自然数四则运算的基本数学模型分析

刘加霞

北京教育学院初等教育学院院长，教育心理学博士，教授，教育部国培专家库成员;提出“把握数学本质是一切教学法的根”“实证研究学生是有效教学的根本”“培训实质是改变与创新”等观点，以及“CARE伙伴式”校本研修模式;在《课程教材教法》《中国教育学刊》《中小学管理》《人民教育》《小学数学教师》《小学教学》等期刊发表论文百余篇，著作有《小学数学有效教学》《小学数学有效学习评价》《小学数学课堂教学设计》等。

从发生学角度看，人类解决现实问题的“本能”方法是数数，但是通过数数获得答案太麻烦，于是人类首先“发明”了加法运算，然后是减法。同理，又“发明”了乘除运算，甚至其他更为“高级”的运算。因此，“发明”四则运算的根本目的是快捷、便利地解决问题。每一类運算解决不同类型的现实问题（对应不同的现实模型），是对现实问题的抽象。

自然数的四则运算所对应的现实情境模型是后续分数、小数四则运算的认知基础。系统地梳理加、减、乘、除运算所对应的各类现实模型及各类模型之间的逻辑关系意义重大。正如弗赖登塔尔所说，强调逻辑结构（模式）可能比起算术（解决具体问题）更重要。整体认知四则运算所对应的各类模型，有助于教师把握数学学科本质，读懂、吃透教材。

一、自然数加减法的不同现实模型

加法运算的产生与发展伴随着自然数的产生与发展，数与运算的发展相互促进。加法是最基础、最本质的运算，在其基础上产生减法、乘法与除法运算。减法是加法的逆运算，由意义互为“相反”的现实问题情境决定。加减法能解决哪些现实问题呢？

富森明确提出，正整数加减法的现实意义主要包括静态和动态模型，前者包括部分与部分的聚合以及两个数量谁多谁少的比较，反映的是两个数量之间的二元静态关系;后者包括一个量的增加性变化与减少性变化，是一个一元动态变化的过程。卡朋特和默泽尔更加详细地研究了加减法应用题，根据语义结构划分出应用题的类型：变化型（丽丽有5块糖，明明又给了她8块，这时丽丽有多少块糖？明明有8块糖，他拿出了3块给丽丽，明明还剩多少块糖？）、结合型（丽丽有5块水果糖和8块奶糖，她一共有多少块糖？丽丽和明明共有8块糖，如果明明有5块糖，那么丽丽有多少块糖？）、比较型（明明有5块糖，比丽丽少8块，丽丽有多少块糖？丽丽有8块糖，明明有5块糖，丽丽比明明多几块糖？）、相等型（丽丽有5块糖，如果明明减少8块就和丽丽的一样多，明明有多少块糖？丽丽有8块糖，明明有5块糖，明明还需要几块就和丽丽的糖一样多？）。

一元动态情境的逆向加法问题（例如，飞机场现在停着6架飞机，“正在”飞走3架，问飞机场原来停了多少架飞机。）对大多数一年级学生而言，理解及解决这样的问题都有困难，因为需要“时间倒流”的逆向思考，厘清已知条件与所求问题之间是加法关系，不能因为情境中出现“飞走”就用减法解决。学生理解减法的二元静态关系（即差比关系）比一元动态关系（取走）更困难。因此，现行各版本教材所设计的“加法的初步认识”情境，首先是部分与部分的聚合，即“合并”情境，而“减法的初步认识”的情境则是一元动态情境，即“取走”情境。

加减法的相等型模型具有培养学生代数思维的价值，通过相等型模型，学生能够更好地理解“=”的含义。史宁中建议，加法的初步认识应该采用相等型模型引入，而不是变化型（或合并型）。他认为这两种类型不能很好地解释“=”的“等价”意义。例如现行教材大多数用下面的方法引入：

于是就得到3+1=4，这样得到4是利用了“=”的对称性，因为自然数4=3+1，这样引入加法当然可以，但没有解释“=”的含义。他认为用对应的方法（相等模型）引入加法更好。

首先给出下面的两组方块，问学生哪边的方块多？（学生知道谁多、多几个）

然后，再拿出一个方块加到左边，形成下面的图，问学生现在哪边的方块多？（一样多）

在直观图示的基础上解释加法算式：3+1=4。

像这样运用相等模型、按照对应的方法引入加法，是否适合一年级学生的认知特点，是否有助于渗透代数思想以及感悟加法本质——加上一个自然数比原来的数大等价值，还需要实践的检验。目前很少有教材这样处理。

除前述模型外，小学阶段的加法问题还包括比赛场次或握手问题（二者的结构完全相同）。例如，有5支球队（会场有5人），任意两支球队（两人）之间都要进行一场比赛（一次握手），那么一共开展多少场比赛（握手多少次）。其直观几何模型就是“有多少条线段”问题：平面上有5个点（共线与不共线均可），任意两点连接成线段，一共有多少条线段。前述问题可以分类讨论，然后求一共有多少种情况，其本质仍然是“合并”问题，只不过怎么分类、分成几类等问题是学生学习的难点，合理而正确地“分类”是问题解决的突破口。

加法运算能够解决不同子类的“合并”问题。一般情况，各子类的交集是空集，其子集的并（相加）等于全集（部分+部分=整体）。还有一种情况，当子集的交集不是空集，全集就等于子集的并再减去交集，这就是小学数学中的“集合”问题，其本质仍然是加法模型。这两种情况如以下两幅韦恩图所示。

