“调皮”的小灯泡与“纠结”的电源

王成 王浩

摘  要：很多高中物理知识需要在初中的基础上进行提升和修正，如电阻率受温度的影响导致小灯泡电阻不是定值，电源输出电压不是定值等。文章围绕这两个变化展开讨论，以期在分析、总结问题的过程中培养学生的思维能力。

关键词：灯泡;伏安特征曲线（I-U曲线）;工作点

中图分类号：G633.7 文献标识码：A     文章编号：1003-6148（2021）5-0061-5

1    背  景

在高中物理《恒定电流》一章中，电路实验“描绘小灯泡伏安特性曲线”，初步呈现了高中电路实验的几个核心问题：①滑动变阻器分压式接法（区别初中的主要接法为限流式接法）;②电流表外接法和内接法不同选择的依据和不同选择的误差分析;③通过对实验结论的分析，学生了解到小灯泡不是定值电阻，初中的公式RL= 在此处不适用。进一步通过对I-U曲线分析可知，小灯泡的电阻值随着U（I）变化而变化，变得很“调皮”，如图1所示，R1≠R2。

通过对电动势概念的学习，学生了解到电源有内电阻，也因此电源不是恒压输出，电源对负载供电时有“纠结”的心态：R 增大时，干路电流I 变小，路端电压U 增大;R 减小时， I 变大，U 变小，I-U曲线为减函数。

当“纠结”的电源对“调皮”的小灯泡供电，电路将会用多大的U和多大的I工作呢？下面就这个问题做一些讨论。

2    问题分类讨论

2.1    一个灯泡

2.1.1    一个灯泡接入已知电源

将伏安特性曲线已知的一个灯泡接在已知电源上，求灯泡的实际功率。

【方法一】

在小灯泡的I-U曲线图上画电源的伏安特性曲线，得交点A（U0，I0），A即为工作点，工作点与O点形成的矩形面积代表灯泡的P 。

如图4，两曲线交点A，坐标满足小灯泡工作电压和电流;A点的电压和电流同时也是电源（E，r= ）对相应负载供电的路端电压和干路电流。

【方法二】

在灯泡伏安特性曲线图上画r的伏安特性曲线——过O点的斜直线，可视灯泡与r串联于电动势为E的电路中。根据串联电流相同，可以在坐标系中找合适的平直线，交点读数为UL和Ur，根据闭合回路电压关系，只要满足UL+Ur=E，一定是工作点。

2.1.2    一个灯泡和其他线性元件接入已知电源

在上述电路中加可变电阻R，如图6，调节R大小，可得到不同工作点，也能找到灯泡不同的P 。

【方法一】

如图7，在U轴上存在E，对应电源电动势;在I轴存在不同的I ，是因为可变电阻取不同的值，I =E/（R+r），每个交点为可变电阻取值后小灯泡在电路中的相应工作点。原理同图4。

【方法二】

当电路中有一个灯泡和其他元件（可以是线性也可以是非线性的）串联时，还要画元件的伏安特性曲线，同样可在同一水平线上找点，满足UL+ U + U =E，其水平线对应的电流值即为灯泡和元件工作点电流。

此方法由于多次估读数据，定工作点时误差较大。

2.2    两个灯泡

2.2.1    两个相同灯泡串联接入已知电源

【方法一】

将两个灯泡L1、L2看成一个新灯泡L ，则L 的I-U曲线满足与原L1、L2的I值相同，U值是2倍，可在同一坐标系上逐点另画L 的伏安特性曲线（图10），用问题1的处理方法，画相应电源的伏安特性曲线，两线交点即为L 的工作点（图11）。利用找定的工作电流I0，可算L1、L2分别的工作电压UL和功率P =U I0。

【方法二】

两相同灯泡串联接在电源（E，r）上，相当于每个灯泡单独使用的是电动势为E/2、内阻为r/2的单独电源，用图4的方法对每个灯泡和新电源（E/2，r/2）直接定每个工作点（图12）。

