气流作用下漏斗下方轻质球的运动特性研究
2021-06-07姚莉莎李永宏朱洪龙
姚莉莎，李永宏，齐 凯，朱洪龙
(运城学院 物理与电子工程系,山西 运城 044000)
2019年IYPT(国际青年物理学家锦标赛)第4题，“通过向漏斗中吹气，一个轻质小球(如乒乓球)可以被拾起。解释此现象并探究相关的参数”。本人作为参赛者有幸加了该竞赛的省赛，组织参与了该题目的整个过程，对该题目有了进一步的认知。该题目主要研究气流作用下漏斗下方轻质球的运动特性，关于漏斗中球状物运动特性曾被中学物理的相关研究者的关注[1,2]，但相关参数影响的分析较少。通过COMSOL模拟确定漏斗的负压区，并且分析得出影响轻质球被抬起的影响因素。利用MATLAB绘制出临界风速与变量之间的关系。从理论和实验对漏斗下方轻质球在气流作用下的运动特性进行分析研究。
1 理论分析
1.1 基本理论分析
如图1所示，箭头方向即为气流运动的方向,假设漏斗咀口处的横截面积为s1，轻质小球负压区的横截面积为s2，气流通过漏斗咀口处时的流速为v1。在理想状态下将气流的运动近似看作为流体在不同横截面的管道中的运动。因此根据连续性方程[3]
图1 漏斗与球截面图
s1v1=s2v2
(1)
得到横截面与流速的关系并再通过几何计算的方法可以得到气流横截面积为
(2)
根据流量与流速计算公式[3]
Q=sv
(3)
可得轻质小球与漏斗壁间隙气体流速[4]
(4)
将轻质球下表面最低点所在水平面定义为h=0，以得到轻质小球上下表面的气体重力势能差为[5]：
ΔE=ρ(sinα+1)Rg
(5)
根据伯努利方程(理想流体在重力场中作稳定流动时)，能量守恒定律在流体中的表现形式：
(6)
得轻质小球上下表面压强差为
(7)
1.2 COMSOL模拟分析
负压区的定义为轻质球受到的压强最大点到压强最小点之间的区域即小球上表面区域的范围称作为负压区。如图2所示，图中颜色不同代表流经漏斗咀口气流流速不同，其中蓝色代表流速最慢位置，按图示颜色变化流速依次加快，红色则表示为流速最快的区域位置。图2为漏斗及漏斗下方轻质小球的截面图，半圆弧表示轻质小球的截面其余位置为漏斗的截面图。如图3所示，图中颜色不同代表轻质小球所受压力不同，其中蓝色区域表示轻质小球所受压力最小区域，随着颜色的变化轻质小球所受压力逐渐增大而红色区域表示轻质小球所受压力最大区域。对比发现轻质小球与漏斗咀口间距处流速最快，轻质小球所受的压强最小。
m
图3 COMSOL模拟气压图
根据COMSOL模拟发现压强的竖直分量对轻质小球整体的作用可以近似看作其对负压区的作用。因此研究负压区的作用效果即可以看作是研究压强的竖直分量对轻质小球整体的作用。在实验分析过程中采用研究负压区的作用的方法研究整个轻质小球的受力作用。
如图4所示，球冠表面积S为
图4 球冠面积示意图
(8)
轻质小球上方空气流速为
(9)
则球负压区上方球冠受到气流向下的冲击力可表示为：
(10)
1.3 主要影响因素
如图5为轻质球受力示意图，根据COMSOL瞬态模拟确定轻质球所受升力为
图5 轻质小球受力示意图
F升=ΔP·S-F冲
(11)
轻质球达到临界状态时受力分析结果为：
mg=F升
(12)
定义轻质球恰好能被抬起时的最小风速为临界风速。因此在其他变量保持一定时，临界风速与轻质小球的质量呈正相关关系。
对原轻质小球(如图6中的黑色圆形)轻质小球球心到漏斗壁的垂直距离为：
图6 轻质球球心在不同情况下到漏斗壁垂直距离示意图
L=(R+K)sinα-R
(15)
对半径增大ΔR的轻质小球，该轻质小球的球心到漏斗壁的垂直距离为：
L′=(R+ΔR+K)sinα-(R+ΔR)=L+ΔR(sinα-1)
(16)
