求解Z- K 方程的变分迭代法

郭 田 张 睿 乔银春

（东北大学，辽宁 沈阳110004）

近年来，变分迭代法广受关注，主要用于求解各种偏微分方程。目前用变分迭代法解决Z-K 方程[3]的问题的研究较少。本文具体讨论了如何用变分迭代法[1]求解两类二维Z-K 方程。

1 Z-K 方程的由来

1895 年，荷兰著名数学家Korteweg 和他的学生de.Vries 研究潜水运动找到了一种流体中单项波传播的数学模型，即著名的KdV 方程[4]：

对上述方程做适当的自变量和未知函数的线性变换，可得标准的KdV 方程：

KdV 方程一直被认为是孤立波的一维模型，而KdV 方程的二维典型演化形式为Kadomtsov-Petviashivili 方程：

和Zakharov-Kuznestov 方程：

2 变分迭代原理

为了说明变分迭代法的基本概念，我们考虑以下微分方程：

其中L 是线性微分算子，N 是非线性算子，g(t)是已知的连续函数。变分迭代法的基本步骤为：

2.1 构造方程（1）的校正泛函：

2.2 通过对（2）式等号左右两端同时进行限制变分求出Lagrange 乘子 λ(t)。

2.3 将上述求得的Lagrange 乘子 λ（t）代入（2）式，得其变分迭代公式

2.4 根据给定的初始条件求得其解析近似解。

下面主要从二维Z-K 方程的两种不同分类出发讨论其解析近似解。

(1)二维线性Z-K 方程

考虑二维线性Z-K 方程

初始条件u（x,y, 0） =ex+y

根据变分迭代算法，构造时间t-方向上的校正泛函如下：

变分过程：

解得 λ=-1，代入（5）得到迭代公式如下：

取初值条件u0（x,y,t）=u（x,y, 0） =ex+y，迭代求解得到：

表1 a = b = 1, x = y =1时二维线性Z-K 方程的误差分析

故二维线性Z-K 方程的解析近似解为u=e-（γ+β）t+x+y。

(2) 二维非线性Z-K 方程

构造时间t-方向上的校正泛函

对上式方程左右两边同时进行变分得：

令 δun+1（x,y,t）=0，得

解得 λ=-1，代入（6）式得其迭代公式

取初值条件u0（x,y,t）=xy，迭代求解得到

表2 给出在节点ti处的方程误差。