学理性：“学科素养”下提升学生数学语言力

丁小东 李勇

[摘  要] 数学语言应当追求一种内在的学理性。无论是概念、意义、法则还是公式、模型等，都蕴含着丰富的学理。在小学数学教学中，教师可以采用变式策略、精加工策略以及多元关联策略，促进学生对数学知识的表征、理解。准确地运用文字语言、符号语言和图表语言来表达知识、表达思维，从而不断地提升学生的语言表达力，发展学生的数学核心素养！

[关键词] 小学数学;数学语言;学理性;学科素养

苏联数学教育家斯托利亚尔曾经这样说，“数学教学就是数学语言的教学”。从根本上说，学生学习数学就是掌握一门语言符号系统，并用这种符号系统进行思维。数学语言不同于文学语言，它有着自己的特质，诸如严谨性、逻辑性、抽象性等。基于数学学科素养的视角，数学语言应当追求一种内在的学理性。当数学语言拥有了内在的学理，自然也就体现了简约化、逻辑化、抽象化。也就是说，“学理性”是数学语言的根源，是数学语言的根系、命脉之所在。在数学教学中，无论是概念、意义、法则还是公式、模型等，都蕴含着丰富的学理。认识学理、把握学理、运用学理，是提升学生数学语言能力的根本路径。

一、变式策略：在多元表征中理解学理

所谓“变式”，是指在数学教学中，通过变换材料的非本质属性，而凸显本质属性的过程。变式，有助学生理解数学语言的内在学理。学生在数学学习中，通常会对数学知识形成比较肤浅的认识，这种认识就表现为学生的生活化语言、描述性语言等。变式，能助推学生的数学语言表达从非本质走向本质、从生活走向数学、从肤浅走向深刻。法国数学家庞加莱说：“没有数学这门语言，我们便无法发现世界内部的和谐和事物间的密切联系。”

例如，教学“分数的意义”（苏教版五年级下册）一课，着重引导学生从过去的“一个物体”“一个计量单位”“许多物体组成的整体”抽象成“单位‘1的量”，这对于五年级学生而言具有一定的思维跨度，因而能引导学生数学素养的发展。教学中，笔者运用变式策略，将一块蛋糕、一条线段、许多圆形组成的一个整体等进行平均分，从而引导学生对平均分的对象进行概括，即“一个物体、一个计量单位或由许多物体组成的整体，都可以用自然数1来表示，通常我们把它叫作单位‘1”。在引导学生表述分数的意义时，我们对同样的单位“1”的量平均分成不同的份数，对不同的单位“1”的量平均分成相同的份数。通过这样的正反变式，让学生感悟到，分数的意义与物体的个数等无关，与平均分的份数以及表示的份数相关。由此，催生学生对“分数的意义”的数学学理性表达：把单位“1”平均分成若干份，表示这样一份或几份的数叫作分数。表示其中一份的数叫作分数单位。在引导学生对分数的意义进行多元化的表征过程中，学生逐渐舍弃了非本质属性，提炼出本质属性。如有学生说，“分数就是几份之几”。这种精简化的概括，正说明学生已经把握了数学知识的本质内涵，因而就有了学理性的数学表达。

数学语言追求精准。培养学生学理性数学语言素养的关键，就是要让学生对学习对象、对数学新知有本质的、深刻的认知。当学生对学习对象或数学新知有了本质认知后，其数学表达自然蕴含着学理性，其语言表达也自然能散发出浓浓的“数学味”。反之，当学生能用精准化的数学学理性語言将数学学习对象或数学新知表达出来时，也更加深化了学生对数学学习对象或数学新知的理解、把握。这是一个“内化”与“外化”的双向互动。

二、精加工策略：在深层理解中领悟学理

数学语言有着丰富的内涵、特定的意义，尤其是一些数学术语、数学符号等。所谓“精加工”，就是通过丰富的数学学习材料，引导学生对一个数学概念作出不同层面的理解或者多元理解。通过精加工，能让学生对数学知识的理解从片面走向全面、从模糊走向清晰、从肤浅走向深刻。当学生对数学概念的内涵与外延有了精准到位的把握，自然就能对语言进行数学化的编码，自然就能运用数学的学理性语言来表达。

