“有关直角三角形的旋转习题课”案例分析

王丹

2019年我参加了课题为“有关直角三角形的旋转习题课”的公开课展示。课始，学生振奋精神，跃跃欲试。“同学们，教材第66页的第7题是研究两个直角三角形旋转到一些特殊位置基本型，本节课我们就来探索这类问题可以找到哪些结论。”于是我带领学生开启了习题探究课的旅程，以达到拓展学生思维能力的目的。

问题1：如图1，△ABC经过旋转得到△DCE，请问△ABC绕着点     ，按      时针旋转      度得到△DCE，从而得到△ABC △DCE.

学生思考片刻，在导学案上马上写出了答案，因为利用旋转性质产生全等三角形;△ABC 绕着点 A  ，按  顺  时针旋转  90  度得到△DCE，从而得到△ABC ≌△DCE.

变式1：如图2，连接AD，BE，我们可以找到哪些特殊的三角形？

学生通过观察两个旋转直角三角形的特殊位置，发现△BEC与△ACD是等腰直角三角形。在这个环节中让学生亲身体验如何“做数学”，从中感受到由已知图形得到新图形的过程。

变式2：如图3延长DE，交AB于点F，DF和AB的位置关系是什么？

利用旋转得到全等，学生知道对应角∠1=∠2，又由对顶角相等，所以∠3=∠4，

由三角形内角和为180？紫，等量代换得到∠AFE=90？紫，即DF⊥AB.

根据边之间的关系求边比，这类问题，学生就会有一定的思维阻力，引导学生考虑相似。学生们找到△AFE∽△DCE， △ACD∽△BCE.推导出

变式3：如图4，如果∠DEC=60？紫，求∠ABE=

利用等腰直角三角形这个特殊的∠EBC=45？紫，学生们很快得出了15？紫的结论。

变式4：如图5，∠A=35？紫，此时，点E在AB上，DE交AC于点F，∠EFC=

学生分析得出初步结论是：∠CBA=90？紫-∠A=55？紫，∠CED=∠CBA，利用点E的特殊位置在AB上，产生了CE=CB，得到∠CEB=∠CBA，推出∠CEB=∠CBD，利用外角性质，∠EFA=2∠DEC-∠A=55？紫×2-35？紫=75？紫，∠EFC=180？紫-75？紫=105？紫.

变式5：如图6，点D是等腰直角△ABC内一点，BC是斜边，如果将△ABD绕点A逆时针旋转到△ACD'位置，则∠ADD'=

这个问题是换了已知条件，实际上仍然考查旋转性质产生全等三角形，从而引出等腰直角三角形的结论。学生很快识别了这个结论得到了∠ADD'=45？紫.

变式6：如图7，在△ABC 中，∠CBA=70？紫，将△ABC 绕点A逆时针方向旋转一个锐角α到△AB'C' ，连接CC'，若CC'∥AB，则旋转角α的度数为

本题还是旋转出全等，由于添加了平行这个条件，产生等腰三角形。由CC'∥AB ，得∠CBA=ACC'=70？紫，由AC=AC'，得AC'C= ACC'=70？紫，由三角形内角和180？紫，我们可以得到∠CAC'=40？紫.

变式7：如图8，在Rt△ABC中，∠ACB=90？紫，

如圖9，点P在AB上，且CA=CP=6，AB=18，将△ABC绕点A顺时针旋转得Rt△AB'C'，且C'落在CP的延长线上，连接BB'交CP的延长线于点F，求线段BF的长.

本题目条件多，当堂课没有解决完全，我带领学生初步分析了条件和讨论思路。本题主要是处理等角的挖掘和相似。

解析：

由全等知∠BAC=B'AC'，

得∠CAC'=∠BAB'，

由于边等CA=C'A，BA=B'A，

得△CAC'与△BAB'，都是相似的等腰三角形，

所以，∠ACP=∠ABF，

由于∠ACP=∠BPF （对顶角相等）△BPF∽△CPA

由CP=CA，得△BPF 与△CPA都是相似的等腰三角形.

过C点作AB的垂线CK，垂足为K.

通过等角的发现，Rt△ABC ∽Rt△ACK，

所以BF=BP=14.

我们探究的课题不仅仅是给予学生解题的思路和步骤，更重要的是教会学生挖掘已知条件和图形中隐含的边角关系，从而解决问题。此课的学习打开了学生的思路，让学生能够从多个角度来认识同一类型的问题，这为以后学习更有深度的内容打下了良好的基础。

（此作者为援藏教师，派出单位为哈尔滨市征仪路学校）

编辑/李    莉