基于高阶微分方程构造函数的等价无穷小

刘前芳 何英杰 杨立敏

摘 要：等价无穷小替换是数学学习中一种常见且有效的求极限方法。針对和差运算中的等价无穷小，或是不易找到等价无穷小的函数，通过使用洛必达法则，结合连续函数的定义，构造具有初值条件的高阶微分方程，可以找到该函数在指定过程下的等价无穷小函数，从而应用到极限运算或其他计算当中。

关键词：等价无穷小;洛必达法则;高阶微分方程

1 绪论

微积分以函数为“体”，极限为“魂”，以极限为工具来研究函数.极限是微积分的理论基础，是大学数学里极其重要的一部分。求极限的方法有很多种，有定义法、有理化法、洛必达法则、中值定理等[1]，等价无穷小替换也是其中一种简便的算法。如何正确的找到已知函数的等价无穷小是使用这种方法过程中至关重要的一步。本文研究讨论函数在满足洛必达法则的使用条件下，构造具有初值条件的高阶微分方程，从而找到该函数在某个过程下的等价无穷小函数。

2 求已知函数等价无穷小问题的刻画

首先我们先来了解一下等价无穷小、洛必达法则以及高阶微分方程的基本知识。

定义1 设在同一个变化过程下limα=0，limβ=0，limαβ=1，则称α与β是等价无穷小量，记作α～β[2]。

定理1 x→x0时，α（x）～α1（x），β（x）～β1（x），且limx→x0β1xα1x存在（或SymboleB@），则limx→x0βxαx=limx→x0β1xα1x[2]。

假设要求极限的函数是几个因子相乘或相除的情形，使用定理1及乘除运算中的等价无穷小替换定理可以简化原函数的计算，但是相加相减的情况下并不能随意替换，否则容易出错。例如，x→0时，tanx-sinx是无穷小量，计算过程中容易错用等价无穷小代换tanx-sinx～x-x=0，这是不对的，事实上tanx-sinx～12x3。

当然，两个无穷小量在满足特定的条件下也可以在和差运算中做无穷小代换，很多学者也给出了相应的总结和证明[36]。但是在实际解题过程中学生容易错误的使用等价无穷小和差替代原则，而且有些函数根据它的表达式也很难通过等价变形求出该函数的等价无穷小.那有没有别的方法可以求出所给函数的等价无穷小呢？即：已知f（x）是x→0的无穷小量，求它在x→0时的等价无穷小g（x）。

定理2（洛必达法则） limx→x0α=0，limx→x0β=0，在点x0的某去心邻域内，α′、β′都存在，且β′≠0，且limx→x0α′β′存在（或为SymboleB@），则limx→x0αβ=limx→x0α′β′[2]。

求f（x）的等价无穷小这时就可以考虑洛必达法则。f（x）和g（x）是同一过程下的无穷小量，即f（x）和g（x）之比的极限limx→0f（x）g（x）=1，这里f（x）g（x）就是“00”型。假设f（x）和g（x）在0的某个邻域内有直到n阶导数，就可以使用洛必达法则求导数的极限，即：limx→0f′（x）g′（x）=1，假设此时limx→0f′（x）=0，要想f′（x）g′（x）极限为1，则limx→0g′（x）=0，此时f′（x）g′（x）也是“00”型，又满足了洛必达法则使用条件，再次求导可得limx→0f″（x）g″（x）=1。

这样依次循环下去直到f（x）某一阶导数limx→0f（n）（x）=C≠0，而limx→0f（n）（x）g（n）（x）=1，由此可得：limx→0g（n）（x）=C。教材上常见的某个函数的等价无穷小都是多项式形式，这里我们假设g（x）是一个多项式函数，这样就得到了一组与g（x）有关的等式：

limx→0g（x）=limx→0g（x）′=……=limx→0g（n-1）（x）=0

limx→0g（n）（x）=C

而多项式函数是连续函数，在其定义域内处处连续，由连续函数的定义可知，它在某一点的极限值就等于这一点的函数值，即：

g（x）x=0=g′（x）x=0=……=g（n-1）（x）x=0=0

g（n）（x）=C

由此构造出了一个高阶微分方程，g（n）（x）=C，同时又有n个初值条件，可以解出这个微分方程的特解，即g（x）的表达式，也就是求出了f（x）的等价无穷小g（x）。

