考虑不对中-不平衡耦合故障影响下的转子系统振动抑制研究

2021-06-15令狐梓豪葛玉梅

四川轻化工大学学报(自然科学版) 2021年2期

令狐梓豪，杨洋，葛玉梅

（西南交通大学力学与工程学院，成都610031）

引言

由于材料、加工等因素的影响，转子系统会存在质量不平衡、联轴器安装偏差等故障。据统计，不平衡和不对中故障占转子故障的70%以上［1］，这些故障会引起转子系统剧烈振动，影响设备的正常运行，严重时会导致轴系断裂等严重事故［2］。传统消除转子不平衡、不对中等故障的方法主要是对转子进行动平衡处理，然而无论是使用动平衡机或者现场动平衡处理都要经过多次启停机和拆装转子才能完成，这将造成高昂的费用和大量的人力［3］。除了上述措施以外，开展有效的振动抑制策略也是提升转子系统运行平稳性的方法之一。

振动抑制方法主要包括主动控制和被动控制两种。受旋转机械运行环境以及工作转速等因素的影响，被动控制因其不需要外界能量注入等优势得到了更为广泛的应用［4］。其中，采用动力吸振器实现转子系统的振动抑制是目前关注的热点之一。当动力吸振器连接到主系统时，通过能量转移机制，将主系统中的振动能量有效的传递到子系统中，进而实现主系统（转子系统）的振动抑制。当动力吸振器连接到主系统时，通过能量转移机制，将主系统中的振动能量有效的传递到子系统中，进而实现主系统（转子系统）的振动抑制。传统的线性动力吸振器，如调谐质量吸振器（TMD）仅能在狭窄的频带内降低系统振动［5-6］，且容易出现非线性失稳［7-8］等问题。相较之下，非线性动力吸振器以其减振频带宽，抑制效果好等优势逐渐受到了更为广泛的关注。

Valalis等［9］设计了一个小质量具有非线性弹簧和粘性阻尼器的减振器，他将这种具有强非线性刚度，能单向吸收主体结构振动能量并通过耗能元件将其耗散的吸振器命名为Nonlinear energy sink（NES）。研究表明［10］NES能够在较宽的频带范围内高效吸收被吸附结构的能量，同时用自身的阻尼器件将其消耗。对于NES质量、刚度以及阻尼系数的选择，熊怀等［11］用理论推导发现，非线性耦合系统要实现能量传递，NES的参数在这一过程中有着重要作用。文献［12］研究了NES对施加简谐激励力的两自由度系统的减振效果。文献［13］对NES中非线性耦合振子传递能量的条件进行了分析，并研究了在双共振峰工况下NES的力学特性。文献［14-16］通过数值仿真和实验手段，在线性振子施加一简谐载荷并用NES与振子连接的耦合结构进行了研究。文献［15］发现在准周期激励时，NES对耦合系统的减振效果十分明显。文献［16］研究了耦合系统的周期响应中出现的分岔现象，发现了产生准周期响应的原因。Starosvetsky等人［17-18］发现，NES产生强制振动时，其对耦合系统的减振效果最明显。

以上的研究表明了NES在转子系统中振幅抑制效果的有效性，但是在针对转子系统的研究中，NES对转子不对中、不平衡引起故障的减振方面研究较少。因此，本文提出了一种用于耦合转子系统的NES具体结构，通过数值仿真得到对该系统的减振效果。

1 转子-NES耦合系统动力学方程

1.1 NES-转子耦合系统动力学方程

为了减少不对中及不平衡故障带来的振幅，使用了NES对其减振，NES按结构分为3部分：NES质量、非线性弹簧结构和阻尼元件。NES质量m通过两个非线性弹簧以及阻尼元件与转子进行耦合，为了将NES的运动限制在转子系统的径向，需要一根固定的杆在转子内并与NES连在一起，即NES只能沿着固定的杆滑动。由于转子存在不对中、不平衡故障，当转子转动时，会与NES产生一个相对运动，从而将转子系统的能量转移到NES上并通过阻尼元件耗散，从而减少转子系统故障引起的振幅。

