基于自适应成长法的舵面结构动力学拓扑优化设计方法研究

郑昌隆，丁晓红，沈 洪，赵利娟

（1.上海交通大学机械与动力工程学院，上海 200240；2.上海理工大学机械工程学院，上海 200093；3.上海云天联合发展有限公司，上海 201109）

0 引言

未来飞行器设计追求更短的设计周期，而舵面作为弹体的重要部件，是飞行器主要承力部件之一，需要具有良好的气动性能，并满足重量轻、承载大等结构设计要求，以保证在各种使用环境下正常工作［1］。目前，在工程上常采用调整配重和改变舵轴等方法来提高舵面力学性能，针对不同型号，需要不断校验结构并更新设计方案，耗费大量时间精力，且可能引起飞行器总体指标性能的下降［2-4］。

结构拓扑优化是用于结构概念设计阶段的一种优化设计技术，能在给定的设计空间、支撑条件、承载条件和工艺设计要求下，确定结构材料的最优分布形式，同时使结构的某些性能达到最优［5］。近年来，相关研究人员将拓扑优化技术引入到了舵面骨架设计中［6-7］，显著提升了舵面结构性能及设计效率。但基于变密度法优化所得的舵面骨架构型较为复杂，制造难度很大，限制了其在舵面结构设计中的应用。而作为一种新兴仿生拓扑优化设计方法，自适应成长法使用梁单元、壳单元来模拟加强筋，并在优化过程中不断“生长”“分歧”“退化”，逐渐获得最优的加强筋拓扑结构。相较于以单元密度为设计变量的变密度法，自适应成长法具有优化效率高、优化结果清晰、可制造性强等优点，近年来被广泛运用于板壳结构加筋静动态优化设计［8-13］及三维箱体结构加筋静力学优化设计中［14-15］。

本文将自适应成长法引入舵面骨架构型设计中，通过寻找骨架的最优结构形式来提高舵面结构的动力学性能，并实现结构轻量化设计；然后与原始舵面结构性能进行对比分析，从而验证自适应成长法对舵面骨架构型的优化效果。

1 自适应成长法

生物结构经过自然选择与进化实现优胜劣汰，最终形成最优的结构形态。仿生学由来已久，生物学、动力学等学科的发展促进了仿生设计学的发展。19世纪，世界上第一架滑翔机基于鸟的飞行形态问世；基于蝙蝠回音原理发明了雷达；根据青蛙眼睛的特殊构造研制了电子蛙眼，用于监视飞机的起落和跟踪人造卫星；根据空气动力学原理，仿照鸭子头部形状设计了高速列车；模拟苍蝇楫翅的天然导航作用制成了震动陀螺仪，使得飞机火箭等设备能够实现自动驾驶。仿生学虽然取得了众多不菲的成就，但目前仍然处于发展初期，因为大多结构仿生设计只是单纯地进行结构模拟，对其内在影响因素的研究还不够深入。

仿生优化是通过模拟自然界生物进化或者社会行为而提出的一种设计优化方法，随着计算机技术的普及而得到发展。该设计方法由于实现简单、设计灵活性好、效率高而被应用于工程领域。丁晓红等［8-9］通过研究自然界分枝系统的形成机理，提出了一种基于植物根系形态自适应成长规律的板壳结构加强筋设计方法，即自适应成长法。

1.1 自适应成长法基本原理

自然界分枝系统具有清晰的分布形态，这些分枝系统都可以根据外部环境的刺激和内部营养要求等来改变本身的发育及其生长的方向，调节自身结构，以满足内部需求并适应外部环境，最终实现一个最优的过程。图1是几种常见的自然界分枝结构。观察分枝形态，可以发现它们分枝的共同特点：植物根系总是从种子点出发，树木总是从树根部出发，珊瑚总是从根部出发，叶脉总是从叶柄点出发。它们都为适应其生长环境自动生长、分歧、稳定，且始终朝着最有利的方向成长，如尽可能多地吸收养分和水分，尽可能多地吸收阳光，最有效地承受诸如生物本身重力、风雨雪载荷等地面上载荷，使整个结构的力学性能最优。

图1 自然界分枝系统Fig.1 Biological branching systems in nature

加筋板壳结构受到一定的外载荷作用，可类比于自然界分枝网的生长环境，通过研究分枝系统的形态形成机理，建立一种基于这种形成机理的结构加筋板分布优化设计方法，就能实现类似于生物分枝系统的具有最优性能的加筋板分布设计。如植物根系的成长过程，主根总是从种子出发，依据自适应成长规律，沿着能使其整体功能最优的方向成长并分歧毛根。自适应成长过程如图2所示。

在加强筋分布设计中，首先根据承载和约束条件，确定若干“种子”位置，如图2（a）中的圆点，与“种子”相连的加强筋可以根据一定的规则成长或退化；加强筋长到一定的尺度，则可以“分歧”，与“分歧点”相连的加强筋在下一步迭代中可以参与成长或退化；加强筋退化到一定的尺度，则“消失”，过程如图2（b）～（c）所示。这个过程反复进行，直至满足收敛条件，结束成长。

图2 自适应成长过程Fig.2 Growth process of adaptive growth

1.2 自适应成长法仿生优化数学模型及求解

板壳结构加筋板分布优化设计问题可以表述为：以筋板的厚度作为设计变量，在一定的体积约束下，寻求结构在某种载荷工况下的某种力学性能最优。因此板壳结构加筋板分布优化设计的数学模型可表示为

式中：X为设计变量；xi为第i个活动筋板单元的截面积；n为加强筋单元的总数；Φ（X）为目标函数；V和V0分别为整体板壳结构的总体积和初始体积；η为体积约束因子；xmin和xmax分别为设计变量xi的取值下限和上限；g(X)为约束函数。