对图9回路用闭合回路欧姆定律：E=2IU+Ir，公式中U、I为每个灯泡的电压和电流，变形公式得： =UI+I 。用问题1的处理方法，每个灯泡的工作点为用新电源（ ， ）单独对其工作。

方法一要画伏安特性曲线图，可能产生较大偶然误差，不宜采纳。方法二只需画新电源的伏安特曲线（直线）定工作点即可，相比误差小。

2.2.2    两個相同灯泡并联接入已知电源

【方法一】

将两个灯泡L1、L2看成一个新灯泡L ，则L 的I-U曲线满足与原L1、L2的U值相同，I值是2倍，在原坐标系上逐点另画L 的伏安特性曲线，如图14所示。同问题1的处理方法，画相应电源线，交点为L 的工作点，利用工作点与L1、L2有相同电压，可定L1、L2的工作点。

【方法二】

两个相同的灯泡并联接在电源（E，r）上，相当于每个灯泡单独使用的是电动势E'=E、内阻r' =2r的新电源，于是可在L1、L2的伏安特性曲线图中画新电源（E'，r'）的伏安特性曲线，两线交点则为每个灯泡的工作点，如图16所示。

对图13用闭合回路欧姆定律：E=IU+2Ir，公式中U、I为每个灯泡的电压和电流，用前述理论，每个灯泡的工作点为用新电源（E，2r）对其单独工作。

方法一要画伏安特性曲线图，可能产生较大偶然误差。方法二只需画新电源的伏安特性曲线（直线）定工作点即可，误差小。

2.2.3    两个不同灯泡串联接入已知电源

【方法一】

在两个灯泡L1、L2的伏安特性曲线上，逐一取水平线，横坐标值相加，形成一条新曲线L ，同问题1的分析方法，画相应电源线，交点为L 的工作点，如图18所示。利用找定的工作电流，可算L1、L2分别的工作电压和功率。

【方法二】

在原图像上画内阻的伏安特性曲线，找同一水平线，满足E=UL1+UL2+UR。

方法一存在作图误差;方法二存在读数误差，各有利弊。

对该电路仅有U1+U2=U ，L1、L2的伏安特性曲线为非线性，无法用等效电源单独找点。

2.2.4    两个不同灯泡并联接入已知电源

问题处理方法同2.2.2方法一，不再赘述。

另分析有没有同2.2.2方法二一样用等效电源的伏安特性曲线找交点的方法。

考虑仅有I1+I2=I ，两灯泡的伏安特性曲线为非线性的，U相同时的I1和I2无恒定比例关系，无法用等效电源单独找点，故没有巧的方法。

没有巧方法也不能生搬硬套，要培养学生实事求是的科学态度。

2.3    多个灯泡

2.3.1    多个相同灯泡串联接入已知电源

【方法一】

先通过一个灯泡的伏安特性曲线画n个相同灯泡串联的伏安特性曲线（各点I不变，U变成nU，逐点画线即可），再画电源的伏安特性曲线，定工作点电流，然后确定每个灯泡的电压。

【方法二】

在一个灯泡的伏安特性曲线图中，加画上内阻的伏安特性曲线，找同一I0水平线的两点，两点电压值如果满足E=nU+Ur，即为每个灯泡满足I0条件的工作点。

方法一在画L 曲线图时会产生较大误差;方法二在原图中读数后要n倍处理而存在较大的偶然误差。

【方法三】

综合前面的方法，对多个相同灯泡串联，最有效的处理办法是：在小灯泡的伏安特性曲线上画新电源的伏安特性曲线，新电源满足E'= ，r'= 。两线交点直接定为每个灯泡的工作点。

2.3.2    多个相同灯泡并联接入已知电源（图21）

该问题处理方法类比2.3.1，也有三种，其中第一种方法存在画曲线图误差，第二种方法读数存在较大的偶然误差。

因此，对多个相同灯泡并联，最有效的处理办法是：在一个灯泡的伏安特性曲线图中，画新电源的伏安特性曲线，交点为每个灯泡的工作点。如图22，新电源满足E'=E，r'= nr，图中I = 。

