基于卓越工程师教育的频率特性分析课堂教学研究

张德祥， 潘天红， 张道信， 刘凯峰

(安徽大学 电气工程与自动化学院，安徽 合肥 230601)

0 引言

2010年，我国为贯彻落实《国家中长期教育改革和发展规划纲要2010-2020年》和《国家中长期人才发展规划纲要(2010-2020年)》，正式启动“卓越工程师教育培养计划”[1]，其内涵就是培养工程实践能力和创新能力强的工程技术人才，探索形成一系列具有示范作用的卓越人才培养新模式。2017年2月以来，教育部积极推进新工科建设，先后形成了“复旦共识”、“天大行动”和“北京指南”，并发布了《关于开展新工科研究与实践的通知》和《关于推进新工科研究与实践项目的通知》。新工科建设是对“卓越工程师教育培养计划”进行的补充更新，强调创新引领作用，培养具有创新性卓越工程技术人才[2]。

作为电子、电气、自动化、通信等电类学科的专业基础课“电路分析”、“模拟电子技术”、“信号与系统”、“自动控制理论”等一系列课程，其课程工程应用性强，要求理论教学与实践教学相结合，突出对学生工程意识、工程素质和工程创新能力的培养。因此在教学过程中必须重视从工程应用的背景和工程应用的物理意义上对课程进行教学手段和教学方法的改进。

频率特性分析在电路分析、电子技术、控制系统、电力系统、测控技术、机械振动等领域都具有重要的地位，是重要的系统特性的分析方法。频率特性分析可以分析系统输出信号与输入信号之间的幅值和相位的变化，从而获得控制系统的传递特性和数学模型。在教学过程中要引导学生从感性认识到理性认识的转变，通过物理意义的讲解、启发式、案例式、讨论式等不同的教学方法以及系统仿真等不同教学手段，逐步引导学生独立思考、独立分析能力的养成和工程实践能力的培养。通过课程实验环节、课程设计环节、工程实训、毕业设计等实践强化阶段加深学生对于理论知识的消化和理解，培养学生的工程意识、工程素质和工程创新能力。

1 频率特性分析教学的数学基础

1.1 复数的概念和计算

对于频率特性分析的教学首先要求学生对于数学基础一定要掌握好，主要体现在对于复数的概念、复数的表示、复数的物理意义、复数的加减乘除等基础概念要掌握和熟练计算，这是学生熟练掌握和计算频率特性的重要基础。在教学过程中发现由于学生的复数理解能力和计算能力差，在教学过程中就会遇到很多困难，学生在计算中也经常发生错误。在教学过程中要带学生复习复数的直角形式、极坐标形式、指数形式、三角形式等四种基本表达方式和基本加减乘除的运算方法。图1是复数A在复平面的表示，复数的公式表示如公式(1)所示。

图1 复数A在复平面的表示

A=a+jb=|A|∠θ=|A|cosθ+j|A|sin=|A|ejθ

(1)

1.2 拉普拉斯变换

拉普拉斯变换是工程数学中常用的一种积分变换，又名拉氏变换，拉氏变换是一个线性变换，可将一个有参数实数t(t≥ 0)的函数转换为一个参数为复数s的函数。拉普拉斯变换对于求解线性微分方程尤为有效，它可把微分方程化为容易求解的代数方程来处理，从而使计算简化，拉普拉斯变换在许多工程技术和科学研究领域中有着广泛的应用。

对于t>=0函数值不为零的连续时间函数x(t)通过关系式：

(2)

式中s=β+jw是复变量；拉普拉斯变换是将函数f(t)分解到频率幅值都在变化的圆上。

1.3 傅里叶级数

要想讲清楚频率特性的物理意义，必须要对傅里叶级数进行讲解，讲清其物理意义。傅里叶级数是法国数学家傅里叶发现，表示任何周期函数都可以用正弦函数和余弦函数构成的无穷级数来表示，傅里叶级数为一种特殊的三角级数，根据欧拉公式，三角函数又能化成指数形式，也称傅立叶级数为一种指数级数。

傅里叶级数的物理意义就是时域的周期函数可以看成是由不同频率成分的正弦和余弦信号组成。若f(x)是周期为2π的周期函数，其三角形式展开的傅里叶级数表达式可以表示为：

(3)

在工程应用上，其物理意义也就是表面上是时域的函数，但实质上是不同频率成分的正弦和余弦组成的函数，其系数表示该频率成分在整个组成中的权重，值越大，表示该频率所占分量就越大，成分就越多，n=1时的频率w0为基频信号，其他都是谐波信号，都是基频信号的整数倍，因而频率成分是离散的。

1.4 傅里叶变换

对于非周期的连续时域函数f(t)需要用傅里叶变换对时域信号进行分解获得不同频率成分的组成情况，傅里叶变换是将时域函数f(t)分解到频率不同、幅值恒为1的单位圆上。其表达式可以表示为：

