在数学学习过程中学会思考

贲友林

“找规律”教学，既要重视找规律的结果，也要重视找规律的过程。找规律，经历思考、交流、探索的过程，体验发现规律的方法，积累在解决问题的过程中发现规律的经验，发展归纳与概括的能力。

一、交流：我是怎样想的

师：（屏幕上出示空白的“研究学习”材料）课前，大家做过这份材料（如图1），请同桌之间先交流一下自己的想法。

师：张睿嘉，能讲吗？好像不太自信，大家掌声鼓励一下！（全班鼓掌）我想给张睿嘉一个挑战—请到黑板这边来讲，这样大家看得见。题目中是摆小棒，我们可以画图（如图2）。

师：接着画下去，有规律，第10个三角形是向上还是向下？（教师让张睿嘉请班上同学回答）

阎馨宁：向上的。

花飞燕：我觉得是向下的。

毕明远：我也觉得是向下的。因为向上的都是奇数，而10是偶数，所以是向下的。

师：我特别欣赏刚才第3位同学的发言，在前两个同学发言之后，他表达了自己的想法，更关键的是，他解释了为什么向下。这样的发言要不要有掌声？（全班鼓掌）第10个三角形，究竟是向上还是向下？

生：我觉得应该向下。因为我发现，1、3、5这些三角形都是朝上的，2、4、6都是朝下的，所以我觉得10是偶数，是朝下的。

师：思路很清晰，把刚刚同学的想法说得更清楚了。来，我们一起看1、3、5这些奇数的三角形都是怎样的。

生：向上。

生：2、4、6都是向下。

师：第10个，也就是最后一个呢？

生：向下。（教师画第10个三角形）

师：那第9个呢？

生：向上。（教师画第9个三角形，如图3）

师：画好了以后，张睿嘉要来讲讲他是怎么想的。我给个建议，最好先圈圈画画，然后再讲。

张睿嘉：我觉得10-1=9（个），9×2=18（根）。

（教师打断张睿嘉讲解，提醒：稍等，哪儿是10，指着图说）10-1=9（个），9×2=18（根），18+3=21（根）。大家有疑问或补充吗？

师：比刚才更快了。慢慢来，哪儿是10？

张睿嘉：我觉得先用10-1=9，（教师再次打断，再次提醒：一步一步来，先讲讲10表示什么）10表示—（停顿了约有10秒时间）10表示10个三角形。

师：（示意张睿嘉暂停，转而问全班）慢一点。刚刚他说10表示什么？

生：（齐）10个三角形。

师：说得怎么样？（全班鼓掌。教师指着图）10表示这里有10个三角形，那减1呢？

张睿嘉：10-1=9……（教师打断，提醒：慢一点，1表示什么）1是1个三角形。

师：1是哪一个三角形？你把这个三角形圈起来。

（张睿嘉把图中的第9个三角形圈起来）

张睿嘉：10-1=9（个），9×2=18（根）。

师：继续，9×2。9是9个三角形，2呢？

张睿嘉：2是这两个三角形。

师：2表示这两个三角形，那9×2呢？（张睿嘉沉默）

师：（提示）你可以继续思考，也可以选择举手的同学回答问题。

（张睿嘉点名江咏岳回答问题）

江咏岳：10个三角形，先把最边上的那一个圈出来，就是把最左边的三角形圈起来。可以看出这个三角形是用3根小棒拼出来的，后面的三角形只用了2根小棒就拼出了。

师：（对着张睿嘉）现在你重新来圈，一边圈一边讲。第1个三角形怎么样？

张睿嘉：（圈起左边第1个三角形）第1个是3根小棒。（指着左边第1个三角形的3根小棒）21减去这3根小棒等于18根。

师：看来刚刚同学讲的，你还没有完全听懂。没关系，继续听同学讲解。

（张睿嘉点名邀请肖翊讲解）

肖翊：我觉得最后一个三角形，不能圈3根，只能圈2根，不然倒数第2个三角形，就只有1根了，因为倒数第2个三角形靠左的那條边被前一个三角形占用了，所以最后一个三角形只能画两条边，不能画3条边。

师：好了，我们一起来解释算式，第1个算式10-1=9表示什么？

张睿嘉：10表示10个三角形，减掉1个三角形，等于9个三角形。

师：减去哪个三角形？

（张睿嘉指左边第1个三角形）

师：为什么要把这个三角形减掉？

张睿嘉：因为它有3根小棒。

师：后面的三角形，我们也圈一下。换一种颜色的粉笔，第1个三角形已经圈了，把后面的三角形圈起来。

师：画完以后，我们再看一下，一共是几个三角形？

生：10个。

师：第1个三角形呢？

生：3根小棒。

师：后面还有几个三角形？

张睿嘉：9个。

师：这些三角形怎么样？

张睿嘉：都是两根小棒。

师：（指着后面的三角形）那这一共有多少个2呢？

张睿嘉：9个2。

师：马上想到一个乘法算式。

张睿嘉：2×9=18。（板书：2×9）

师：我们列综合算式。

张睿嘉：加上3。（板书：+3。如图4）

【分析】教师先通过听课教师抽报学号的方式邀请一位学生与全班交流。抽签，是让每位学生意识到他们每个人都有想法，都可以也应该与全班交流。

张睿嘉和全班同学的解释与交流，用了一节课的近一半时间。教师对一位学生，为何如此？第一，学习思考，“一个都不能少”。第二，语言是思维的外壳。教师要让学生不仅做出来，而且还能说出来。因为只有想明白了，才能说清楚。第三，如果后续学习过程中学生会圈圈画画讲解，这段教学就是有价值的。由此看来，这不是面对一个人的教学，而是全班在一起思考，共同学习。