自适应成长法的寻优迭代公式可基于最优准则法推导。基于KKT（Karush-Kuhn-Tucker）条件最优准则法推导筋板成长公式，建立拉格朗日方程为

式中：χ为拉格朗日乘子。

在最优X*处，式（2）应满足KKT必要条件，即

当xmin＜xi＜xmax时，根据式（3）可得

式中：Ai为第i个筋板单元的截面积。

总目标对设计变量的灵敏度为

整体结构的总体积V可表达为

式中：li是第i个筋板单元的长度，即

将式（5）和式（7）代入式（4）可得

式中：k为迭代步数。为了保证收敛性，引入步长因子α，从而设计变量Ai的迭代公式为

拉格朗日乘子为

1.3 自适应成长法优化设计流程

基于自适应成长技术的基本原理，以式（9）为寻优迭代公式对结构进行加筋板分布优化设计。具体流程如图3所示，主要包括以下4步。

图3 自适应成长法优化设计流程Fig.3 Flow chart of optimization design of adaptive growth method

1）建立基结构，设置设计域与非设计域。将设计对象进行简化，并对结构离散，建立基结构，根据设计要求设置非设计域和设计域。

2）选取“种子点”，设置优化参数。根据结构的支撑和承载情况，选择基结构上若干点为“种子点”。给定步长因子α、加强筋的初始厚度x0及分歧临界值xb、加强筋的总体积约束因子η、收敛容差ε以及最大迭代次数N。

3）灵敏度分析。对结构进行有限元分析，计算活动筋板单元的灵敏度。

4）成长和重建。判断活动筋板单元的状态，如果满足成长条件，通过式（9）更新xi；如果筋板厚度满足xb，则该筋板单元分歧；如果满足退化条件，则该筋板单元退化。

如果优化迭代的目标函数连续两次的差值小于收敛容差，或者迭代次数达到设定的最大值N，则退出循环，否则返回第4 步，继续成长，直到达到收敛条件。

2 舵面结构仿生拓扑优化设计

2.1 优化模型构建

在优化设计前，根据舵面结构的几何特性，创建舵面仿生拓扑优化模型。由于蒙皮舵面的边缘最小厚度仅为1.5 mm，因此选用舵面的部分区域为设计域，如图4所示。定义初始骨架厚度为1 mm，生成初始基结构，最终生成的骨架结构如图5所示。

图4 舵面骨架结构设计域/非设计域示意图Fig.4 Design/non-design domain of the rudder skeleton structure

图5 舵面骨架初始基结构Fig.5 Initial ground structure of the rudder skeleton

2.2 仿生拓扑优化设计

自适应成长法是基于自然界植物分枝机理而提出的，因此舵面骨架在优化初始需要指定骨架生长的初始点——“种子”。由于舵面的约束施加于舵轴上，本文优化中选用约束处作为“种子”，并在一定的设计目标和设计约束下，寻找最优的骨架结构分布形态。本文以结构的一阶固有频率最大为目标，结构体积为约束条件（总体积的30%）对板结构进行拓扑优化，优化数学模型为

式中：T为设计变量，具体为每个骨架筋板的厚度；f1为目标函数（结构的一阶固有频率）。

经过仿生拓扑优化设计得到舵面内部骨架分布如图6所示，优化后舵面骨架分布清晰合理，且便于进行制造。优化求解迭代曲线如图7所示，其中为初始舵面结构的固有频率。

图6 仿生拓扑优化后舵面骨架结构Fig.6 Rudder skeleton structure obtained by bionic topology optimization

图7 仿生拓扑优化设计迭代历史曲线Fig.7 Iteration history curve of bionic topology optimization

优化迭代过程中，舵面结构的一阶固有频率在前10 个迭代步中增长较快，之后迭代曲线逐渐趋于平缓并收敛，优化效果理想，验证了自适应成长法的有效性及骨架优化的正确性。

3 对比与分析

为评估仿生拓扑优化效果，在HyperMesh 软件中建立优化前后舵面的有限元模型，并在Optistruct软件中进行有限元分析。计算得到的优化前后舵面的前两阶与颤振相关的固有振型，如图8所示。

图8 舵面模态振型Fig.8 Modal shape of the rudder structure

将原始舵面模型与优化后舵面模型前5阶的固有频率数值及结构质量进行对比，如表1所示。

表1 优化前后舵面结构参数Tab.1 Structural parameters of the initial rudder structure and its optimized result

由表1可知优化后舵面结构的第一阶固有频率为136.2 Hz，较原始舵面结构的基频122.5 Hz 提高了11.2%，从振型图可知优化前后结构的振型相同。从质量来看，优化后结构的质量为1.86 kg，而原始结构的质量为2.37 kg，优化后舵结构的质量相较于原始结构质量减少了21.5%。

4 结束语

针对舵面固有频率优化问题，利用自适应成长法，在给定设计域内对舵面内部骨架结构进行仿生拓扑优化设计，获得了内部骨架构型，并基于有限元法对比了优化前后舵面结构的性能，验证了舵面骨架结构仿生拓扑优化设计的有效性。自适应成长法仿生拓扑优化设计具有如下优点：

1）基于自适应成长法的舵面结构动力学设计方法能够有效获得满足设计要求的清晰的筋板布局形态，并可在此基础上获得清晰简洁的舵面骨架构型，从而提高结构的可制造性。同时，基于仿真的设计方法还可以有效缩短设计周期。

2）基于自适应成长法的设计方法在有效提升舵面结构固有频率的同时，还可显著降低舵面结构质量，实现高刚轻质结构的设计，满足航空航天结构高刚轻质的设计需求，具有良好的工程应用价值。