(4)

从现代数学的眼光来看，傅里叶变换是一种特殊的拉普拉斯积分变换，它能将满足一定条件的某个函数表示成正弦基函数的线性组合或者积分，在不同的研究领域，傅里叶变换具有多种不同的变体形式。但从工程的角度看，傅里叶变换的物理意义是任何连续测量的时序或信号，都可以表示为不同频率的正弦波信号的无限叠加，一个非周期函数可以看出是由不同频率成分的信号组成，其频率是连续的，可取到任意频率，其中F(w)表示该频率成分在信号组成中所占的权重，权重越大，表示该频率成分越多，所占分量也越大。

1.5 时域和频域的概念

时域和频域是信号的基本性质，这样可以用多种方式来分析信号，每种方式提供了不同的角度，解决问题的最快方式不一定是最明显的方式，用来分析信号的不同角度称为域。

时域(时间域)其自变量是时间，即横轴是时间，纵轴是信号的变化，其动态信号是描述信号在不同时刻取值的函数。频域(频率域)其自变量是频率，即横轴是频率，纵轴是该频率信号的幅度，也就是通常说的频谱图。

一般来说，时域的表示较为形象与直观，频域分析则更为简练，剖析问题更为深刻和方便，信号分析的趋势是从时域分析向频域分析发展，然而，它们是互相联系，缺一不可，相辅相成的。但频域分析引导人们从信号的表面深入到信号的本质，看到信号的组成部分，通过对成分的了解，人们可以更好地使用信号。

2 频率特性分析的教学技巧

2.1 频率特性的概念

频率特性是指线性系统在输入为一定频率的正弦信号或余弦信号，其输出稳态响应一定是同频率的正弦或余弦信号，只是幅值和相位发生了变化[3]。所以在教学过程中要灌输学生线性系统稳态输出具有频率不变性的基本概念，让学生掌握频率特性的基本表达方式。由于时域信号总可以看成是由不同频率成分的正弦信号所组成，因此，当某一时域信号通过线性系统时，其输出可以看成系统对于不同频率成分信号的幅值和相位的变化情况的组合。其中幅值变化称为幅频特性，相角变化称为相频特性，这两种变化关系称为频率特性，其表达式为：

G(jw)=|G(jw)|∠G(jw)=|G(jw)|ejθ

(5)

式中|G(jw)|为幅频特性，θ∠G(jw)为相频特性。

对于线性系统，如果输入为r(t)=Arsin(wt+φ)，则线性系统的稳态输出为：

y(t)=Ar|G(jw)|sin(wt+φ+θ)

(6)

幅频特性反映的是系统对输入的某一频率成分的放大倍数，是频率的函数，也就是说系统对于不同频率成分的放大倍数的不一致的；相频特性反映的是系统对于输入信号不同频率成分传输的滞后或超前特性。

2.2 相量计算法

在“电路分析”理论课教学过程中需要采用相量分析法进行教学，此时学生只在数学中学过傅里叶级数的概念，要通过傅里叶级数的复习讲解，让学生掌握时域和频域的关系，掌握信号的实质是由不同频率成分组成[4]。在教学过程中还要结合电容和电感元器件的容抗和阻抗的相量表示方法，讲授计算方法和步骤。由于电路分析课程中涉及的信号是正弦输入，所以相量的表达和线性系统的频率不变性的概念要灌输给学生的。

同时在“电路分析”课程中要从工程应用角度讲清输入可能是电压或电流，输出也可能是电压或电流，因此得到的频率特性表达物理意义要讲清楚。也就是频率特性表达可能是电压传输特性、电流传输特性、阻抗传输特性、电导传输特性等四种情况。

在“模拟电子技术”课程中也涉及到频率特性的讲解，主要集中在对于无源和有源器件的频率特性的讲解，这时要从工程应用角度着重从频域角度出发讲清滤波器的概念和物理意义，也就是对于变化的输入信号，通过系统的滤波特性对输入时域信号中内含的不同频率成分具有不同的放大或缩小能力，从而使输出信号发生不同的变化，进而引入低通滤波器、高通滤波器、带通滤波器和带阻滤波器的意义讲解。

对于“信号与系统”课程、“自动控制理论”课程等教学过程中，由于已经在“模拟电子技术”课程中涉及到滤波器的功能介绍，对傅里叶变换的概念也已经掌握，所以在教学过程中要加强对于频域中系统对于不同频率成分的滤波功能的讲授，要从工程应用的角度去讲解频率特性的实际意义和应用背景，同时根据频率特性分析系统的稳定性、准确性和快速性的系统固有特性。

