1T2R并联机构拓扑降耦设计与运动性能分析

2021-06-09沈惠平孟庆梅

农业机械学报 2021年5期

沈惠平王达李菊孟庆梅

(常州大学现代机构学研究中心，常州 213016)

0 引言

三自由度的一平移两转动(1T2R)并联机构具有制造方便、灵活性好、精度易保证等优点，目前仍是国内外学者的研究热点之一。SONG等[1]运用基于共形几何代数的型综合方法，综合了一类一平移两转动(1T2R)并联机构；汪满新等[2]研究了基于UP和UPR-SPR型等效运动的1T2R并联机构的拓扑综合方法；房立丰等[3]以一平移两转动并联稳定平台为例，研究了少自由度并联稳定平台拓扑结构设计方法；ENRIQUE等[4]对3-CUP的1T2R并联机构进行了运动学分析；HUSSEIN等[5]对3-CRC的1T2R并联机构进行了运动学分析；SUNG等[6]对具有封闭型正解的1T2R并联机构进行了运动学分析；SUN等[7]研究了含有限运动与寄生运动的并联机构拓扑综合问题；CHEN等[8]研究了无寄生运动的3-PRRU的1T2R并联机器人的动力学建模和性能；GAN等[9]提出基于可重构原理可在一平移两转动(1T2R)运动与纯旋转(3R)两种工作运动模式之间实现可重构性；ALI等[10]利用高速艇的运动模拟器(HSB)，提出了一种新型的1T2R并联机构；SAIOA等[11-12]分析了2-PRU+1-PRS的1T2R并联机构的运动学、奇异性和动力学问题；JOSÉ等[13]对具有实时力/位置控制的1T2R型康复医疗并联机器人进行了模拟实验；XIE等[14]提出基于1T2R并联机构的两种新型铰接刀头，以用作模块化加工单元；车林仙等[15]采用智能算法求解了一平移两转动2-PUR+1-PSR并联机构的尺度参数优化设计问题；CHONG等[16]研究了3-RCU的1T2R并联机构的运动学优化问题。LIU等[17]研究了具有解析解的1T2R并联机构的类型综合。

求解并联机构的位置正解一般采用数值法和解析法，但较少考虑机构拓扑特性与运动学性能之间的关系。沈惠平等[18]提出按耦合度κ分类求解并联机构位置正解的方法，对κ为0的并联机构直接求解其符号式位置正解，对κ不为0的并联机构可用数值法求解其位置正解。文献[19-23]提出低耦合度(或零耦合度)且具有运动解耦性的少自由度并联机构，并求解了其符号式位置正反解，分析了机构运动学性能。

本文根据基于方位特征(Position and orientation characteristic，POC)方程的并联机构拓扑设计理论[24]，设计一种一平移两转动并联机构，因该机构耦合度为1，得不到符号式位置正解，故对其进行降耦优化设计[25]，得到一种零耦合度的一平移两转动并联机构，并对其符号式位置正反解、奇异位形及其工作空间进行计算和分析。

1 机构设计及拓扑分析

1.1 机构设计

1.1.1POC集计算

机构POC方程[24]为

(1)

(2)

式中MJi——第i个运动副的POC集

Mbi——第i条支链末端的POC集

Mpa——机构动平台的POC集

1.1.2支链设计

(1)支链POC集确定

支链末端满足Mpa的POC集Mbi可取为

(2)支链数目确定

一般情况下，支链数目应该等于并联机构自由度数，故设计该机构支链数目为3。

(3)支链拓扑结构综合

每条支链可有1个驱动副，为实现动平台长距离的移动，故设计每条支链的驱动副为P副，并在平行的导轨上。

第Ⅰ条支链可设计为方位特征支链[25]，即其末端构件的POC集为动平台的Mpa，即在满足第Ⅰ条支链能实现一平移两转动的同时，尽可能使其拓扑结构简单。由式(2)可知，在P副的基础上串联2个轴线垂直的R副，故第Ⅰ条支链的拓扑结构可设计为

SOCⅠ:{P⊥R⊥R}

SOCi:{P-S-S}(i=Ⅱ，Ⅲ)