师：这是张睿嘉的想法，再看看你做的和他一样吗？一样的，不说了;不一样的，赶紧举手。

（张睿嘉邀请罗皓仁和全班交流）

罗皓仁：我的想法是这样的，这边有10个三角形，第1个三角形由3根小棒组成，其他9个都是由2根小棒组成，我现在把第1个三角形也看成由2根小棒组成的，就是2×10=20。20再加上刚才去掉的1根小棒，20+1=21。（全班鼓掌）

师：刚刚他说的算式，听到了吗？是什么？

生：2×10+1=21。

师：如果看这个算式，在图上圈，怎样圈呢？

罗皓仁：第1根小棒不算，把第1个三角形看作由两根小棒组成的，其他三角形都是由两根小棒组成的，就是10×2。再加第1根（如图5）。

庆雨宸：我的这种方法，可能不太好解释。但是可以这样看，（教师在黑板上画好小棒摆成的三角形图，让庆雨宸在黑板上圈画讲解）刚才罗皓仁用的方法，相当于不看第1根小棒，我还有一种方法，是补充1根小棒。（庆雨宸在左边第1个三角形左边画了1根小棒）这里的1根小棒可以和原来左边1根小根拼成两根，一共相当于有11个两根小棒，（板书：11×2）一开始这1根小棒不是真实存在的，所以要减去。（板书：-1。如图6）

师：这个方法和前面的一样，还是不一样？

生：不一样。（全班鼓掌）

师：假设有这根小棒，那就有多少呢？

生：（齐）11个2。

庆雨宸：我认为罗皓仁这里也应用了假设法。（指着罗皓仁所圈画的最左边的1根小棒）假设这根小棒不存在。大家还有什么疑问吗？

师：太厉害了！庆雨宸不仅讲清楚了自己的想法，可以假设这里增加1根，他还想到，既然可以增加1根，也可以怎么样？

生：假设减少1根。

师：（指着罗皓仁圈画的图5）这不就是假设减少1根吗？掌声再次送给庆雨宸。听这样的发言，太享受了。现在发现这个问题，我们有多少种方法？

生：3种。

师：（在之前圈画的图前面标注序号①②③）尤其表扬庆雨宸，他发现第2种想法跟第3种想法有联系。有什么样的联系？

生：都用了假设。

师：假设多1根，或者少1根。你们想到了3种方法，还有没有第4种方法？（部分学生举手，庆雨宸邀请喻高进和大家交流）

喻高进：刚才庆雨宸、罗皓仁想的都是两根小棒为一组，我也可以假设3根小棒为一组。把后面9个三角形都补画1根小棒，然后把每3根小棒组成的三角形圈画出来。这时，10个三角形都是独立的三角形，独立的三角形是3根小棒（如图7）。

生：我觉得现在的图和以前的图比，除了第1个三角形是由3根小棒组成的，后面2根小棒组成的三角形都加了1根小棒，变成了独立的三角形。

师：就是说，第1个三角形是3根小棒，后面的三角形都要怎么样？

生：都加1根小棒。

师：每个三角形再加1根小棒，这样一共加了几根小棒？

生：后面9个三角形，要加9根小棒。

教：那个9，要怎样？

生：减掉。

师：（对着喻高进）这种想法，你之前是没想到，对吗？

喻高进：我之前没想到。后来看了罗皓仁、庆雨宸的想法后我想到的。

师：学习就是这样，别人的想法会让我有新的思考、新的想法。

【分析】课堂是一群人在一起学习，是发生在群体中“他人在场”的学习。当一个班级的学生在一起的时候，每位学生都带来了各自的想法，教师要做的是，组织学生展示、交流各自的想法。

课堂中的学习与思考，不仅仅“向外”，与同学、教师分享自己的想法;还要“向内”，在“说”与“听”的过程中，促使自己生成新的想法，促使自己对学习内容的认识经历“原来我是怎样想、怎样做”“还可以这样想、这样做”“现在我是这样想、这样做”的过程。这樣，思维从平衡到失衡，再形成新的平衡，从而深度构建对学习内容的理解。

