“生长数学”理念下的初中数学复习课初探

江美红

在日常教学中，不少教师在复习课上只是把所要复习的知识进行简单的罗列，变成新授课的机械重复，学生无论从知识、能力上都得不到更多收获。如何提高复习课的效能，这是毕业班教师非常关心的问题。“生长数学”理念下的数学复习课，能根据所要复习的知识内容和学生已有的认知经验，坚持系统化理论，践行“生长数学”的教学主张，运用结构化的思维方法，架设生长型路径，开展探究性活动。学生可从中积累新经验、经历新感受、收获新成长。

数与式这两章的内容，知识点多而散，数中包含有理数、无理数、实数、开方、方根等概念及运算，式中包含整式、分式、二次根式等概念、性质及运算。复习课除了要对这些知识进行查漏补缺外，还要打开章节通道，贯通前后内容，聚集所要复习的核心知识，智慧地整合教学资源。

教学环节1.数的复习

问题1.我们到现在为止，学过哪些数？

设计意图：复习实数的分类。

问题2.认识了实数后，我们还学过哪些实数的运算？

设计意图：引发学生对实数相关运算知识的回忆。

问题3.现在把学过的一些数用运算符号连接起来，得到算式3-1-[（-3）2]+[13-3]+（-[3]）0，记为①，计算这个算式，我们需要哪些知识？

设计意图：把学生在回答问题1、问题2中的数字和符号连起来，生成算式，让学生回顾开方、负指数幂、绝对值、零指数幂等中考常考的知识点。

问题4.请同学们对①式进行计算，并说出计算结果。

问题5.若把①式中的3改为4，得到算式4-1-[（-4）2]+[14-4]+（-[4]）0，记为②，再次计算;若改为5呢？

设计意图：本环节用问题串的形式启发学生思考，通过理性计算，验证了意想不到的结论，既提升了学生的数学运算能力，也为下一个问题做好铺垫。

问题6.若要保持计算结果不变，①式中的数字3还能不能改了？若能，还能改成哪些数？

设计意图：此环节让学生归纳结论，提出猜想，让他们在求知心切的状态下，全身心地投入到学习中去。

教学环节2.由数到式

问题7.如何证明上述猜想？

设计意图：让学生经历完整的“归纳——猜想——证明”推理过程，提升学生的逻辑推理能力，同时体悟由數到式的必要性和优越性。

问题8.将①式中的3用字母a代替，得到代数式a-1-[（-a）2]+[1a-a]+（-[a]）0，记为③，在这个代数式里，有哪些特殊的代数式呢？

设计意图：用问题来引出代数式的分类，对比数的分类，让学生感受两者之间的异同点。让学生亲历整合碎片化知识的过程，更好地理清知识之间的联系。

问题9.使③式成立的条件是什么？

预设生成：学生的回答可能有缺漏，需引导学生考虑问题要全面，进而得出字母a的取值范围是a>0。

设计意图：通过这个问题，复习了二次根式、分式等代数式成立的条件，学生养成了看到含字母的代数式就有挖掘隐含条件的习惯和意识，感受数与式之间的区别。

问题10.化简③式，除了用到数的相关知识外，还需要掌握什么知识或方法呢？

预设生成：在作差时，有的学生化解至[1a]?a=[1-a2a]就开始判断符号，此时应引导学生进行因式分解，再在a>0的前提条件下与0进行比较，当因式1?a无法确定符号时，启发学生利用分类讨论思想解决问题。