二、乘除法的不同现实模型及其抽象数学模型

弗赖登塔尔、吉尔德·维格诺德、格里尔等都对自然数乘法的现实模型提出了各自的观点。大致按照教材内容的编写顺序，笔者概括出小学阶段乘除法的现实情境模型，并进一步分析各自所属的数学模型。

1.等量组的聚集模型与映射模型

等量组的聚集模型就是日常所说的“相同加数连加”或者“几个几的和”问题，为了便捷而定义新运算——乘法。该模型也经常用语言表述为“每……共……”的方式，即仍然是静态的合并关系。例如，每组有4人，5组共有多少人。乘法的映射模型就是从两个集合（如猫的集合、爪的集合）对应的角度研究乘法数量关系。例如：1只猫有4只爪、2只猫有8只爪……5只猫有多少只爪。弗赖登塔尔称这类问题的数学模型是从集合P到集合Q内的映射，使Q的所有元素都有相同个数的原像。

事实上，等量组的聚集模型也是映射模型，只不过为了适应学生的认知基础，初步认识乘法时不是从“映射”角度引入，而是从“乘法是加法的简便运算（静态合并）”开始。这样安排既适应学生认知特点，又凸显乘法产生的必要性。笔者曾尝试“初步认识乘法”一课用映射模型，以失败告终，但各版本教材在编制乘法口诀内容时就已经运用了映射模型。例如，三轮车的轮子数量问题，以表格和直观图表示三轮车数量与轮子总数量之间的关系，为继续学习正比例关系等做铺垫。

需要注意的是，乘法映射模型中“乘数、被乘数”的地位不完全对称，因而就有两种不同的逆运算——除法：已知总数与份数，求每份中元素的个数，即“等分除”;已知总数与每份数，求份数，即“包含除”。虽然目前乘法运算不再区分乘数、被乘数，除法不再明确区分等分除、包含除，但在现实问题中，两种除法的含义、操作过程（长除法）是不同的，是否区分“两种除法”值得商榷。

2.偶对集：矩形模型与配对模型

弗赖登塔尔认为自然数的乘法有两个数学模型，其一是映射模型，其二是偶对集模型，偶对集中的矩形模型意义更为重大。抽象地看，两个自然数的积是由偶对集定义的，设A是a个元素的集合，B是b个元素的集合，则a×b是偶对集（A，B）的集合。在小学阶段，偶对集主要包括矩形模型和配对模型。配对模型比较简单，就是a件衣服与b条裤子可以搭配出多少套衣服的问题，下面重点分析矩形模型。

乘法矩形模型就是“每行有几个，有这样的几行”，根据构成矩形元素的抽象程度而有不同的表示方法：直观实物图的矩形模型，半抽象、半直观的点子图，以及长方形的面积。矩形模型使得乘法运算直观化、几何图形结构化，让学生对乘法意义及算理达到可视化理解。例如，长方形的长是5厘米，宽是3厘米，则长方形可以被15个单位（每排5个，有这样的3排）的小正方形覆盖，即面积是15平方厘米。“厘米×厘米”得到“平方厘米”是学生认知上的难点，学生混淆长度、面积以及体积单位不仅仅是“马虎”，而是认知困难导致的。

矩形面积模型，可以进一步推广来理解分数乘法的算理，也可以用矩形模型将比率模型直观化。例如，时间、速度分别是矩形的长、宽，则矩形面积就是路程。同样，数量—单价—总价、工时—工效—总量、体积—密度—质量等现实数量关系，也可以用乘法的矩形模型表示，使抽象的数量关系直观化、可视化。正如弗赖登塔尔所说，数学的特征就是把同构的步骤归纳成抽象模式，矩形模型就是通用于乘除法的模式，因为在该模型中，乘法的两个因数是对称的，就不必再按照哪个因子作除数而区分两种除法了。

3.比率模型

两个数量之间既有差比关系，还有倍比关系，前者由加减法运算解决，后者由乘除法运算解决。倍比关系对应乘法的比率模型，在小学阶段可以再细分为同类量的倍数模型（例如，小明收集了9个矿泉水瓶，小红收集的数量是小明的2倍，小红收集了多少个）和两个不同类量的变化率模型（例如，速度—时间模型、单价—数量模型、工时—工效模型、密度—体积模型等）。需要注意的是，单价、速度、工效等概念是用其他两个异类数量的“比”，人为定义得到的，所以也称为“导出的量”。这些量通过除法运算得到结果，用来刻画事物的“变化率”，即变化的“快慢”程度。

三、自然数四则混合运算的现实模型

前面分析了自然数加减乘除运算的基本模型（数量关系），现实生活中还有大量的“复合模型”问题，即四则混合运算问题以及比例问题。后者是乘法结构中的核心内容，将另行撰文分析。

理解四则混合运算的意义及法则也需要借助现实模型。例如：算式“5×3+1”的生活模型是“信封里有3张5元的人民币，信封外有1元人民币，一共有多少元？”;算式“（1+5）×3”的生活模型是“1份早餐里有一个1元的鸡蛋和一碗5元的八宝粥，3份早餐多少元？”。直观的生活模型，既能帮助学生理解算式的意义和算理，也有助于學生归纳、概括出运算法则：“有括号的先算括号里的”“先乘除后加减”等。

助理编辑  刘佳