2.3.3    多个不同灯泡串联接入已知电源

【方法一】

先画多个灯泡L 的伏安特性曲线，再画电源的伏安特性曲线，交点为所有灯泡的工作电流，于是有每个灯泡的相应电压和功率。此方法的主要误差来自于画曲线图。

【方法二】

画内阻特征直线，在水平I线上找各灯泡U值，满足E=（U1+U2+…Un）+Ur。此方法在多次读数时产生误差。

各灯泡为非线性，相同电流时的电压无恒定比例关系，故没有其他便捷的方法。

2.3.4    多个不同灯泡并联接入已知电源

先画多个灯泡L 的伏安特性曲线，再画电源的伏安特性曲线，交点为所有灯泡的工作电压，于是有每个灯泡相应的电压和功率。此方法主要误差来源出现在画曲线图时。

由于各元件为非线性，相同电压时的电流无恒定比例关系，故没有其他便捷的方法。

2.3.5    多个相同（不同）灯泡混联接入已知电源

相同灯泡混联，由于处在不同的支路中，U、I值各不一样，结合I-U曲线图，工作电阻也不一样，因此各灯泡相同或不相同在本问题研究中已经没有区别了。怎样确定各灯泡的工作点？笔者用图23供电网络分析说明。

固定电源（E，r）对若干相同和不同小灯泡组成的网络供电，在已知所有灯泡I-U曲线的前提下，以图中10个灯泡为例做如下处理：①根据L1、L2、L3的曲线作L （一个新灯泡的I-U曲线），处理方法同三个不同灯泡串联处理方法;②同理作L （又一个新灯泡的I-U曲线）;③作两个新灯泡和L6共三个灯泡的并联图线，于是1～6共六个灯泡变成一个灯泡;同理，图中的L7、L8、L9也是一个灯泡……依此类推，图中可见的10个灯泡即为三个新灯泡串联，图中未标注的更多灯泡也可用同样方法处理。于是，混联电路变成简单的串联电路，再用处理多个不同灯泡串联的方法可定干路工作电流I ，图中的灯泡L10和其他的在干路中的灯泡工作点能定。处理L7、L8、L9灯泡时，利用L7、L8 的I-U原图，作L  ，在L 和 L9图上取相同的U789值，读电流I 和I ，使得I +

I =I ，U 值即L 的工作电压，L9的工作点就能确定。回看L7和L8的I-U曲线，取相同的电流，找到U7和U8，使得U7 +U8= U789，则L7、L8 的工作点能定。依此类推，更深层的混联灯泡都可以定工作点。

上面分析的供电网络是以串联為主干，并联加深的。如果供电网络是以并联为主干，串联加深的，也可以层层分析，最后能把每个灯泡的工作点定好。

上述分析只停留在理论层面，现实中多个灯泡混联，由于每个灯泡的“调皮”的特点，各个灯泡的工作点可能不会持久。为此，笔者用几节干电池（有新有旧）为电源，对规格相同和不同的10多个小灯泡混联供电，能看到大部分亮的灯泡（有的根本不发光）在闪烁，说明灯泡工作点不稳，考虑是电源电动势和内阻不恒定导致的。为了验证该想法，仅将实验电路的电池组换成恒压电源，灯泡闪烁现象明显好转。说明复杂电路的多个的灯泡工作点的确不易稳定——“纠结”的电源很难“安顿”众多“调皮”的小灯泡！

电阻率受温度影响只是一条物理结论，应用于实物小灯泡，用伏安特性曲线描述出来，枯燥的理论显现出又一种色彩。电源电动势和内阻是普通物理概念，用图像方式将其呈现出来并进行动态研究，使得物理概念焕发活力。全文呈现的是笔者对一个具体问题的处理过程和处理时对不同方法的挖掘，试图在落实物理观念、培养科学思维和科学探究等方面发挥引领作用。如有疏漏，恳请指正。

参考文献：

[1]罗守信.电工学（I）[M].北京：高等教育出版社，1997.

（栏目编辑    罗琬华）