1.1.3机构构成

根据支链的几何布置规则，设计的一平移两转动(1T2R)并联机构如图1所示，该机构由动平台1、静平台0，以及3条支链(Ⅰ、Ⅱ、Ⅲ)构成。Ⅰ支链为方位特征支链P31⊥R32⊥R33，P31轴线与P11轴线平行，R32轴线始终与静平台0平面平行；Ⅱ、Ⅲ支链均为Pi1-Si2-Si3(i=1，2)无约束支链，其移动副P11和P21轴线共线。

1.2 机构拓扑分析

1.2.1机构POC集验证

(1)支链拓扑结构分别为

SOCⅠ:{P31⊥R32⊥R33}

SOCⅡ:{P11-S12-S13}

SOCⅢ:{P21-S22-S23}

(2)选取动平台1上任一点为基点O′。

(3)确定支链末端构件的POC集。

由式(1)、(2)得支链末端构件POC集分别为

(4)确定动平台的POC集，由式(2)得

Mpa=MbⅠ∩MbⅡ∩MbⅢ=

因此，动平台1具有沿P31轴线一维平移以及绕转动副R32和R33轴线两维转动的输出特性。

1.2.2机构自由度

并联机构全周DOF公式[24]为

(3)

(4)

v=m-n+1

式中F——机构自由度

fi——第i个运动副的自由度

m——运动副数

v——独立回路数n——构件数

ξLj——第j个独立回路的独立位移方程数

Mb(j+1)——前j+1条支链末端构件的POC集

由第Ⅰ、Ⅱ支链构成的第1回路(即子并联机构)的独立位移方程数为

该子并联机构自由度为

该子并联机构的POC集为

Mpa(Ⅰ-Ⅱ)=MbⅠ∩MbⅡ=

由上述子并联机构和支链Ⅲ构成第2回路的独立位移方程数为

机构自由度为

故当取静平台0的3个移动副P11、P21、P31为驱动副时，动平台1可实现沿P31轴线的一维平移以及绕转动副R32和R33轴线的两维转动。

1.2.3机构耦合度

由基于序单开链[24](Single-open-chain，SOC)的机构组成原理可知，任一机构可分解为约束度为正、零、负的3种有序单开链(SOC)，第j个SOCj的约束度定义为

(5)

式中mj——第j个SOCj的运动副数

Ij——第j个SOCj的驱动副数

进一步，一组有序的v个SOC可组成1个独立回路数为v的(最小)子运动链[24](Sub-kinematics chain，SKC)，SKC耦合度为

(6)

在1.2.2节，已计算出2个回路的独立位移方程数，即ξL1=6，ξL2=6。因此，由式(5)可得，它们的约束度分别为

显然，由第1、2回路构成1个SKC，由式(6)得，该SKC耦合度为

即该机构只包含1个SKC，其耦合度κ=1，表明在位置正解求解时，需要在约束度为正值(Δ1=1)的回路上设置1个虚拟变量，而在约束度为负值(Δ2=-1)的回路上，建立1个含该虚拟变量的约束方程，可用一维搜索法求其数值型位置正解；但数值型位置正解不利于后续的误差分析、轨迹规划和运动控制，以及动力学分析。

因此，可对该机构进行拓扑降耦设计，以使该机构在保持基本功能(DOF、POC)不变的情况下，具有符号式位置正解。

1.3 机构降耦设计及其拓扑分析

根据机构拓扑降耦设计方法[25]中的“转动副/球副重合法”，将图1所示机构中支链Ⅱ、Ⅲ中的球副S13、S23合并，但考虑双重球副制造的不方便性，可将S13移至支链Ⅲ上，得到的改进机构如图2所示，即可保持机构基本功能(DOF、POC)不变，而使其耦合度从1降到0。

此时，支链Ⅱ、Ⅲ组合成为一复杂支链(子并联机构)，可知，其仍为无约束支链；同时，方位特征支链Ⅰ不变。因此，根据1.2节中所述的拓扑分析步骤知，机构降耦后的POC集、自由度并未发生改变，即：

第1回路{P11-S12-S13-S22-P21}，显然ξL1=6，其约束度为

式中，-3是指应扣除绕S12S13、S13S22及S12S22连线的3个局部转动自由度；但绕S12S22连线的局部转动自由度，应计入第2回路的约束度计算中。

第2回路{RS12S22-S23-R33-R32-P31}，显然，ξL2=6，其约束度为

可知，根据子运动链(SKC)的划分原则[24]，第1、2回路分别构成SKC1、SKC2，它们耦合度均为零，即κ1=κ2=0，因此，该并联机构耦合度为零，其位置正解易求出。