如图1所示，模型的左侧为电机，电机与右侧转子系统由联轴器相连。令mrp、mrbL和mrbR分别为转盘、左端轴承和右端轴承的等效质量，k为转盘左右转轴的刚度，kL为弹性轴承的刚度，crp、crb分别为转盘、轴承处的阻尼，ΔE为综合不对中量，e为转盘的不平衡量，mc为联轴器的质量，kNES、cNES为NES的非线性弹簧刚度和阻尼器的阻尼。

图1 耦合转子系统示意图

为了计算方便，采用了集中质量法，因为是对称转子系统，转轴的质心在转盘上，同时转轴的质量相较于转子系统而言影响较小，可以忽略不计。转轴是细长柔性的，当转轴的振动较为剧烈时，位移-应变的几何非线性较为明显。因此结构共有7个自由度，分别为转盘的水平位移xrp和竖直位移yrp，左端轴承处等效质量的水平位移xrbL和竖直位移yrbL，以及右端轴承处等效质量的水平位移xrbR和竖直位移yrbR，还有NES在转盘相对滑动位移r。

NES结构模型以及在转子圆盘中的安装位置如图2所示。用直角坐标系来描述转子形心O（x1，y1）、转子质心O′（x2，y2）、NES质心O″（x3，y3）的位置，NES的安装角度β是相对于转子质心设定的，圆盘处的运动方程为：

其中x3＝xNES，y3＝yNES。

图2 NES结构模型以及在转子圆盘安装位置

根据该模型得到转子-NES耦合系统的动能、势能、耗散能函数为：

将式（2）代入式（3）中，即可得到该转子耦合转子系统的动力学方程：

在上式右边中，FxL、FyL、FxR、FyR是左端支承、右端支承的x、y方向的支撑力，mrbL、mrbR、mrp、mNES分别为左端支承、右端支承、转盘、NES的集中质量，Fpx、Fpy为x、y方向的不对中激振力，Fx、Fy为x、y方向的不平衡激励力。由于不对中故障产生的激振力对转盘的影响较大，将其作用在转盘上［19］。在转子支撑处，线性支撑对系统提供的支撑力为：

1.2 不平衡激故障

图3所示为带有不平衡故障的转子系统模型，转盘质量为mrp，转子圆盘的刚度和阻尼分别为krp、crp。转盘的形心和质心分别为O、O′，偏心距为e，转子转动的角速度为ω。得到转子的动能、势能、耗散能分别为：

式中x1、y1为转盘形心处的水平和竖直位移，x2、y2为转盘质心处的水平和竖直位移。质心和形心的水平位移关系为x2＝x1＋e cos（ωt），竖直位移关系为y2＝y1＋e sin（ωt）。

图3 转子不平衡模型图

令L为Lagrange函数，L＝T-V，其中，T为广义动能，V为广义势能；广义力为Qj，广义坐标为qj，则该系统的Lagrange函数为：

将式（6）代入式（7）得到该系统的动力学方程：

式（8）右边第一项为偏心质量产生的不平衡激振力，即水平和竖直方向上的不平衡激振力为：

当引入NES吸振器后，不平衡激振力将滞后一个β角度，即吸振器安装位置与转盘质心的夹角。式（9）变为：

1.3 不对中故障

转子的不对中模型如图4所示，其中右、左半联轴器的运动中心分别为O1、O2，两半连轴器之间的距离为ΔL，角度偏差为α，平行不对中量为γ，联轴器外壳的静态、动态运动中心分别为O、P。当转子系统转动时，点P以O点为圆心，半径为综合不对中量ΔE做圆周运动，其中ΔE＝γ＋ΔL tanα。

