三因素原油期货定价模型及解析解

乔克林，张少锋

(延安大学 数学与计算机科学学院，陕西 延安 716000)

原油期货可以说是人类智慧的结晶，它在成功实现转移风险功能的同时，还为市场的投资者提供了新的工具。自原油期货诞生以来，学者们对其进行了广泛而深度的研究，其中原油期货定价模型的研究尤为重要。1997年Schwartz[1]将利率作为一个直接影响到原油期货价格的状态变量引入到定价模型中，提出了三因素模型。之后，Schwartz等[2]提出期限三因素模型；王苏生等[3]在二因素模型中加入中期因素，建立三因素模型；闫伟等[4]研究了带有随机汇率因素的三因子期货价格模型。基于此，本文利用随机过程理论和微分方法，对三因素原油期货定价模型做了进一步的研究，并得出了模型的解析解。

1 三因素原油期货定价模型

定义1[5]如果随机过程{X(t),t≥0满足

(1)X(0)=0；

(2){X(t),t≥0}为平稳独立增量过程；

(3)对于每一个t≥0，有X(t)～N(0,σ2t)。

则称随机过程{X(t),t≥0}为维纳过程或布朗运动。

定义2[6]如果随机变量X的函数Y=lnX服从正态分布N(μ,σ2)，则称X服从参数为μ和σ2的对数正态分布。

本文给出王苏生[3]的期限三因素原油定价模型。设现货价格的对数可以分解成短期、中期、长期均衡变量三部分：

lnSt=x1t+x2t+x3t。

其中St为原油现货价格，短期变量x1t和中期变量x2t服从均值为零的O-U过程，长期均衡变量x3t服从布朗运动：

其中，k1，k2分别表示短期变量和中期变量的均值回复率；μ表示长期均衡变量的漂移率；σ1，σ2，σ3分别表示x1t，x2t，x3t的波动率；dW1，dW2，dW3分别表示x1t，x2t，x3t的标准布朗运动的增量，且有

在风险中性测量下，我们引入风险溢价因子λ1，λ2，λ3，分别表示短期、中期、长期风险溢价因子。此时三因素模型为

(1)

2 三因素原油期货定价模型的解析解

利用随机过程知识和微分方法，针对模型(1)推导其解析解，为了求得期货价格，下面先求解lnSt的期望，然后求解lnSt的方差，进而得出模型的解析解。

首先对模型(1)中的第一个等式两边同乘ek1t并且移项得

ek1tdx1t+ek1tk1x1tdt=-ek1tλ1dt+ek1tσ1dW1，

由分部微分duv=udv+vdu得

两边积分得

移项同除以ek1t，即得xt的价格为

由模型中的第二个等式同理得到x2t的价格为

对模型中的第三个等式两边积分得

移项即得x3t的价格为

期望则是各自随机变量的期望：

E(lnSt)=Ex1t+Ex2t+Ex3t。

又EU1=0，

所以

故得出

同理得

Ex3t=x30+(μ-λ3)t。

所以求得lnSt的期望

E(lnSt)=Ex1t+Ex2t+Ex3t=

x30+(μ-λ3)t+(μ-λ3)t。

下面继续求解lnSt的方差。

由于D[lnSt]=D[x1t+x2t+x3t]=

Dx1t+Dx2t+Dx3t+2Cov(x1t,x2t)+2Cov(x1t,x3t)+

2Cov(x2t,x3t)，

而Cov(x1t,x1r)=E(x1t·x1r)-Ex1tEx1r=

其中假定r>t，由Ito随机过程推论

故得

同理可得

进一步有

Cov(x1t,x2t)=E(x1t·x2t)-Ex1tEx2t=

同理有

由于F0,t=E[St]，再由对数正态分布的[6]性质可知

若给定状态变量初始值，根据F0,t=E[St]得到初始时刻的期货价格解析解

求解完毕。