例如，教学“平均数”（苏教版四年级上册）时，笔者发现学生在生活中已经触碰到了平均数，但对平均数的理解处于感性的、模糊的层面，没有形成理性的认知。因而，学生在表达对平均数的认知时，常常说成“平均数就是让这些数量都相等”“平均数就是让大的一些数量给小的一些数量，让大数量和小数量同样多”，等等。为此，笔者在教学中，借助教材中的素材——“四年级第一小组男女生套圈比赛，怎样比较男女生套圈的本领”，促进学生对平均数的理解从肤浅走向深度。“平均数作为一种统计量，具有一种虚拟性、敏感性”，也就是说，“平均数是我们为了刻画一组数据的整体水平而虚拟出的一个数据，并不是真实存在的数据”“一组数据中的任何一个数据的波动都会影响作为统计量的平均数”。教学中，当学生通过“移多补少”以及“算术计算”之后，发现男生套圈的平均数是7，这个数据恰好与男生中的王宇同学套中圈的个数相同。基于此，笔者适时追问学生：这个平均数7与王宇同学套中圈的数据7一样吗？学生通过反思、内省，发现“平均数是一种假想的、虚拟的数据，它只是反映了一组数据的整体性水平，而王宇同学套中圈的个数7却是一个真实存在的数据”。在学生认识到平均数的虚拟性之后，多媒体课件显示这一小组又来了一位男生，学生再次计算平均数，结果发现，平均数已经发生了变化：原来男生套中圈的平均数高于女生，现在男生套中圈的平均数反而低于女生。有学生说，一个数据的变动就会影响平均数，就会影响一组数据的整体水平。由此，学生理解了平均数的敏感性。最后，笔者通过一组精心设计的数据（包含两个极端数据），引导学生认识到平均数只是统计量中的一种。统计量不仅仅有平均数，还包括众数、中位数等。

对平均数素材的精加工，促进了学生对作为统计量的“平均数”的深刻理解。因而，也就有了学生对平均数这样一个统计量的学理性数学表达。值得注意的是，不同的学生对于同一个数学学习对象会产生不同的学理性表达。作为教师，不必苛求学生数学学理性表达的统一性，而应当允许学生的多元化表达，只要这种表达所揭示的数学知识的内涵与外延是到位的即可。

三、多元关联策略：在互译互化中发展学理

学理性的数学语言有着不同的类型，这些类型的学理性数学语言是相通的。同时，学理性数学语言也不是凭空产生的，它来源于学生的生活语言、日常语言，却高于学生的生活语言、日常语言。因而，学理性数学语言与生活语言、日常语言也是相通的。作为教师，要引导学生在不同类型的数学学理性语言之间互化互译互通，引导学生将日常的生活语言提炼成学理性数学语言，从而能建立一个基于学生数学学科素养发展的数学“话语系统”“表达系统”等。

例如，教学“比的认识”“比的基本性质”（苏教版六年级上册）时，教师可以通过表格，沟通“比”与“分数”“除法”等概念之间的关联，促进学生对比的意义的理解，催生学生对比的意义的学理性表达。“比”“分数”“除法”这三个数学学习内容分属于不同的数学概念系统，通过数学语言，这些概念得到了有效的沟通。在教学中，教师不仅要引导学生表达“比”“分数”“除法”之间的关联，更要引导学生表达它们之间的区别。有了对相关数学概念关系的认知，学生就能借助自我的已有知识经验——“商不变的规律”“分数的基本性质”等，尝试建构、表达“比的基本性质”。通过对“比的基本性质”的建构、表达，学生能对相关的数学概念进行数学语言的整体性建构、整体性表达。通过数学语言的整体性表达，数学新知被有效地纳入学生已有的认知结构之中，形成了较强的结构性功能的数学语言系统。如在“比”“分数”和“除法”的话语系统之中，学生牢牢地把握了“同时”“乘除”“相同的不为0的数”的概念的关键性特质。

同一个数学对象（概念、定理等）可以有不同的表征方式。多元关联策略要求学生在数学语言表达的过程中，要进行不同数学语言的互化、互转、互译。通过这样的多元关联，深化学生对数学概念的理解，沟通数学知识之间的内在关联。在数学教学中，教师要引导学生准确地运用文字语言、符号语言和图表语言来表达知识、表达思维，从而不断地提升学生的语言表达力，发展学生的数学核心素养！