剖析错因 重视典型

丁云

在中考中，四边形与三角形的综合运用题让很多同学望而却步。以四边形的知识为背景的题型很多，同学们在解题的过程中也容易出现一些错误。下面，老师选取一些典型例题进行分析，希望能够帮助大家对四边形有进一步的认识。

一、忽视分类，造成漏解

例1 在? ABCD中，AD=2，AE平分∠DAB

交CD于点E，BF平分∠ABC交CD于点F。若EF=1，则? ABCD的周长为。

【错解】10。

【错因分析】此题考查了等腰三角形的判定与性质、平行四边形的性质。我们要特别注意，如果有平行线与角平分线，一般会存在等腰三角形。解题时还要注意数形结合思想的应用。本题根据题意可以作出两种不同的图形，所以答案有两种情况，错解就是丢掉了一种情况。

【正解】∵四边形ABCD是平行四边形，

∴AB∥CD，BC=AD=2，AB=CD，

∴∠EAB=∠AED，∠ABF=∠BFC。

∵AE平分∠DAB，BF平分∠ABC，

∴∠DAE=∠BAE，∠CBF=∠ABF，

∴∠AED=∠DAE，∠BFC=∠CBF，

∴AD=DE，BC=FC，

∴DE=CF=AD=2。

由图1得CD=DE+CF-EF=2+2-1=3，

∴?ABCD的周长为10。

由图2得CD=DE+CF+EF=2+2+1=5，

∴?ABCD的周长为14。

∴?ABCD的周长为10或14。

二、知识混用，形成错解

例2 如图3，在? ABCD中，AD=2AB，F是AD的中点，作CE⊥AB，垂足E在线段AB上，连接EF、CF，则下列结论中一定成立的是。（把所有正确结论的序号填在横线上。）

①∠DCF=[12]∠BCD;②EF=CF;

③S△BEC=2S△CEF;④∠DFE=3∠AEF。

【错解】①②。

【错因分析】此题①②较为常规，主要考查了平行四边形的性质以及全等三角形的判定与性质等知识。延长EF、CD交于点M，得出△AEF≌△DMF是解题关键。本题做错是由于不能灵活运用平行四边形与三角形的相关知识，因此，添加适当的辅助线也是解决本题的关键。

【正解】①②④。

设∠FEC=x，则∠FCE=x，

∴∠DCF=∠DFC=90°-x，

∴∠EFC=180°-2x，

∴∠EFD=90°-x+180°-2x=270°-3x。

∵∠AEF=90°-x，

∴∠DFE=3∠AEF。故④正确。

三、思路单一，缺少积累

例3 如图4，在正方形ABCD中，点E、F、H分别是AB、BC、CD的中点，CE、DF交于点G，连接AG、HG。下列结论：①CE⊥DF;②AG=DG;③∠CHG=∠DAG中正确的有（）。

A.0个B.1个 C.2个D.3个

【错解】D。

【错因分析】根据全等三角形的性质，易证得CE⊥DF与AH⊥DF;由直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半，再根据等腰三角形的性质，即可得∠CHG=∠DAG。而对于②，要运用等腰三角形的性质以及垂直平分线的性质等知识，需要同学们合理假设。本项的综合性很强，难度较大，解题的关键是注意数形结合思想的应用。大家如果平时积累不够，解题思路过于单一，方法刻板，则会在解决本题时难以下手。

【正解】如图5，连接AH，易证CE∥AH。

∵在Rt△CGD中，H是CD边的中点，

∴DK=GK，∴AH垂直平分DG，

∴AG=AD。

若AG=DG，则△ADG是等边三角形，

则∠ADG=60°，∴∠CDF=30°，

∴CF=[12]DF。

而CF=[12]CD，又DF≠CD，

∴AG=DG不成立，所以②错误。

故选C。

（作者单位：江苏省南京市科利华中学棠城分校）