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巧用直径,妙解圆的综合题

2021-06-20赵宏敏

初中生世界·九年级 2021年5期
关键词:圆周角平分切线

赵宏敏

圆的直径具有以下性质:直径是圆中最长的弦,直径所在的直线是圆的对称轴,直径所对的圆周角是直角。我们在解与圆的直径有关的题型时,要注意利用好直径的这些性质。

一、利用直径求最值

例1 如图1,△ABC中,∠BAC=60°,∠ABC=45°,AB=2,D是线段BC上的一个动点。以AD为直径画⊙O分别交AB、AC于点E、F,连接EF,则线段EF长度的最小值为。

【分析】连接OE、OF,作OM⊥EF于点M,作AN⊥BC于点N。根据圆周角定理得到∠EOF=120°,再计算出EF=[3]OE,则OE最小时,EF的长度最小,此时圆的直径的长度最小。利用垂线段最短得到AD的长度最小值为AN的长,接着计算出AN=[2],从而得到OE的最小值为[22],最后确定EF长度的最小值。

解:连接OE、OF,作OM⊥EF于点M,作AN⊥BC于点N,如图2。

∵∠EOF=2∠BAC=2×60°=120°,

而OE=OF,OM⊥EF,

∴∠OEM=30°,EM=FM。

在Rt△OEM中,OM=[12]OE,

EM=[32]OE,

∴EF=2EM=[3]OE,

∴当OE最小时,EF的长度最小,此时圆的直径的长度最小,即AD的长度最小。

∵AD长度的最小值为AN的长,

而AN=[22]AB=[2],

∴OE的最小值为[22],

∴EF长度的最小值为[3]×[22]=[62]。

故答案为[62]。

二、利用直径求线段长

例2 如图3,点A、B、C、D在⊙O上,OA⊥BC,垂足为E。若∠ADC=30°,AE=1,则BC的长为()。

A.2B.4C.[3]D.[23]

【分析】连接OC,根据圆周角定理求得∠AOC=60°,则在Rt△COE中,可得OE=[12]OC=OC-1,得到OC=2,从而得到CE=[3],最后根据垂径定理得到BC的长。

解:连接OC,如图4。

∵∠ADC=30°,

∴∠AOC=60°。

∵OA⊥BC,

∴CE=BE,∠CEO=90°,

∴在Rt△COE中,

OE=[12]OC,CE=[3]OE。

∵OE=OA-AE=OC-1,

∴OC-1=[12]OC,

∴OC=2,

∴OE=1,

∴CE=[3],

∴BC=2CE=[23]。

故选D。

三、利用直径判断线段之间的关系

例3 如图5,在△ABC中,∠B=90°,点D为AC上一点,以CD为直径的⊙O交AB于点E,连接CE,且CE平分∠ACB。

(1)求证:AE是⊙O的切线;

(2)连接DE,若∠A=30°,求[BEDE]。

【分析】(1)连接OE,证明OE∥BC,得∠AEO=∠B=90°,即可得出结论;

(2)连接DE,先证明△ECB∽△DCE,得出[BEDE]=[CECD],易证∠ACB=60°,由角平分线定义得∠DCE=[12]∠ACB=[12]×60°=30°,由此即可得出[BEDE]的值。

(1)证明:连接OE,如图6。

∵CE平分∠ACB,

∴∠ACE=∠BCE。

又∵OE=OC,

∴∠ACE=∠OEC,

∴∠BCE=∠OEC,

∴OE∥BC,

∴∠AEO=∠B。

∵∠B=90°,

∴∠AEO=90°,

即OE⊥AE。

∵OE为⊙O的半径,

∴AE是⊙O的切线。

(2)解:连接DE,如图7。

∵CD是⊙O的直径,

∴∠DEC=90°,

∴∠DEC=∠B。

又∵∠DCE=∠ECB,

∴△ECB∽△DCE,

∴[BEDE]=[CECD]。

∵∠A=30°,∠B=90°,

∴∠ACB=60°,

∴∠DCE=[12]∠ACB=[12]×60°=30°,

∴[CECD]=cos∠DCE=cos30°[=32],

∴[BEDE][=32]。

直徑是圆的重要特征之一,可以确定圆的大小,计算圆的周长和面积,也可以构造直角三角形。因此,我们可以根据题意将要求的线段、角度、线段之比等转化到直角三角形中,然后利用勾股定理或相似三角形求解。

(作者单位:江苏省苏州工业园区星澄学校)

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