2 机构位置分析

2.1 基于拓扑特征的机构位置正解求解原理

由基于有序单开链(SOC)的机构组成原理[24]可知，降耦后的机构包含2个SKC，每个SKC可分解为一系列约束度分别为正值、零、负值的单开链回路，因此，该机构位置正解的求解，可转换为这两个SKC内所含单开链的位置求解。对本机构而言，SKC内仅有约束度为零的单开链，其运动位置具有确定性，因此，其位置正解能独立求解。

2.2 坐标系建立及参数标注

机构运动学建模如图3所示，设静平台0为长方形，其宽lOI为a，长为任意正实数，动平台1上lGF=b。设静平台0上的点O为静坐标系OXYZ原点，X轴沿OC方向，Y轴沿OI方向，Z轴由右手螺旋法则确定；动平台1上点O′为动坐标系O′X′Y′Z′原点，其X′轴沿O′M方向，Y′轴沿FO′方向，Z′轴由右手螺旋法则确定。

点O′与点G重合，AB、CD、GH都垂直于静平台0平面，△EBD的中线EJ与静平台0平面夹角为δ。设动平台1绕OX、OY轴正方向转动的角度分别为α、β；设lAB=lCD=d，lBE=lDE=e，lEF=f，lGH=h，并令lFD/lED=(f+e)/e=k0；设3个驱动副输入分别为lOA=l1、lOC=l2、lIH=l3。

2.3 位置正解求解

已知：3个移动副的位置分别为l1、l2、l3，求：动平台上O′=(x,y,z)及转角α和β。

2.3.1SKC1位置求解

第1回路A-B-E-D-C中，各点坐标为A=(l1,0,0)，B=(l1,0,d)，C=(l2,0,0)，D=(l2,0,d)。由lEB=lED的几何关系，易求得点E坐标为

2.3.2SKC2位置求解

第2回路F-G-H中，各点的坐标为G=O′=(l3,a,h)，H=(l3,a,0)，由lFD/lED=k0，得

(7)

由杆长约束条件lFG=b,整理并解得

{l3-[k0l1+(2-k0)l2]/2}2

因动坐标系中点F在静坐标系OXYZ中的坐标为

其中

式中Q——动坐标系到静坐标系的变换矩阵

解得

(8)

由式(7)、(8)求出动平台姿态角α、β、O′(x,y,z)及动平台上任一点的位置。

2.4 位置反解求解

机构位置逆解为：已知动平台1的转角α、β及O′(x,y,z)，求l1、l2、l3。

由式(8)可得

(9)

从而得点E坐标为

由lBE=lDE=e，解得

(10)

可知，l1、l2各有2组解，故逆解数为2×2=4，故该机构有4种构型。

2.5 正逆解验算

设该机构结构参数分别为：a=60 mm，b=20 mm，d=5 mm，e=75 mm，f=5 mm，h=45 mm。设此时3个移动副的位置分别为：l1=7.380 3 mm，l2=116.991 6 mm，l3=60.000 0 mm。

用Matlab求得机构位置正解，如表1所示。

表1 位置正解

将表1中序号1的数值代入式(10)，用Matlab解得机构的所有反解，如表2所示。

表2 位置反解

可见，表2中序号2组的逆解数值，与正解计算给定的3个输入值一致。因此，正、反解公式推导正确。

3 机构奇异性分析

3.1 雅可比矩阵

采用Jacobian法分析该机构的奇异位形。将式(10)两边同时对时间t求导，得

(11)

该机构动平台输出速度v1和输入速度v2的关系为

Jpv1=Jqv2

(12)

f11=-2bsinβcosα(XE-l1)/k0+2bsinαYE/k0-

2bcosβcosα(ZE-d)/k0

f12=-2bcosβsinα(XE-l1)/k0+

2bsinβsinα(ZE-d)/k0

f13=2(XE-l1)/k0

f21=-2bsinβcosα(XE-l2)/k0+2bsinαYE/k0-

2bcosβcosα(ZE-d)/k0

f22=-2bcosβsinα(XE-l2)/k0+

2bsinβsinα(ZE-d)/k0

f23=2(XE-l2)/k0f31=0f32=0f33=1

u11=2(XE-l1)u12=(k0-1)/k0

u22=-2(XE-l2)/k0u33=1

依据Jp、Jq矩阵是否奇异，将机构的奇异位形分为如下3类：①当det(Jq)=0时，机构发生输入奇异。②当det(Jp)=0时，机构发生输出奇异。③当det(Jq)=det(Jp)=0时，机构发生综合奇异。

