abstract：This paper takes an important problem of“calculation of the inverse of amatrix polynomiain”in the teaching of linear algebra as an example.Using polynomial division，especially the synthetic division，this paper gives an algorithm to calculate the inverse of matrix polynomial.This method makes the solution of this kind of problem simple，efficient and easy to understand.The constructive algorithm can resolve above mentioned problems efficiently.To stimulate students′ interest in followup learning.

Key words：matrix polynomial;inverse;polynomial division;synthetic division

1 緒论

关于矩阵多项式的求逆，有时可以用“凑”的方法直接得出答案。如在A2=O的条件下，可以看出E+A和E-A互逆，对于一些较为复杂的矩阵多项式，要凑出答案则需要相当的技巧和经验，学生经常会有无从下手之感。

在一般情况下求矩阵多项式的逆，首先需要回答可逆性问题。文献[1]和[2]等已基本解决了在几种典型的情况下一些矩阵多项式的可逆性的判定。这些判定法则大都用到方阵A的特征多项式，而在许多时候，A只是一个抽象的n阶方阵，无法确定其特征多项式，因而不能从根本上解决f（A）的可逆问题以及逆的具体计算问题。例如，已知n阶方阵A满足A3=2E，求证A+2E可逆并求（A+2E）-1[3]。这里，直接凑答案很困难，也无法知道A的特征多项式，因而不能使用上述文献中给出的方法求解，但利用本文给出的综合除法很容易求解（见例2）。

本文将以多项式理论为基础，利用多项式的带余除法重点解决在给定条件下一次矩阵多项式的求逆问题。

2 在f（A）=O的条件下求一次矩阵多项式aA+bE的逆

当A是一个具体的n阶方阵时，aA+bE也是一个具体的n阶方阵，其逆矩阵可以直接计算。

以下总假定A是一个抽象的n阶方阵，要在条件f（A）=O下判定一次矩阵多项式aA+bE的可逆性（a≠0），并在可逆时求其逆。此时有3种情形：

（1）f（A）也是一次矩阵多项式。此时若f（A）与aA+bE成比例，则显然aA+bE不可逆;若f（A）与aA+bE不成比例，则aA+bE可逆，其逆可直接写出。

例1 设5A+3E=O，求3A-2E的逆矩阵。

解 由5A+3E=O知A=-35E，3A-2E=-195E，（3A-2E）-519E=E，故有：

（3A-2E）-1=-519E

（2）f（A）是m次（m≥2）矩阵多项式，则当-ba不是f（x）的根时，用综合除法必可求出f（x）=（ax+b）h（x）+c，且此处c≠0。因有f（A）=O，故：

（aA+bE）h（A）+cE=O，（aA+bE）-1=-1ch（A）

例2 已知n阶方阵A满足A3=2E，求证A+2E可逆并求（A+2E）-1。

解 条件A3=2E可写成A3-2E=O，用A+2E即A-（-2E）去除A3-2E就得算式1。

算式1 形式地对矩阵多项式作除法

算式2 综合除法

结果是：

（A+2E）（A2-2A+4E）-10E=A3-2E=O

即：

（A+2E）（A2-2A+4E）=10E

故：

（A+2E）-1=110（A2-2A+4E）=110（A-2E）2

由于所作的带余除法的结果相当于（x+2）（x2-2x+4）-10=x3-2=0，x+2是x的一次式，故可利用综合除法直接写出算式2。用此法可以很简捷地得出正确的结果。

下面用综合除法求解一个出现在许多线性代数教材中的问题[3]。

例3 设n阶方阵A是幂零矩阵，即存在某正数k使Ak=O，则E-A可逆，且其逆为E+A2+…+Ak-1。[3]