上述过程涉及了高阶微分方程，下面我们看一下高阶微分方程及其解法。

定义2 二阶及二阶以上的微分方程我们称之为高阶微分方程。高阶微分方程y（n）=f（x）可以通过n次积分得以解决[2]。即y（n）=f（x）式可写成y（n-1）′=f（x），两边积分，有：

y（n-1）=f（x）dx+C1

类似地，进一步积分：

y（n-2）=f（x）dx+C1dx+C2

如此进行n次积分便得到式y（n）=f（x）的通解。

如果对应的方程有相应的初值条件，则可以得到y（n）=f（x）的特解。

上述构造的高阶微分方程g（n）（x）=C，就可以采用这种解法解出，通过例子可以深入了解这个计算过程。

例1 已知ψ（x）=ln1+x21-x，求ψ（x）在x→0时的等价无穷小ω（x）。

解 采用一般思路，ψ（x）很难通过变形找到它的等价无穷小，但是可以采用本文前面所述的微分方程构造法，即已知limx→0ψ（x）ω（x）=1，求ω（x）。

ψ′（x）=1-x2+2x（1+x2）（1-x），ψ′（0）=1;

则ψ（x）=ln1+x21-x的等价无穷小ω（x）满足ω′（x）=1

ω（x）x=0=0，解方程ω′（x）=1得通解为：ω（x）=1dx=x+C1，将ω（x）x=0=0代入通解得：C1=0。

可得：ω（x）=x，即在x→0时ln1+x21-x～x

例2 已知ψ（x）=tan2x-sinx2，求ψ（x）在x→0时的等价无穷小ω（x）。

解 已知x→0时，tan2x～x2，sinx2～x2，tan2x-sinx2是否等价于x2-x2？答案是否定的。tan2x-sinx2的等价无穷小可以采用前文所述思路，即已知limx→0ψ（x）ω（x）=1，求ω（x）。

依次求ψ（x）在x=0处的各阶导数值，直到某阶导数不为0停止，可得：

ω（4）（x）=16

ω（x）x=0=0，ω′（x）x=0=0，ω″（x）x=0=0，ω（x）x=0=0

解方程得：ω（x）=23x4。即在x→0时tan2x-sinx2～23x4。

同样的方法可以得到：tanx2-sin2x在x→0时的等价无穷小是13x4。可见，对于某些形式非常相似的函数，它们的等价无穷小并不相同，在做题过程中并不能随意使用等价无穷小替换，要找到合适的方法求出函数正确的等价无穷小。

3 推广到一般形式

设limx→x0φ（x）=0，且φ（x）在点x0的某邻域内n阶可导，并满足φ′（x0）=φ″（x0）=φ（x0）=……=φ（n-2）（x0）=φ（n-1）（x0）=0，φ（n）（x0）=A≠0，求φ（x）的一个等价无穷小，设φ（x）的等价无穷小为x的n次多项式函数P（x），则limx→x0φ（x）P（x）=1，那么P（x）必然满足：

P（n）（x）=A

P（x0）=P′（x0）=P″（x0）=P（x0）=……

=P（n-2）（x0）=P（n-1）（x0）=0

否则limx→x0φ（x）P（x）极限不存在。

这个问题就变成了求具有n个初值条件的y（n）=f（x）型的可降阶高阶微分方程的一个特解.将P（n）（x）=A两边积分，有：

P（n-1）（x）=Adx+C1=A（x-x0）+C1

如此共进行n次积分便得到通解：

P（x）=An！（x-x0）n+C1（n-1）！（x-x0）n-1

+C2（n-2）！（x-x0）n-2+……+Cn-1（x-x0）+Cn

再将初值条件代入即得方程特解，也就是P（x）。

从而可以得到：x→x0时，P（x）～φ（x），即P（x）与φ（x）互为等价无穷小。在求极限limx→x0φ（x）f（x）时就可以转换成求limx→x0P（x）f（x）。

4 结论

等价无穷小替换是极限计算中的一种重要方法，相乘相除时等价无穷小可以替换，加减运算时使用等价无穷小替换要满足很多條件，不能随意替换。本文通过在已知函数满足洛必达法则的使用条件下，构造具有初值条件的高阶微分方程，求解找出函数在某个过程下的等价无穷小函数，进而可以使用该等价无穷小函数进行其他计算。

参考文献：

[1]刘志清，周琴.浅议0/0型未定式极限的几种求法[J].科教导刊，2019（13）.

[2]同济大学数学系.高等数学[M].北京：高等教育出版社，2014.

[3]毛宇彤，乔虎生.关于无穷小量代数和的等价代换的注记[J].大学数学，2019（4）.

[4]王丽华.等价无穷小代换定理在未定型极限中的应用[J].大众标准化，2020，No.315（04）：170171.

[5]伍廷蜜，肖鹏.数学分析中求极限的几种重要方法[J].科技风，2020（28）：6465.

[6]苏燕玲.等价无穷小替换求极限的推广及应用[J].数学学习与研究，2018（24）：132.

基金项目：自治区本科教育教学研究和改革项目（计算数学软件及编辑软件在数学教学研究中的应用）项目负责人：刘前芳

作者简介：刘前芳（1992— ），女，汉族，硕士，助教，研究方向：微分方程应用;何英杰（2001— ），男，汉族，本科在读，资源勘查工程专业;杨立敏（1970— ），女，汉族，硕士，副教授，数学系主任，研究方向：toeplitz算子及油气储层模型。