高中数学教学中的化归思想

罗伟胡

【摘要】化归的思想是我们在高中数学中使用的最基本的一种思想和方法之一，熟悉和理解掌握化归思想对于其它各种数学思想和方法的学习都有很大的帮助，化归思想在高中数学中无处不在。

【关键词】转化;化归思想

《数学思想方法与中学数学》中明确指出，现代数学理论思想研究方法主要指的是对于现代数学知识的一个具体本质理性认识，是对于现代数学发展规律的理性认识，是从具体化的数学思想内容和其它具体数学思想认识结合过程中逐步提炼和不断上升的一种重要数学思想观点，它在目前人们普遍认识的数学活动中反复发生应用，带有一定普遍性和重要指导意义。我国现代高中数学中常见的一些高中数学基础理论和研究思想及其研究讨论方法主要包括有：化归思想、分类讨论思想、函数与方程思想、数形结合思想等。化归思想是目前我国整个现代化的高中数学中最常见和最为典型的一种思想教学方法之一，其它的思想教学方法大多都蕴藏着这样一个数学思想，既是各种思想方法的基础，更是各种思想方法的灵魂。学习和掌握化归思想有利于其它数学思想方法的掌握。例如，分类思维讨论中的的思维分析局部和思考整体之间的结合转变，数形相互间的结合转变思维讨论中的代数和几何图形之间的相互结合转变。历史上应用化归思想的典型例子不胜枚举，例如，笛卡尔的“万能方法”、纳皮尔的“对数法”都被普遍认为是其的一个典型代表。

化归思想的本质就是联系与转化。所谓“解决数学问题”是指我们通过观察、分析、类比、联想等多种思维方法和过程把自己未知的转化成了我们所熟悉的事物，把陌生的问题变成了我们所熟悉问题，解决数学问题的过程也就是我们一步步地化归的过程。数学理论中的化归无处不在，如，未知问题转化成了已知的问题， 复杂的问题转化成了简单的问题，新知识转化成了旧知识，多元问题转化成了一元问题。化归思想的基本概念是：在研究和解决数学问题时，往往是将待分析和解决的问题A，通过某种转化的手段，转化成为另外一个相对较易分析和解决的问题B。例如：

（1）代数中求解方程的一般思路是高次化归为低次，多元化归为一元，分式方程可以化归为整式方程，无理方程可以化归为有理方程。

（2）三角函数中的诱导公式，我们可以把任意一个角的三角函数化为锐角三角函数，把不同角的三角函数化为相同角的三角函数。如，人教版基础教材必修4第三章“三角恒等变换”，这章的主要内容就是运用三角函数的公式对其进行不同类型三角函数的变换，角的变换，结构形式的变换，培养了学生恒等变形的思想，彰显了求变化归的思想。

（3）高中解析几何的主要内容是把直线、圆、圆锥曲线化归为代数问题。

（4）高中立体几何的主要研究内容是把空间的问题化归为一个平面的问题，也可以把几何问题化归为向量问题。人教版数学课程选修2-1第三章的主要内容分别是空间向量和立体几何的内容，立体几何主要目标是为了解决空间图形之间的形状、大小及其所在位置的关系。教材一开始就讲述了空间向量可以表示的点、线、面等位置，然后运用空间向量表示空间直线、平面之间的平行、垂直、夹角等，把空间几何问题转化为空间向量问题。

下面，我们通过具体的例子讲讲高中数学中的化归思想。

例1.（2016年文数全国新课标2）函数f（x）=cos2x+

6cox（-x）的最大值为（    ）

A. 4             B. 5              C. 6               D. 7

【解析】函数f（x）=cos2x+6cox（-x）=1-2sin2x+6sinx，令t=sinx（-1≤t≤1），可得函数y=-2t2+6t+1=-2（t-）2+

，函数y=-2t2+6t+1在[-1，1]上单调递增，即当t=1，x=2kπ+，k∈z时，函数取得最大值5.故选B.

【问题分析】这道题主要是通过对三角函数进行了考查，运用二倍角公式和诱导公式转化为同名同角三角函数，再转化为求二次函数的最值。

例2.若角的终边在直线x+2y=0上，则的值（    ）

A. 11          B. 3           C.-11           D. -3

【解析】角a的终边在直线x+2y=0上，∴tana=，∴，故选B.

【问题分析】本题考查利用直线斜率的定义，把斜率转化为三角函数，求出tana，化简代数式，把正弦余弦转化为正切。

例3.已知直线l：x+y=3与x轴，y轴分别交于点A，B，点P在椭圆上运动，则△PAB面积的最大值为（    ）

A. 6      B.        C.       D.

【解析】设点P，则P到直线AB的距离为=，又A（3，0），B（0，3），则AB=3，所以△PAB面积为S=×3×

≤.故选D.

【问题分析】本题主要考查椭圆的参数方程以及利用参数方程求最值问题，利用参数方程设出椭圆上的点的坐标，把二元x、y转化为一元θ，转化为三角函数求最值即可。

例4.已知函数f（x）=，则方程f（x）=ax恰有两个不同的实根时，实数a的取值范围是（    ）

A.        B.         C.         D.

【解析】作出f（x）与（x）的函数图像，如图所示：

设直线y=ax与y=lnx相切，切点坐标为，则，解得

由图像可知≤a<当时，两图像有2个交点，故选B.

【问题分析】这道课题主要考查了方程的解与函数图像之间的关系，导数的几何含义，数形相互结合的思想。把一个方程的解变成了两个函数图像之间的交点，作出函数图像，根据图像和交点的个数判断a的范围，最后将其转化成利用导数在几何上的含义来寻找参数。

通过以上的例子，我们发现高中数学中化归思想无处不在，熟悉掌握化归思想有利于高中数学教学。化归思想在高中数学教学中有着重要意义：（1）有利于我们正确地理解和运用中学数学中基本的概念和方法;（2）有利于新知识的深入学习和熟练掌握;（3）有利于培养学生的解题技巧;（4）有利于培养学生建立起一个完整的知识框架和认识体系。

参考文献：

[1]赵小云，叶立军.数学化归思维论[M].科学出版社，2005.

[2]潘永.數学化归思想及其探研[D].南京师范大学，2004.

[3]蒋亦东.化归思想对构建数学认知结构的作用及教学对策[J].杭州师范学院学报，2002，1（2）：44-46.