图4 综合不对中故障运动模型示意图

联轴器的运动轨迹可以表示为P（x，y），转子旋转的角速度为ω，以转角α为自变量，则x、y的表达式为：

将式（11）对t求2阶导数，得到点P的加速度为：

当联轴器的质量较大时，会对转子系统的转轴承施加一个不对中的激振力Fp，导致不对中故障的产生，激振力Fp在x、y方向上的分力分别表示为：

在上式中mc为联轴器质量，ΔE为综合不对中量。联轴器对转轴产生x、y方向上的不对中激振力Fpx、Fpy。

2 数值仿真与分析

为了方便运算与优化NES的参数，将式（4）进行化简，其中NES质量和刚度的参数为ε、η，化简得：

本文采用四阶-龙格库塔法对该模型进行数值仿真与分析，根据文献［20］中的转子参数，选取本文中转子系统的计算参数为：mrp＝32.1 kg、mrb＝4 kg、mc＝2.61 kg、crp＝2100 N·s/m，crb＝1050 s/m，k＝2.5×107N/m，e＝1 mm，为了达到NES有良好的减振效果，需要对其质量参数ε、刚度参数η进行优化，同时也要确定安装位置对减振效果的影响。

2.1 NES对耦合转子系统的减振控制分析

当转子系统高速运转时，为了保证NES对转子系统减振效果的有效性，需要对其本身结构参数进行选择，同时安装角度也是不可忽视的一个重要因素。图5（a）～图5（c）为不同故障下的转子系统的振幅-转速关系曲线，各图中第一个峰值是不对中故障引起的，第二个峰值是不平衡故障引起的，以第二个峰值为参考开始对NES进行优化。

图5 不同故障下的转子系统的振幅-转速关系

根据数学推导以及仿真证明，当NES的安装位置角度β＞π时，它的减振效果与安装位置角度2π-β是一样的。图6所示为NES不同安装位置以及不同参数下对耦合转子系统减振控制的影响分析。从图6中可知，当安装角β＜π/2时，它不能使转子系统的振幅减小反而使得振幅加剧。当安装角为β＝3π/4时，其较优参数可以将耦合系统的振幅降低到1.29×10-3m，相当于未安装NES之前的随着安装角度逼近β＝π/2，NES对转子系统的减振愈发明显，当安装角为β＝π/2且参数最优时，能将耦合系统的振幅降低至1.52×10-5m，相当于减振前的0.82%，减振效果十分明显。

对于NES的参数除了考虑其质量与刚度外，还需要考虑阻尼元件的阻尼系数。图7所示为NES不同阻尼系数下的时间随振幅变化曲线。由图7可知，阻尼系数的取值只是影响达到稳态响应的时间，对系统本身的减振控制并未有影响。另外NES的响应为转子振幅的1.5倍，对于大型转子结构完全是可行的。

图6 NES不同安装位置（β）以及不同参数下对耦合转子系统减振控制的影响图

图7 NES不同阻尼系数下的时间-振幅响应图

图8 所示为NES对不同故障转子系统的振幅抑制情况。由图8可见，NES对不同故障均有减振效果，因为NES本身安装位置以及结构限制，在不平衡故障上有着极佳的减振效果，但是针对不对中故障只能减少15%～20%左右。为了能更好的研究NES的振动抑制效果，接下来保持质量、阻尼、刚度相同的情况下，对转子系统振幅抑制情况进行比较。

图8 NES（β＝π）对不同故障转子系统的振幅抑制情况

2.2 系统减振装置对耦合转子系统的减振控制分析

在使用传统减振器时，偏移距离r0是非常关键的一个参数，用来减少不平衡故障带来的振幅。它的安装距离将决定TMD吸振器对转子系统减振的控制效果，这一安装的结构如图9所示。r0表达式为：

根据该模型得到转子-NES耦合系统的动力学方程：

图9 传统TMD安装位置以及结构模型

图10所示为TMD偏移距离对减振的仿真曲线。图11所示为NES与TMD对转子系统的振幅影响对比情况。由图10与图11的仿真结果可知，偏移距离γ0对减振效果影响明显，只有当偏移距离达到合适的值，才能对转子系统起到良好的减振效果。同时TMD对于不对中故障、不平衡故障都有一定的抑制效果，但是在减振效果上不如NES。相较于TMD，NES不需要测量偏移距离即可起到很好的减振效果。在实际转子振动抑制中，测量吸振器安装的偏移距离是十分困难的，所以NES吸振器有着更广泛的适用范围。