因为sinα<1则ΔR(sinα-1)<0因此L′
根据上述的理论分析以及理论公式得推导解读可得到相应的结论，第一：在其他变量一定时，临界风速与轻质小球的质量呈正相关关系。第二：在其他变量一定时，临界风速与轻质小球顶端距漏斗咀口间距离呈正相关关系。第三：在其他变量一定时临界风速与轻质小球的半径呈负相关关系。
2 实验设计及数据分析
2.1 实验设计
如图7所示，将漏斗固定在铁架台上，首先在漏斗的正下方放置一个盛放有轻质小球的轻质小球支架，以保证轻质小球可以平稳不自由滚动。然后将风枪放置于漏斗上口径处，使得气流可以均匀鼓入漏斗内部，选取不同高度放置漏斗，在测量高度时使用激光器将激光投射于与铁架台一样垂直放置的坐标纸上来确定轻质小球顶部与漏斗咀口间的间距，确保测量位置的准确性，最后用硬度较大不易变形的橡胶管连接风枪与800 W空气压缩机，打开空气压缩机，由风枪将空气鼓入漏斗中，当轻质小球恰好被抬起时使用数字风速仪测量此时的风速大小并记录数据，此时的风速即为轻质小球恰好被抬起的临界风速，在记录数据时采用多次测量求平均值的方法进行记录，然后将记录好的实验数据使用MATLAB绘制成图线，如果遇到误差较大的数据将反复多次进行实验测量，确保数据的准确性，也进一步排除外界环境对实验的影响。最后通过分析图线得出相关临界风速与影响轻质球被抬起的相关参数的线性关系。
图7 器材搭建实物图
2.2 数据分析
(1)临界风速与小球质量的关系.
表1为不同质量下，轻质球的临界风速。图8为轻质球质量与临界风速关系曲线图。通过对数据拟合图线分析可以得到小球质量与临界风速的关系式为：y=-0.79x2-4.44x+17.77：从图8可以看出，轻质球恰好被抬起时的临界风速随轻质球质量的增加而增大。
表1 轻质球质量对临界风速的影响
图8 轻质球质量与临界风速关系曲线图
(2)临界风速与小球顶端距漏斗咀口距离的关系
表2为不同轻质球距漏斗咀口间距下，轻质球的临界风速。图9轻质球到漏斗咀口间距与临界风速关系曲线图。
图9 轻质球到漏斗咀口间距与临界风速关系曲线图
表2 轻质球距漏斗咀口间距对临界风速的影响
通过对数据拟合图线分析可以得到轻质球距漏斗咀口间距与临界风速的关系式为：y=-0.79x2-4.44x+17.77，可以看出，轻质球恰好被抬起时的临界风速随轻质球到漏斗咀口间距的增加而增大。
(3)临界风速与小球直径的关系
表3为不同轻质球直径下，轻质球的临界风速。图10轻质球直径与临界风速关系曲线图。通过对数据拟合图线分析可以得到轻质球距漏斗咀口间距与临界风速的关系式为：y=-0.13x3+6.29x2-53.09x+140.78，可以看出，轻质球恰好被抬起时的临界风速随轻质球直径的增加而减小。
表3 轻质球直径对临界风速的影响
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4 结 语
针对2019年IYPT(国际青年物理学家锦标赛)第4题，通过理论分析、模拟仿真以及设计实验对漏斗下方轻质球在气流作用下的运动特性进行分析研究。研究确定了压力差的产生、负压区的位置和轻质球被抬起的影响因素。通过实验数据分析拟合得出轻质球被抬起的临界风速(y)与轻质球直径(x)的关系为：y=-0.13x3+6.29x2-53.09x+140.78，拟合曲线图显示轻质球恰好被抬起的临界风速随轻质球直径的增大而减小；临界风速(y)与轻质球距漏斗咀口间距(x)呈指数关系：y=3.19e0.33x，曲线图显示轻质球恰好被抬起时的临界风速随轻质球到漏斗咀口间距的增加而增大；临界风速(y)与轻质球质量(x)的关系为y=-0.79x2-4.44x+17.77，曲线图显示轻质球恰好被抬起的临界风速随轻质球质量的增加而增大。