3.2 奇异位形分析

当机构发生输入奇异，意味着每条支链靠近驱动杆的两根杆处于折叠或完全展开状态。此时，动平台的自由度数减少，则有det(Jq)=0，方程解为

l1=l2

(13)

根据式(13)可知，滑块P11和P21重合时才会发生输入奇异，但考虑到构件间的干涉，因此，此类奇异位形不存在。

当机构发生输出奇异，意味着每条支链靠近动平台的杆件处于折叠或完全展开的状态，此时动平台自由度数增多，即使锁住输入，动平台也可能存在自由度输出。设

若det(Jp)=0，则向量e1、e2、e3有如下2种情况：

(1)存在2个向量线性相关

若e1=ke2，满足GF∥△EBD的条件下，机构存在奇异位置，如图4所示。

若e1=ke3，满足GF∥EB的条件下，机构存在奇异位置，如图5所示。

若e2=ke3，满足点G、F、D共线的条件下，机构存在奇异位置，如图6所示。

(2)3个向量线性相关

设e3=k1e1+k2e2(k1k2≠0)，满足sinα=0(即FG⊥GH)的条件下，机构存在奇异位置，如图7所示。

当det(Jq)=det(Jp)=0，即输入奇异和输出奇异同时发生，该机构不存在综合奇异位置。

4 基于符号式位置正解的工作空间分析

4.1 工作空间计算

并联机构的可达工作空间是指在考虑运动副的转角范围、杆长不干涉的情况下，末端执行器的工作区域，是衡量并联机构性能的一个重要指标。

传统的工作空间计算是基于机构位置反解公式，采用离散化空间的三维搜索法，即需要预先估计设定一个搜索范围，通过Matlab软件搜索所有满足位置反解约束条件的点，由这些点组成的三维图即为该机构的工作空间。但由于预设的搜索范围难于估计其大小，因此，计算量很大。

本文降耦优化机构具有符号式位置正解，因此，直接采用位置正解来计算工作空间，具有思路清晰、计算量少、工作空间边界计算准确等优点。

当滑块P31固定时(取l3=60 mm)，滑块P11、P21的活动范围为：-20 mm≤l1≤60 mm，60 mm≤l2≤140 mm。通过Matlab软件编程，由式(7)、(8)得到该机构两维转动(2R)的工作空间，如图8所示。

2R输出时，工作空间在XOY、XOZ、YOZ平面上的投影图如图9所示。

当3个滑块都运动并具有不同速度时，滑块P11、P21、P31活动范围为：-20 mm≤l1≤60 mm，60 mm≤l2≤140 mm、60 mm≤l3≤120 mm，通过Matlab软件编程，由式(7)、(8)得到该机构一平移两转动(1T2R)的工作空间，如图10所示(可看作是图8所示的2R工作空间在X轴方向叠加而成)。

1T2R工作空间在XOY、XOZ、YOZ平面上的投影图如图11所示。

4.2 工作空间分析

采用传统的、基于式(9)、(10)的方法，同样计算出了动平台上点F如图8、9所示两维转动工作空间，以及如图10、11所示的一平移两转动工作空间，但基于符号式位置正解和位置反解求解2R、1T2R工作空间的计算量不同(由程序耗时，可直观且真实地知道计算量)；基于符号式位置正解、位置反解的程序，求得2R和1T2R工作空间的耗时，分别为7.856、129.307 s和 24.913、410.075 s，即基于符号式位置正解计算法，分别是基于位置反解的计算量的31.533%、31.532%。

由图8、10可知，用两种工作空间计算方法求得该机构的工作空间完全一致。由图10、11可知，该机构工作空间关于z=45 mm处的XOY面部分对称；当z>45 mm时，工作空间随z增大而减小，当z≤45 mm时，工作空间随z减小而先增后减，其形状较为规则，且工作空间大。基于符号式位置正解的工作空间计算，计算极为方便，计算量约为基于位置反解工作空间计算量的31.53%，且工作空间边界计算准确。