基于PVDF阵列的微结构表面形貌感测方法研究

余 震，余静娴，张晨阳

(1. 武汉科技大学冶金装备及其控制教育部重点实验室，湖北 武汉，430081；2. 武汉科技大学机械传动与制造工程湖北省重点实验室，湖北 武汉，430081)

近年来，随着对制造精度要求的不断提升，精密表面的微形貌测量技术至关重要[1]。目前，常用的微结构表面形貌测量方法包括接触式和非接触式两种。非接触式测量技术(如光学扫描方法)具有高速、无损等优点，但该技术不仅受被测物体表面反射率的限制，还存在扫描速度慢、设备成本高、测量效率低等问题。接触式测量技术精度和可靠性相对较高，此外，还可以通过更换测头来实现不同材料微结构表面的测量。

聚偏氟乙烯(PVDF)压电材料除了具有良好的耐化学腐蚀性、耐高温性和压电性能外，还具有质轻、柔性好等特点，可以根据需要加工成各种形状、厚度的元件，有望应用于微结构表面形貌感测，其优越性[2-3]具体表现在：①由PVDF制成的薄膜质量轻、柔性极好，能以大面积阵列的形式贴附于被测结构表面，对于不规则表面也能保证充分接触；②PVDF由于具有优异的压电性能和介电性能，灵敏度相对较高，频带响应范围宽(0～500 Hz)；③ PVDF具有良好的力学性能，在进行应力检测时，误差相对较小，并且适用于动态检测，对应力和应变响应迅速。

近年来，关于PVDF压电薄膜在结构监测方面的应用已有大量报道，如Sharma等[2]等采用静电纺丝技术制备了一种高密度、密集排列的核-壳结构PVDF纳米纤维，可以应用于血管内的压力监测；Shapiro等[3]提出一种由PVDF压电材料制成的偏转传感器，有望应用于对机械手和柔性结构动态过程的监测与控制；李涛[4]以 PVDF 压电薄膜为触觉传感器，设计出一种能有效分析三维空间触觉信号的四棱台式仿人机械手；李琳杰等[5]结合PVDF压电薄膜开发了一种足底压力测试系统；Ling等[6]基于PVDF压电薄膜提出了一种自感知的压电驱动XYZ挠性机构传感器，可以实现对挠性机械手的精确控制；Youssef等[7-8]使用由PVDF制成的聚合物压电薄膜，实现了对推力轴承内部接触压力的感测；Cong[9]开发了一种使用PVDF压电薄膜的传感器阵列，以检测轴向流动中叶片尖端的动态压力场。

基于此，本文首次提出将PVDF智能材料应用于微结构表面形貌检测领域，并利用形貌特征曲线，对所提出方法的可行性和预测精度进行了验证。

1 PVDF阵列形貌特征曲线感测原理

基于PVDF压电薄膜的微结构表面形貌感测结构如图1所示。由图1可见，该结构由具有一定硬度的衬底和呈阵列排列的PVDF压电薄膜组成，在进行接触表面检测时，将该结构压在被测物体表面。为简化计算，推导PVDF微形貌感测数学模型时作如下假设：①将PVDF压电片看作理想的介电材料，其损耗、单元温度效应、压电体自感应电场等影响因素均忽略不计；②不考虑PVDF压电薄膜与衬底之间的“漏电”现象；③弹性衬底为各向同性材料；④在进行材料表面微形貌检测时，假设以应力形式作用于PVDF压电薄膜表面，并且视为仅沿其宽度方向进行电荷输出。

图1 基于PVDF薄膜的微形貌检测结构图

图2所示为该微形貌感测结构的原理示意图，其中图2(b)为图2(a)上取得的结构微元。由图2(a)可见，基底材料为刚性体，载荷以均布载荷的形式施加于PVDF薄膜表面；对于其结构微元而言，可以将均布载荷函数F(t)近似为集中载荷施加在微元表面，如图2(b)所示。

(a) 感测结构原理

(b) 结构微元

如图2所示，在载荷作用下，PVDF薄膜输出电极的输出量是电感应强度，极化方向为x方向，根据简化条件，PVDF压电薄膜只需考虑沿厚度方向(该方向的压电应变常数是d33)的受力，压电方程可简化为：

(1)