证 由于本题的特殊性，可利用公式xk-1=（x-1）（xk-1+xk-2+…+x+1）求解。但综合除法对此类问题具有普遍的适应性。

用x-1去除xk，结果如下表：

于是xk=（x-1）（xk-1+xk-2+…+x+1）+1。而xk=0，故有（1-x）（xk-1+xk-2+…+x+1）=1。

对应地得到（E-A）（Ak-1+Ak-2+…+A+E）=E。

故E-A可逆，且（E-A）-1=E+A2+…+Ak-1。

（3）ax+b可整除f（x）。即有多项式h（x）使f（x）=（ax+b）h（x），对应地有（aA+bE）h（A）=O。

此时aA+bE的可逆性一般无法确定。但若假定aA+bE可逆，则可得h（A）=O。若能从中解出A，就可确定aA+bE的逆。

例4 设A2-5A+6E=O，判断A-2E的可逆性。

解 原条件可写成A2-5A+6E=（A-2E）（A-3E）=O。

因为矩阵的乘法是一種有零因子的乘法，故由（A-2E）（A-3E）=O并不能得出A-2E=O或A-3E=O得结论。但是A-2E=O时自身不可逆却是显然的。

若直接假定A-2E可逆，则由（1）可得A-3E=O，A=3E，此时A-2E=3E-2E=E，故A-2E可逆，逆矩阵就是E。

3 在f（A）=O的条件下求高次矩阵多项式g（A）的逆

不失一般性，可设f（A）的次数高于g（A）的次数，且g（A）的次数不小于2。假定仅知道A为一个n阶矩阵，设有条件f（A）=O，判定矩阵多项式g（A）的可逆性。此时根据文献[1]，有下面的结论：

结论 设A为一个n阶矩阵，C为复数域，f（x），g（x）∈C[x]，f（A）=O，且f（x）的根都是A的特征根，则g（A）可逆的充要条件是（f（x），g（x））=1。此时有u（x），v（x）∈C[x]，使得：u（x）f（x）+v（x）g（x）=1，且g（A）1=v（A）。

当A未具体给出时，无法确定有A的特征根是否都是f（x）的根。但f（x）和g（x）互素是g（A）可逆的一个充分条件。

有时，A是一个抽象的n阶方阵，其特征值无法确定。若存在多项式p（x）使得f（x）=g（x）p（x）f（A），则可用多项式的辗转相除法求g（A）1[2]，此处就不再进行详尽的讨论。

4 结语

本文以“矩阵多项式求逆矩阵”这一线性代数中的一类重要问题为例[48]，利用多项式除法的技巧来解决这类问题，给学生提供多角度、新思路来理解新内容，保证高质量的教学效果，激发学生后续学习的兴趣。

参考文献：

[1]王新哲.关于矩阵多项式的逆矩阵求法的一个注记[J].大学数学，2007，23（5）：1516.

[2]郭忠海.矩阵多项式可逆性判别及矩阵逆的求法[J].电力学报，2006，18（2）：2526.

[3]杨志明，李生彪.线性代数[M].兰州：甘肃教育出版社，2010：102103.

[4]吴华安.矩阵多项式的逆矩阵的求法[J].大学数学，2004（04）：8991.

[5]陈梅香，杨忠鹏，林志兴，等.矩阵多项式与可逆矩阵的确定[J].北华大学学报（自然科学版），2013，14（02）：153155.

[6]原子霞.矩阵多项式的逆矩阵的计算[J].教育教学论坛，2018（52）：161162.

[7]徐大树.矩阵及其多项式的若干问题研究[J].高等数学研究，2019，22（04）：101102.

[8]张羽驰.矩阵多项式的逆矩阵求解方法[J].黑龙江科技信息，2016（25）：80.

基金项目：兰州文理学院教育教学改革项目“基于数学建模思想下教学模式的改革研究—数学建模思想应用在种群生态学方面的能力研究”;国家自然科学基金资助项目（41772147）;兰州文理学院“线上教学”教改专项立项建设项目（20200124）

作者简介：杨海霞（1972— ），女，甘肃天水人，硕士，讲师，主要从事生物数学方面的研究和教学工作。