2.3 复数域计算法

在复数域计算方法中，就是采用拉普拉斯变换实现系统频率特性的求解，此时，需要对从代数的传递函数的角度理解信号的传递特性。对于系统的频率特性的求解主要是先求出系统的传递函数，再根据传递函数与频率特性的关系 来进行变换直接求解出系统的频率特性[5]。

2.4 频率特性的分析

对于求出的频率特性G(jw)需要对特性进行分析，这也是非常关键的知识点。对于频率特性表达一般有理论数值表达和图形表达方法，但一般都是采用图形表达方式更加直观。

在图形表达方式中有极坐标形式，也就是把幅频特性和相频特性同时表达在同一极坐标中，此时得到的幅相频率特性曲线上任何一点到原点的向量距离就是某一频率对应的幅频特性，向量与正实轴的夹角就是相频特性。

在图形表达方式中还有对数频率特性图形式，也就是将幅频特性和相频特性在不同的坐标上进行分别绘图，其中横坐标以频率w作为变量，纵坐标分别表示幅频和相频。但在教学过程中必须将对数频率特性图对数坐标要交待清楚，对于横坐标，如果等距分割则频率太大图会变得很长，所以横坐标采用对数分度，仍然以频率w为标注；而对于幅频特性图的纵坐标要先求对数，把幅频特性|G(jw)|的乘积变成求和，再乘20变成分贝(dB)单位。所以在教学过程要对于坐标的来源要交待清楚，否则学生对于后来画的图形无法理解。

3 频率特性分析的教学方法

3.1 理论教学法

在理论教学过程中，要先弄清楚本班学生对于复试的概念和计算、拉普拉斯变换是否学习过，如果没有学习过就需要补充，如果学习过可以带学生简单复习下，以保证学生能听懂频率特性。其次，就是要把傅里叶级数的概念和物理意义告诉学生，让学生弄懂信号的本质，构建频域的基本概念，同时通过简单的举例来说明频域中频率成分的组成。

对于频率特性的讲解要从正弦输入下稳态输出的规律来进行讲解，通过简单的RC串联电路推导出频率特性的概念，再对于复杂RLC混合电路进行讲解，主要讲授解决的方法和步骤，再结合双端口网络去分析频率特性的传输特性，掌握频率特性的物理意义。

所以在教学过程中要对于数学基础知识采用提问式教学了解学生掌握程度，采用启发式回顾傅里叶级数的回顾和频域的逐步引入，采用讨论式教学方式对频率不变性和频率特性概念进行引入，采用案例式教学让学生掌握工程应用过程中关于滤波器的使用，逐步引导学生掌握频率特性在工程应用中的作用和使用方法。

3.2 实验教学法

理论教学主要是对于已知系统结构参数的系统进行频率分析方法的理解，但很多实际系统可能存在无法准确得到系统的数学模型，这时就可以利用频率特性的方法对系统的数学模型进行实验获取，所以通过实验教学可以充分让学生对于频率特性的理解和掌握。

在实验过程中可以采取两种方式对频率特性实验法进行讲授，首先采取已知结构参数的系统进行实验，在输入端加入一定幅值的正弦信号作为输入信号，利用仪器测量系统的输出信号。不断从小到大改变输入正弦信号的频率大小，比较输出信号与输入信号之间的幅值变化和相角变化，得到系统的幅频特性和相频特性，从而得到系统的频率特性。同时再与理论值进行比较获得频率特性测量方式的正确性验证和频率特性的正确性。

还有一种方法就是采用未知结构参数的系统，通过频率特性测试的方法获得系统的频率特性，从而获得系统的数学模型，再根据数学模型搭建系统建立起测试系统。在利用系统的响应来验证实际系统的响应与测试系统响应之间的差异性，从而获得根据频率特性辨识和重构系统数学模型的方法，验证和加深对频率特性的物理意义和工程应用的理解，培养学生的工程意识、工程素质和工程创新能力。

3.3 仿真教学法

在进行理论教学和实验教学的同时要注重仿真教学，利用Multisim10仿真、Simulink仿真、Matlab仿真、Silvaco Atlas仿真等仿真软件对系统的频率特性进行仿真，可以通过图形直观地获得频率特性的图线和系统的响应，仿真具有改变参数简单、图形直观的优点，可以把实验方案搬到仿真中来进行重现和比较[6～7]。

4 结语

作为工程学科的专业课教学要注重培养学生具有工程创新能力和工程实践能力，提升学生的工程意识、工程素质和工程能力，从而在教学内容、教学模式、教学手段、教学设计和评价机制等各方面进行教学改革和教学研究。对于频率特性的教学过程中，因为涉及到的数学知识和信号的知识点比较多，所以必须注重从频域的角度引导学生对时频与频域之间的关系进行理解，从而真正理解频率特性的实质和物理意义，加强频率特性的工程应用中的验证和应用。