当电场为0且只考虑电学边界条件时，PVDF压电薄膜的压电方程为忽略电场后的第一类压电方程，不同受力方向及不同表面上电荷积累是不同的，忽略自感应电场二阶响应的影响，E3近似为0，可忽略不计，故沿极化方向的电荷密度表示为：

D3=d33σ3

(2)

在微小应变作用下，PVDF薄膜上的应力和应变呈线性关系，可表示为：

σ=Eε

(3)

若将PVDF薄膜放入直角坐标系中，在PVDF薄膜上任取一点(x,y)，其应变为：

(4)

由式(4)可见，PVDF薄膜各点上的电荷密度随位置坐标变化而改变，若已知任意点的电荷密度，即可求出该点的应变量。但由于PVDF阵列微元感测的微形貌是一定面积，目前尚不能检测出任一点的电荷密度，故可根据该区域的平均应变来实现对所测形貌的近似检测。

对于PVDF薄膜微元而言，其产生的电荷总量为：

(5)

根据积分中值定理，即：

(6)

故在进行表面形貌检测时，由PVDF产生的表面电荷量可表示为：

(7)

电荷量一般不容易直接通过测量得到，需要对电荷进行放大后，转换测得其电压信号。理想情况下，当电荷放大器的放大倍数A足够大时，传感器本身的电容及电缆长度将不影响电荷放大器的输出，电荷放大器输出电压U0只与电荷Q、反馈电容Cf有关。电荷放大器输入电荷和输出电压关系可近似表示为：

(8)

将式(7)带入后可得：

(9)

(10)

式中：E表示PVDF薄膜的弹性模量。由式(10)可知，PVDF薄膜应变的检测精度取决于电压值的检测精度。

在利用PVDF薄膜检测材料微形貌特征曲线时，需要利用薄膜与被测结构的接触进行形貌曲线型值点的检测。为使检测点尽可能接近形貌曲线，特取薄膜中点的应变值为型值点。图3为使用一整片与被测结构大小相同的PVDF薄膜进行接触表面形貌检测时的结构示意图。如图3所示，采用一种软基材料附着在PVDF薄膜上形成触觉智能结构，该软基材料具有一定流动性，会随着变形空间改变而填充空间；基底为一层刚性较好的均质材料，以保证作用在基底材料上的载荷能最终均匀作用在PVDF薄膜上，使PVDF薄膜随着被测结构充分变形。由于薄膜与被测结构表面完全贴合，薄膜所产生的应变量即为被测结构形貌特征曲线的函数值，故薄膜的应变曲线与形貌特征曲线为同一曲线，如图4所示。

图3 单片PVDF薄膜接触被测表面的结构示意图

图4 单片PVDF薄膜变形后的等效平均应变

图4中，x表示被测对象的长度方向，y表示被测对象厚度方向。若要利用PVDF薄膜应变量反映被测材料的形貌特征曲线，则需对总应变量进行归一化处理，根据积分中值定理，整片PVDF薄膜的平均应变量可表示为：

(11)

变形最大处的检测误差为：

(12)

变形最小处的检测误差：

(13)

当PVDF薄膜片数增加时，单元尺寸变小，型值点检测精度有所提高，对应被测结构的形貌检测精度也会提高，如图5和图6所示。

图5 m片PVDF薄膜接触表面的结构示意图

图6 m片PVDF薄膜发生变形后的等效平均应变

当使用m片PVDF薄膜进行材料表面形貌检测时，在已知材料形貌特征曲线的情形下，PVDF薄膜的平均应变值可表示为：

(14)

式中：d为薄膜间距，μm；y为PVDF薄膜微元产生的微位移量，μm。

在考虑薄膜间距的情况下，相邻压电薄膜之间为等间距排布，以被测物体的一端为坐标原点，设压电片的中心点与原点的距离为x，则第i片薄膜中点坐标xi可以表示为：

(15)

将第i片压电薄膜测得的电压值通过计算转化为平均应变值，记为yi，则取坐标{(xi,yi),i=1,2,…,m}为被测i点的形貌型值点。

为了重构被测结构的形貌，需要针对被测形貌的特征曲线建立数学模型。常用的方法有最小二乘法、多项式插值法和三次样条插值法。三次样条法克服了最小二乘法及多项式插值法在曲线拟合方面的不足，可生成带有拐点的平面曲线，目前大多数曲线拟合均可采用该方法来实现，并且随着型值点的增加，曲线拟合精度有所提高。

