高次非负实系数递推数列的数值通项求解及思路深探

窦明华

无论是高考还是竞赛，数列扮演着重要的角色，占据了举足轻重的地位。而对于较为常规的线性实系数递推，已有一套完整的理论体系和解决策略，即使是竞赛中出现的一些非线性逆推数列，也往往可以结合换元，放缩，母函数求导或积分，不动点法等进行求解，在此笔者不作过多赘述。然而总会存在某些非线性递推数列，其通项公式无法仅用初等方法求出，如：

an+1=an2+1             a0=1.求其通项 an.

该问题困扰笔者很长时间，直至笔者意识到其解析通项不存在，并利用数值逼近的思路得到其数值通项，同时将该思路推广至高次形式。本文将对此作出全面详细的阐述，其中将涉及一些简单的高等数学知识，但是配合笔者的描述来进行理解应该并非难事。

考虑如下的递推数列：

为了进行数值估计，我们对求和进行处理：

考察无穷级数

有

故

故由此值判别法知无穷级数收敛，即

其中

下面对rn进行考察：

根据an递增的性质，

故必存在一个充分大的正整数N，使得大于N的整数n满足，

（这里的[x]为取整函数，{x}=x-[x]）

于是我们便得到了该数列的数值通项，但必须满足 ，否则将无法对an进行确定，之所以没有将此系数限制条件置于文首，是为了使论述过程更加自然，而在运用此方法时，βk>2βk-1的条件不可忽略。

数列与函数有何联系？这个问题引人深思，它们都建立了變量之间的联系。但相较于数列而言，函数仿佛更胜一筹，这是因为函数的连续性可使其更直观地应用于生活，且函数的多变量化可以解决更复杂的问题，分析学的建立更是令函数如虎添翼，如此来看，似乎所有的数列问题都可以转化为函数问题来分析，数列的已知递推求通项问题可以化为函数的n次选代的问题，不动点法就是很好的例证，母函数和无穷级数的收敛判定不等式法也是函数为数列所用的实例。

但上述问题的解法便是对此观点的有力反驳。数列的离散性使其拥有更为简单的存在形式，对于此类数列，其函数几次选代的解析结果很难得到，但其离散数值通项却较易求得。这也就意味着利用数列对函数的变化性态进行分析会更容易、直观，而取整函数所造成的“近似性”也可以大大简化分析的过程。其次，数列作为一种特殊的递推模型，比函数模型的构造更为简单，在组合数学中此思想被广泛应用。

以上为笔者对较一般情形下非负系数高次递推的方法阐述及思路探究，望有抛砖引玉之用。限于笔者学识浅薄，难免有错误或不当之处，望读者斧正。