剖析瓜豆原理，探究动点轨迹

宋璨

[摘  要] “瓜豆原理”是解析主从联动轨迹问题重要的数学原理，解析过程涉及几何旋转、相似、全等、共线等几何知识，综合性极强. 探究时要挖掘动点关联，确定动点轨迹，实现问题的静态转化. 文章将深入剖析“瓜豆原理”，探究轨迹模型，总结方法策略，应结合实例应用探究，并深入反思.

[关键词] 瓜豆原理;轨迹;整体思想;主从关系;相似

几何动点是初中数学的重难点问题，把握动点轨迹是问题突破的关键. 部分问题中往往描述的是动点P，但最终需要探究另一点Q，实际上两点之间是“主从”关系，其中隐含了数学的“瓜豆原理”，即由古语“种瓜得瓜，种豆得豆”衍生出的“种”圆得“圆”，“种”线得“线”. 深入探究“瓜豆原理”，提炼轨迹模型，对于相关几何动点问题的突破有一定帮助，下面逐步探究.

问题引例

例题 如图1所示，点P是⊙O上的一个动点，点A为定点，连接AP，设AP的中点为Q.

探究 当点P在⊙O上运动时，点Q的轨迹是什么？

分析 点Q是始终是AP的中点，点P和Q之间是“主从”运动关系，联想物理上的“连杆”，可猜想点Q的轨迹也是圆. 实际探究时可连接AO，取AO的中点为M，则点M就是动点Q轨迹的圆心，再连接PO和QM，如图2所示. 分析可知△AQM和△APO为相似三角形，且相似比为AM∶AO=1∶2，可推知QM= OP，即显然任意时刻上述三角形相似关系均成立，则点Q的轨迹为圆，且半径为 OP.

总结 点P和Q运动过程中，始终有点A，Q，P三点共线，且QM= OP. 从几何视角分析可知，动点Q的轨迹为点P轨迹的成比例缩放. 对于主从动点问题，可从动点之间的相关关系来分析运动轨迹，动点之间的数量关系反映在轨迹曲线特性上.

深入剖析

上述主从动点可视为常见的“连杆”运动，若主从动点与定点之间不共线，又会出现怎样的运动轨迹，这也是常见动点轨迹问题的构建形式，下面深入探究.

问题 如图3所示，点P是⊙O上的一个动点，点A为定点，连接AP，作AQ⊥AP，且AQ=AP，当点P在圆上运动时，点Q的轨迹又是怎样的？

分析 上述动点P和Q之间依然符合“主从”运动关系，可理解成线段AP绕着点A进行旋转. 考虑到“AQ⊥AP，AQ=AP”始终成立，初步可确定点Q的轨迹也是圆. 设点M为动点Q轨迹圆的圆心，连接AM和AO，如图4所示，则可证△APO≌△AQM，显然任意时刻均成立，可推知半径MQ=PO，即动点Q的轨迹是半径为MQ的圆，轨迹圆大小与点P的轨迹相同.

进一步思考：上述轨迹半径是由“AQ=AP”来决定的，若将其替换为AP=nAQ，则△APO与△AQM不再全等，而变为相似关系，即△APO∽△AQM，且相似比AP∶AQ=AO∶AM=n∶1，任意时刻Q点轨迹圆圆心M满足QM= OP.

模型总结：基于上述分析，对于图5所示的动点运动，可称点P为“主动点”，点Q为“从动点”，点Q运动时会带动点P运动.

在该模型中有如下两个定量：主动点、从动点与定点连接的夹角是固定的（即∠PAQ为定值）;主动点、从动点到定点距离之比为定值（即 为定值）.

解析策略 在实际分析时，可从几何视角来看，“主从”动点的轨迹图形是相似或全等关系，两动点之间可视为几何“旋转+伸缩”的衍生. 可结合整体思想，定性探究“主从”动点之间的运动规律，确定轨迹的形状;然后结合几何性质，定量计算运动轨迹的大小.

应用探究

上述深入探究了“瓜豆原理”，并总结了“主从”动点问题的模型及探究策略，探究“主从”动点的运动关系，确定动点轨迹是问题突破的关键. 由“主从”动点为基础构造的问题类型也较为众多，总体上可分为几何轨迹相似和全等两种情形. 解析时可分两步进行：第一步，根据“瓜豆原理”确定动点轨迹;第二步，借助直观的图像，利用几何性质模型加以突破.