曲线的拟合误差采用均方根误差RMSE表示,即：

(16)

式中：N表示拟合曲线上样本点的个数；δi表示样本点与原形貌曲线上点的误差。

2 形貌曲线拟合与误差分析

在利用PVDF薄膜阵列对被测结构的形貌特征曲线进行感测时，由于薄膜片尺寸决定着型值点精度，故选取PVDF阵列结构作为研究对象，设每片PVDF压电薄膜的宽度为w，在基底上可以排布n片薄膜。假设被测表面的微形貌特征曲线为y=10sin(0.01x)，则被测表面水平宽度为π μm，最高点ymax=100 μm。对PVDF薄膜检测的形貌特征曲线设置等分区间，对每一等分区间进行积分求取平均值，并把每段应变条形图的中点作为型值点。

在3等分和5等分条件下，对获得的型值点进行三次样条插值，可以得到近似的形貌特征曲线和拟合曲线如图7所示。

(a) 三等分情况

(b) 五等分情况

当有3个型值点时，由于型值点数目的限制，只能拟合出二次曲线，即：

y=-43.54(x-52.36)2+91.19(x-52.36)+

47.75 (0≤x≤314.16)

(17)

当有5个型值点时，被测结构形貌曲线可由4段三次曲线组成，表示为：

(18)

由图7可以看出，当有5个型值点时，即对应PVDF薄膜单元尺寸减小，每段PVDF薄膜单元产生的平均应变更接近原曲线，所拟合的曲线也更符合原曲线的形貌特征。表1列出了不同等分尺寸和薄膜间距下所得拟合曲线的均方根误差和型值点误差，可以看出，随着等分数量的增加，所对应拟合曲线的均方根误差和型值点误差均明显减小。

为进一步了解薄膜参数对被测结构表面形貌检测精度的影响规律，采用二次多项式数学回归法建立表面薄膜尺寸w和薄膜间距d之间的关系，即：

ε=a1w+a2d+a3wd+a4w2+a5d2

(19)

式中：a1～a5为多项式待定系数。

基于表1中的数据，利用MATLAB数学软件绘制得到型值点误差与薄膜尺寸和薄膜间距的拟合图形，如图8所示，得到拟合误差与单元参数之间的函数关系为：

ε=-1.32×10-4w+2.637×10-3d+

1.891×10-6wd+

5.658×10-6w2-1.437×10-7d2

(20)

由图8可以看出，该拟合图形基本反映了曲线形貌拟合精度的变化趋势，通过MATLAB软件计算得到该模型的拟合优度R2为 0.9256。由此看来，有约92.6%的表面形貌检测精度与所研究的两个因素(PVDF薄膜尺寸和薄膜间距)有关，有7.4%的误差不能由该模型来解释。拟合的均方根误差为0.002 911，表明该模型拟合程度良好。通过建立误差与单元尺寸以及间距的函数关系，为形貌检测逆向设计奠定了基础，在已知形貌精度的情况下可进行PVDF单元尺寸的选择。

表1 不同PVDF薄膜尺寸和薄膜间距下的拟合误差

图8 PVDF单元尺寸和单元间距对形貌感测精度的影响

3 结语

本文基于对PVDF压电材料的特性分析，提出了一种通过接触实现微结构表面形貌检测的方法，利用函数y=10sin(0.01x)模拟被测结构的形貌特征曲线，对该方法的可行性和准确性进行验证，并从PVDF阵列结构的角度，分析了拟合误差与薄膜尺寸和间距之间的关系，为PVDF薄膜阵列式形貌检测方法的实现及单元尺寸优化设计奠定了基础。由于本文采用的模型较特殊，而实际测量过程中，被测结构的表面形貌更加复杂，拟合曲线误差会随着被测形貌、薄膜尺寸、拟合方法等多种因素的改变而改变。因此，后续研究应该围绕更具一般性的被测结构表面形貌轮廓曲线而展开；此外，由于缺乏实验条件，目前尚无法通过实验对结果的准确性进行验证，这也是后续工作的重点。