设计意图：进一步巩固化简绝对值的方法，并引出新问题，[1a]与a谁大谁小？复习比较代数式大小的方法——比差法、因式分解知识及渗透分类讨论思想。

问题11.通过化简③式，我们能发现①式中的数字3换成哪些数可使答案不变呢？

预设生成：在问题10的铺垫下，学生不难得出：当0

设计意图：进一步巩固代数式的化简。

教学环节3.拓展提升

问题12.已知x=[12+3]、y=[12-3]，求 [x2+xy+y2xy]的值。

预设生成：此题有多种解答方法，第一种是直接代入;第二种是将x、y分母有理化后再直接代入;第三种是求出x+y=4，xy=1后，再整体代入变形后的代数式[（x+y）2?xyxy]，或求出x2+y2的值再整体代入;第四种是把所求代数式化为[1y]+1+[1x]后再计算。学生会答出多种思路，教师只需引导学生思考更简捷的思路即可。

设计意图：学生通过化简计算，提高分式、二次根式的运算能力，体会解题方法的多样性和感受整体思想的优越性。

问题13.上题中，由x+y=4，xy=1，我们可以求出x2+y2的值，那么你还能求出哪些代数式的值？

预设生成：学生可能回答（x?y）2，[1x]+[1y]，x2y+xy2……不管说出几个，教师都可引导学生观察这些代数式具有的共同特点，给出对称式的概念，再举出更多代数式的例子，任选几个典型代数式并求出它们的值。

设计意图：复习乘法公式在整式、分式、二次根式中的正向、逆向运用，引出对称式的概念，并感受知二求多的过程。

问题14.由x+y=4，xy=1，你能不能将x，y放在其他不同的背景中，如几何图形或者函数背景下，尝试设计出其他问题？

预设生成：学生可能想到矩形，已知周长和面积，求对角线长;也可能想到直角三角形，已知两条直角边的和与面积，求斜边长;可能放在函数背景下，已知一次函数y=?x+4和反比例函数y=[1x]，求两个函数图像的交点到原点的距离。此问题难度高，可给予学生足够的时间，小组合作探讨，再分享成果。

设计意图：让学生回顾所学知识，并将知识进行横纵向联系，提升学生的思维深度和广度。

该部分设计利用由数到式、数式应用这条主线，勾勒出异于新授课的思维场景，营造出复习这一内容的新思维氛围。经过教师创造性演变过的学习活动，是有价值且高效的，是学生骤然顿悟的质变过程。这个过程可助力学生思维活动的展开，培养学生思维的创新性。

【教学思考】

1.选准问题的起点与终点。

创造性地使用教材，要有打破教材结构的勇气，总结教学中相近或相邻的知识，从知识体系和知识结构上去把握初中数学教学内容和教学要求，选准问题的起点与终点。本课例以“我们到现在为止，学过哪些数？”这一个典型问题为学习起点，引出数与式的概念、运算的复习。设置问题“已知x=[12+3]、y=[12-3]，求[x2+xy+y2xy]的值”是为了将教材中的基本问题逐步演变成中考中的焦点问题，帮助学生寻找和总结解题的方案。

2.设计好问题生长的路径。

在选好问题的起点与终点之后，要认真谋划所要复习内容的生长过程，精心设计好问题生长的路径，创造性地提炼知识的生长链，充分展示模型变化、结构变化、背景变化、深度变化的关系。如：改变算式3?1?[（-3）2]+[13-3]+（-[3]）0中的数字3，若使得算式的结果不变，猜想可以改成哪些数？由数到式加以论证，揭示变化中的不变性的规律。再如：由x+y=4，xy=1，能否将x，y放在其他不同的背景中，如几何图形或者函数背景下，尝试设计出其他问题？学生在创造过程中感受成功的喜悦，不断地开拓与超越，凸显数学问题的本质，彰显数学变式的魅力。

3.精选生长链中的例题和习题。

用“生长数学”理念进行架构，要根据所复习的内容，精选生长链中的例题和习题，如问题12选择分式的化简求值问题，是中考的重要考点，该题解法多样，且渗透了重要的数学思想方法。还可以对此进行变式，让学生进行针对性的练习。最后提升难度，学生根据数学等式，设计不同领域的数学问题。所选的变式问题注意到不同的梯度，重构旧知识的新视野，学生从中积累新经验，收获新成长。

（作者单位：江苏省太仓市实验中学）