二、探讨：让他也能做出来

师：这道题目，你可能有想法1、想法2、想法3，甚至想法4，可是有同学却没有做出来。我们要想一个办法，让他也能做出来，做正确。

生：我觉得可以发明一个公式，我就写了一个。几个三角形，把它设为n，（n-1）×2+3，这是我的想法。

师：有公式就简单了。可是，谁发明公式呢？有的同学发明不了啊。

生：我们还可以列表格、找规律，这样慢慢地就做出来了。例如，第1个三角形3根小棒，第2个三角形2根小棒……

师：刚才她讲的方法是什么？

生：列表格。

师：如果就这样画下去，画了10个三角形，能不能数出小棒的根数？

生：（齐）能。

师：画、数，是不是一种方法？

生：（齐）是。

师：只不过这种方法怎么样？

生：太麻烦了。

生：太慢了。

师：不过，答案是能找到的。刚才有同学说，列表，画着画着，表格出来了。

生：答案就出来了。

生：规律也出来了。

师：有发现吗？

王宇睿：第1个三角形的小棒根数是3，然后越来越多，小棒的根数每次都是往上涨2根的。

王思捷：我还发现，小棒的根数总是等于三角形的个数乘2加1。

生：我觉得刚才王宇睿的发现和王思捷的想法有联系。（学生跑到视频展台前，用红笔指着比画，并标注“+1”“+2”，如图8）三角形个数每次增加1，三角形个数和小棒根数之间的关系是乘2加1，三角形是加1的关系，1乘2等于2，小棒这儿就是加2的关系，所以“小棒根数依次加2”的规律是成立的。

注：图中的箭头与算式等，是教学中陆续添画的。

师：从上往下看，三角形的个数依次加1，小棒的根数依次加2。他解释了为什么三角形个数依次加1，小棒的根数依次加2。他发现三角形个数乘2加1，得到小棒根数。学习数学就要这样，刚才，联系起来思考;现在，深入思考为什么，想一想道理。回头想想，刚才男生（指王宇睿）说，小棒的根数依次加2，他是怎样看的？

生：竖着看。

师：竖着看，有规律。后面的女孩（指王思捷）是怎样看的？

生：横着看的。

师：第3位同学把竖着看、横着看联系起来思考，又有新的发现。为什么他们有发现？他们的观察是，可以竖着看，可以横着看，还要学会联系起来看。这样接着想，5个三角形，多少根小棒？

生：5×2+1=11（根）。

生：或者直接9加2就行。

师：接着想，10个三角形呢？

生：乘2加1。

师：100个三角形呢？

生：乘2加1。

师：当你发现这里的规律之后，这些问题就都很简单。

【分析】教师列表格的过程中，画画数数，贴近学生，又引领学生，藏巧于拙，化繁为简，以屈为伸。学生经历观察、思考、归纳、概括的过程，感受从简单情况想起的思维方法。

学生比较、寻找不同解法之间的联系。一是列表发现的规律与黑板上呈现的解法之间的联系，二是王宇睿与王思捷想法之间的联系，解释了“三角形个数增加1，小棒根数增加2”这一规律背后的道理。既有横向的联系，又有纵向的深入。学生将不同的想法关联起来，才可能走出狭隘与偏见，让自己的思维变得开阔。

三、拓展：我们看他问了什么问题

师：今天有两位同学没有来上课，我还是要展示一下他们的材料。（展台呈现27号周映宇的“研究学习”材料）我们看他问了什么问题？

生：（齐）像这样摆100个三角形需要几根小棒？

（展台呈现31号刘文林的“研究学习”材料）

生：（齊）用41根小棒可以摆几个这样的三角形？

生：前面的问题，是“乘2加1”;后面的问题，是倒着来的。

生：第1个问题，是告诉我们三角形个数，求小棒根数;第2个问题，是告诉我们小棒根数，求三角形个数。

师：问问题的角度不一样。倒过来怎样算，大家可以再思考。大家的想法很多。材料后面要求编题目，同学们编的问题都是摆什么图形？

生：正方形。

师：是的，很多同学都是编的正方形的题目。一定是正方形吗？

生：（七嘴八舌）五边形、六边形、长方形、平行四边形……

师：虽然要下课了，我还是展示一下我们班一位同学特别好玩的想法。有请9号孙鹤允。

孙鹤允：（跑到黑板上画图，如图9）我想这样摆小棒。

师：你能看出来不一样在哪儿吗？

生：她摆的是一个大三角形。

师：你们都是从左往右摆正方形、长方形，她把三角形怎么样？

生：摞起来了。

师：这里有没有规律呢？下课后可以继续探讨。

【分析】在数学学习过程中，学生想法比较单一时，教师要引导学生发散思维。不过，当学生的想法从“一”走向“多”之后，教师又要进一步引导学生集中思考，让想法从“多”走向“一”，促使学生的想法在广度、深度两方面和谐共进。

“找规律”这节课，教师在学生独立思考的基础上，先让学生把各自的想法呈现出来，借助学生不同的想法启发更多的学生打开思维。在交流过程中，让学生实时明晓他人的想法，知晓自己的想法，监控自己的认识：我是这样想的，别人是怎样想的？我的想法发生了怎样的变化？我是否有新的想法？学生理解他人的思考方式，反思自己的思考过程，认识并体验数学思考的基本方法。

（作者单位：南京师范大学附属小学）

责任编辑：赵继莹

724132105@qq.com