一种稳健超增益波束形成方法

于莹，林晓烘，周梦婵

（1.海军工程大学，湖北武汉,430032；2.武汉市建设学校，湖北武汉,430051）

0 引言

在各向同性噪声场中，当相邻阵元间距小于半个波长时，端射线阵的阵列增益比传统的波束形成器增加很多，这是众所周知的端射线阵超增益现象。在各向同性球面噪声场中，具有M个非常紧密阵元间距的线阵可以实现接近M2的超增益[1]。

然而，由于这些高调谐系统对于现实应用中遇到的微小随机误差极度敏感，所以在实际应用中无法获得最佳性能的理论增益[2]。如果违反传感器阵列的一些基本设置，则性能下降。对角加载类算法就是最常见的稳健方法之一[3]。然而，对角加载类算法的主要问题是如何选择对角加载量。

阵列传感器的通道幅相误差和阵元位置误差在各阵元之间彼此独立，这与空间白噪声在各阵元之间的关系极其相似，所以误差对波束形成器的影响与空间白噪声对波束形成器的影响其实是一样的[4]。Cox等人[5]提出使用所谓白噪声增益约束算法来获得对角加载量的合理值。遗憾的是，对角加载量与白噪声增益约束的参数之间并不是简单的关系，为了满足这个约束，需要多步迭代过程来调整对角加载量[5]。

对于一个任意M元矢量传感器阵列，窄带波束形成器的输出可以表示为

其中k 是时间因子，x(k)是阵列接收的复矢量信号，w是波束形成器4M×1维的复加权向量，(⋅)H表示共轭转置。阵列接收的数据向量为可以写成

由式(8)可以发现，真实的波束响应幅度平方的期望值可以写成两部分之和，第一部分是波束响应的平方整体乘上一个衰减的指数因子，这会使波束响应整体减小（达不到0dB），但是不会对阵增益的大小有影响，而第二部分是MVDR的加权向量二范数的平方乘上不同误差的方差，导致阵增益下降的正是这一部分，它会使波束旁瓣响应的期望值增加，后端的算法处理不能够直接减小误差的方差，所以只能选择尽可能地减小加权向量的二范数。

1 白噪声增益约束波束形成优化问题的转化

2 稳健波束形成的二阶锥规化求解方法

二阶锥规划是一类特殊的优化问题，它是凸规划问题的一个子集。二阶锥规划问题就是在满足一组二阶锥约束及线性等式与不等式约束条件下使某线性函数最小化。参考文献概述二阶锥规划的实例和应用。

凸二阶锥优化可由SeDuMi内点求解器建立，SeDuMi可同时处理二阶锥和线性约束。在SeDuMi中，将凸锥优化问题的对偶形式定义为

综上所述，将稳健的波束形成问题（18）转化为使用标准高效的内点法软件工具如SeDuMi的SOCP问题，其所需要的计算量为O(12M3)[10]。

3 仿真分析

假设10元均匀圆阵的圆心坐标为(0,0)，现用MATLAB依据仿真条件表示出10元圆阵各个阵元的位置如图1所示。

图1 圆阵各个阵元的位置

在无阵列传感器误差和阵列误差的幅度和相位标准偏差为σg=0.1，σφ=0.5°的情况下分别画出CBF、纯MVDR波束形成和WNC波束形成的阵列增益和频率之间的关系如图2所示。

图2 存在通道幅相误差时3种波束形成阵列增益和频率的关系

从图2可以看出，当频率较低时，CBF的稳健性非常好，不受仿真中给定的阵列传感器误差的影响，然而纯MVDR波束形成的性能急剧下降，阵列增益甚至低于CBF，因为在低频带，白噪声增益太小。频率越低，纯MVDR过程的稳健性越差。而WNC波束形成的阵列增益在存在通道误差的情况下只下降一点点。WNC波束形成表现出了抗阵列传感器误差的极佳稳健性。

对于存在随机阵列位置扰动的情况，假设扰动是具有标准偏差σp的统计独立的零均值高斯随机变量，其中σp=0，0.005m，0.01m和0.02m。画出纯MVDR波束形成的阵列增益在不同σp2下和频率关系的图象如图3。阵列扰动导致阵列流形向量不匹配。波束形成器试图消除失配信号，阵列增益尤其是低频处的阵列增益下降。σp2越大，阵列增益下降的越多。

图3 MVDR阵列增益在不同下和频率的关系

WNC过程的阵列增益在不同σp2下和频率的关系如图4所示。可以看出阵列增益只在低频处下降一点。在阵列位置扰动误差存在的情况下，WNC波束形成有良好的稳健性。

图4 WNC阵列增益在不同下和频率的关系

4 结论

MVDR在低频时具有超增益的现象。近几年，圆阵的超增益现象及其稳健性问题受到越来越多的关注。圆阵的超指向阵列增益虽然不像端射线阵那么极端，但在各向同性噪声场中，当阵元间距小于半个波长时，其性能远远优于传统的波束形成器。然而，最优波束形成算法对阵列特性中的微小误差非常敏感。如果违反传感器阵列的一些基本设置，它的性能将会下降。因此，可以采用白噪声增益约束（white noise gain constraint，WNC）算法来提高超增益波束形成受随机误差扰动影响的鲁棒性。本文证明了稳健的超增益波束形成可以用二阶锥规划（SOCP）或者数值计算的方法公式化，且用上述方法简便地求解，并给出了计算机仿真结果来说明所提出的方法。