1. “瓜豆原理”之旋转全等

例1 如图6所示，已知正方形ABCD中AB=2 ，点O是BC边上的中点，点E是正方形内的一个动点，OE=2，将线段DE绕着点D逆时针旋转90°，得到DF，在连接AE和CF，则线段OF的最小值为______.

分析 上述求点E运动过程OF的最小值，由题意可知点E为主动点，而点F是从动点，点D是定点，始终有OE=2，则点E的轨迹是以点O为圆心，2为半径的圆. 由于DF⊥DE，DE=DF可作DM⊥DO，且DM=DO，由“瓜豆原理”可知点F的轨迹是以点M为圆心，2为半径的圆，如图7所示. 后续直观分析动点轨迹，直接确定OF取得最小值时的情形即可.

解 线段OF中，点O为定点，点F是⊙M上的动点，则根据经验可知连接OM，OM与⊙M的交点就为OF最小时点F的位置. 可构造“三垂直”全等模型，如图7所示. 阴影部分的两个三角形始终垂直，则DO=DM，即△DOM为等腰直角三角形. 在Rt△DOM中，已知CD=2 ，CO= ，由勾股定理可得OD=DM=5，所以OM=5 ，OF的最小值为OM-MF=5 -2.

2. “瓜豆原理”之旋转相似

例2 如图8所示，已知点C是半圆O的圆弧AB上的一个动点，现以BC为边作正方形BCDE（弧BC位于正方形内），再连接OD，如果AB=4，则OD的最大值为________.

分析 本题目中点C的轨迹是确定的，是圆弧AB，而点D是由动点所在边为基础构造的正方形BCDE的一个顶点，显然符合“瓜豆原理”，初步由“主从联动”可确定点D的轨迹也为半圆. 根据题干信息可知，点D可由点C绕点B顺时针旋转45°获得，故可连接BD，分析可知BD= CB，即点D的轨迹是点C轨迹绕点B顺时针旋转45°，且半径扩大 倍的半圆.

解 根据上述分析点D的軌迹同为半圆，将OB顺时针旋转45°，半径扩大 倍，可得O′B，如图9所示. 点O′就为点D轨迹半圆的圆心，且点O′位于点O正上方的半圆弧上. 分析可知，当点O，O′和D三点共线，且点D位于OO′延长线上时，OD可取得最大值. 此时OB=2，O′B=2 ，OO′=2，O′D=2 ，OD≤OO′+O′D，所以OD的最大值为2+2 .

解后反思

“瓜豆原理”是破解动点轨迹问题的常用模型策略，该策略准确把握运动本质，剖析动点规律，借助几何直观“化动为静”. 同时解析过程，注重整体思想、数形结合思想，深入探究有利于培养学生的核心素养，下面进行深入反思.

1. 关于动点问题的策略总结

“瓜豆原理”常用于解析轨迹为线段和圆弧的动点问题，实际应用时可结合整体思想和数形结合思想逐步剖析. 分析过程可分如下五步进行：第一步，确定主动点的轨迹;第二步，挖掘主、从动点的几何关系;第三步，确定主动点的起点和终点，结合几何相似或全等来推导从动点的轨迹;第四步，根据动点轨迹求解点、线、最值等问题. 同时，轨迹探究过程可结合“猜想—验证”的方法，提取问题中的运动条件，基于“几何不变量”猜想动点轨迹，然后结合条件严格论证. “共线原理”是动点最值问题常用的几何原理，实际求解时可合理利用，巧妙确定最值情形.

2. 关于“瓜豆原理”的教学建议

“瓜豆原理”及动点轨迹问题的教学应立足知识基础，重视模型剖析，强化解题策略，渗透思想方法，通过知识探究来提升学生的综合能力. 因此，教学中可设置四个环节逐步开展：环节一，预备知识引入，强化“瓜豆原理”的基础知识，如点圆最值、旋转相似或全等、轨迹意识，为后续原理探究作铺垫;环节二，探究轨迹模型，剖析模型的解析过程，总结方法策略;环节三，开展应用探究，归纳“瓜豆原理”适用的问题类型，帮助学生积累解题技巧;环节四，开展拓展探究，可设置变式问题，引导学生充分感知原理，感受模型思想. 总之，教学过程要合理设问引导，让学生参与课堂讨论，充分思考问题，以提升学生的数学素养为教学根本.