动中觅静 静中探解

谢丽丽

近几年，命题者常以四边形为背景，渗透点的运动，并对此点在运动变化过程中产生的等量、变量、图形间的关系进行考查。下面结合例题对四边形中的动点问题进行剖析，供同学们参考。

一、动点产生的分段函数

例1 如图1，E为矩形ABCD的边AD上一点，点P从点B出发沿折线B-E-D运动到点D停止，点Q从点B出发沿BC运动到点C停止，它们的运动速度都是1cm/s。现P、Q两点同时出发，设运动时间为x（s），△BPQ的面积为y（cm2），若y与x的对应关系如图2所示，则矩形的面积是（）。

A.96cm2 B.84cm2

C.72cm2 D.56cm2

【分析】我們先初步了解整个运动的过程，由于两点运动速度相同，那么可以厘清其中的三种情形：点P在线段BE上运动，点Q在线段BC上运动;点P在线段ED上运动，点Q在线段BC上运动;点P在线段ED上运动，点Q在点C处静止。明确三种情形的临界状态，再结合图像上的关键点进行分析，化动为静，便可将面积转化为线段长求解。

解：从函数的图像和点的运动过程可以得出，当点P运动到点E时，x=10，y=30。过点E作EH⊥BC，如图3。

∵y=[12]·x·EH，即30=[12]×10×EH，

∴EH=6，即AB=6。

在Rt△BAE中，由勾股定理，得AE=8。

由图2知，当x=14时，点P与点D重合，即DE=14-10=4，

∴AD=AE+DE=8+4=12，

∴矩形的面积为12×6=72（cm2）。

故选C。

二、动点产生的图形

例2 如图4，在矩形ABCD中，AB=1，AD=[3]，P为AD上一个动点，连接BP，线段BA与线段BQ关于BP所在的直线对称，连接PQ，当点P从点A运动到点D时，线段PQ在平面内扫过的面积为。

【分析】已知点P的运动轨迹是线段AD，因此，只需再确定点Q的运动轨迹即可。由轴对称得BQ=BA，而点B是定点，BA的长为定值1，所以点Q的运动轨迹是圆弧，其圆心角可结合已知数据求得。那么图5中的阴影面积即为所求，再利用分割法可求得面积。

解：∵线段BA与线段BQ关于BP所在的直线对称，

∴BQ=BA=1，△ABP≌△QBP。

∵点B是定点，

∴点Q的运动轨迹是以B为圆心的圆弧。

如图5，阴影部分即为当点P从点A运动到点D时，线段PQ在平面内扫过的图形。

∵矩形ABCD中，AB=1，AD=[3]，

∴∠BQD=∠BAD=90°，∠ABD=60°，

∴∠ABQ=2∠ABD=2×60°=120°，

∴S阴影部分=S四边形ABQD-S扇形ABQ

=2S△ABD-S扇形ABQ

=S矩形ABCD-S扇形ABQ

=[3]×1[-120π×12360]

=[3][-π3]。

三、动点产生的线段最值

例3 如图6，在?ABCD中，∠B=60°，AB=10，BC=8，点E为边AB上的一个动点，连接ED并延长至点F，使得DF=[14]DE，以EC、EF为邻边构造?EFGC，连接EG，求EG的最小值。

【分析】点E的运动带来?EFGC的运动。?EFGC中边的长度在变，但我们要抓住变化过程中不变的数量关系和位置关系，如EF=CG，EF∥CG。又由DF=[14]DE，得[DECG]=[45]。记CD与EG的交点是点O，由△DOE∽△COG，得[EOGO]=[45]，故[EOEG]=[49]，即EG=[94]EO。此时，问题转化为求线段EO长的最小值，即求两条平行线AB、CD之间的距离。

解：∵四边形EFGC是平行四边形，

∴EF∥CG，EF=GC，

∴△DOE∽△COG，

∴[EOGO]=[EDGC]。

∵DF=[14]DE，

∴[DEEF]=[45]，

∴[EDGC]=[45]，

∴[EOGO]=[45]，

∴EG=[94]EO。

过点C作CH⊥AB于点H，如图7。

∵在Rt△BHC中，∠B=60°，BC=8，

∴CH=BC×sin60°=[43]，

∴当EO⊥CD时，EO取得最小值[43]。

∵EG=[94]EO，

∴EG的最小值是[94]×[43]=[93]。

四边形中的动点问题综合性强，常与圆、三角形等几何知识以及方程、函数等代数内容结合，要求较高。我们要抓住动点变化过程中不变的量，关注特殊四边形本身的数量关系和位置关系，必要时结合特殊状态或将相关线段代数化，通过动的现象寻觅静的本质，从动静间的转化出发剖析问题，实现动态问题静态化，最终实现问题的解决。

（作者单位：江苏省南京市金陵中学龙湖分校）