探析高中物理力学中的临界与极值问题

2021-06-06邓贤彬

中学物理·高中 2021年2期

摘要：临界与极值问题是高中物理中最难、最重要的知识，例举若干例题从极值问题的产生原因、情景过程和数学手段等方面加以分析.

关键词：力学;临界与极值问题;例析

中图分类号：G633.7 文献标识码：B 文章编号：1008-4134（2021）03-0057-03

作者简介：邓贤彬（1973-），男，四川资中人，本科，中学高级教师，研究方向：中学物理学科教学.

临界和极值问题，是高中物理中最重要、最典型的一类问题，也是学生学习物理中最头痛的问题.这类问题，往往因过程、情景复杂，条件隐藏较深，数学技巧要求高，经常成为高考考查学生综合能力的重要切入点.学生遇到这类问题，往往不知如何下手，得分率较低.本文尝试从此类问题的产生原因、情景过程、数学手段等方面进行归类研究.

1 追及问题的临界和极值问题

1.1 物理情景分析

假设甲、乙两物体在同一直线上向同一方向运动，且甲在后面追乙.两物体相对位置变化的原因和两物体的速度关系见表1.

结论：速度是两物体相对位置变化的根本原因，是追及问题中的关键条件，速度相等是两物体追得上、追不上或者刚好追上的临界条件.

1.2 分析技巧

1.2.1 一个临界条件

二者速度相等，它既是物体能否追上、追不上或者刚好追上的临界条件，也是物体间相距最近或者最远的条件.

1.2.2 两个等量关系

时间关系和位移关系，利用这两个关系可以列方程或者方程组求解.

1.3 常用数学方法

1.3.1 图像法

画出两物体的v-t图像，利用两图像的交点和所围成图形的“面积”判断.

1.3.2 数学极值法

设相遇时间为t，根据条件列方程，得到关于位移x与时间t的函数关系，由此判断两物体的追及或相遇情况，并求出最大值或者最小值.

例题1 在平直的公路上，一辆小汽车在路口等待交通灯，绿灯亮时一辆道路维护车在前方以v0=10m/s的速度匀速前进，小汽车立即以a1=2m/s2的加速度启动，启动时，两车相距x0=75m.

求：（1）汽车启动后经过多长时间从道路维护车旁边经过？

（2）相遇前两车相距的最远距离是多少？

解析：

图像法：

（1）由条件知：当12×2×t21= 10t1+ 75时，两物体相遇，即t1=15s.

（2）由图1，当t=5s时两物体速度相等，且相距最远.最远距离d=12×10×5+75=100m.

数学极值法：

（1）设经过t1时间小汽车和维护车相遇，由位移关系得v0t1+x0=12at21，解得t1=15s.

（2）设经过t时间，两物体间的距离为y，由位移关系得y=v0t+x0-12at2，整理得

y=-t2+10t+75=-（t-5）2+100

当t=5s时，两车相距最远且最大值ymax=100m.

结论：对于追及和相遇问题的临界和极值问题，通常可以转化为数学中一元二次函数的有无实数解的判定和极值计算.

2 力的平衡中的极值问题

2.1 三力平衡中的极值问题

2.1.1 物理情景分析

物体受三个力作用而平衡，实际情况往往存在第三个力如何施力会取得最小值的问题.物体受力情况往往这样：一个力大小和方向一定（F1），另一个力方向一定（F2）（F1和F2的夹角为θ），第三个力往往最小值.

2.1.2 作图法

对于此类问题，可用动态三角形画出第三个力在何种情况下取得最小值，然后直接求解其最小值.由图2可知，当第三个力（F3）垂直于第二个力时，第三个力有最小值，且F3min=F1sinθ.

例题2 如图3所示，两个小球a、b的质量为ma=m、mb=2m，用细绳相连并悬挂于O点，现在给小球a施加一个拉力F使整个装置处于静止状态，且细绳与竖直方向夹角为45°，则力F的最小值是

A.3 22mgB.2mgC.5 22mgD.3mg

解析：以两个小球组成的整体作为研究对象，整体受三个力，一个是整体受到的重力（大小和方向一定），绳子的拉力（方向一定），F大小和方向都未定.当F垂直于绳子时，F取得最小值.如图3所示，Fmin=3mgsin45°=322mg.答案选A.

结论：三个力的动态平衡，一般应用动态三角形作图，可以定性判断力的大小和方向变化，也可以定量求出力的最小值.

2.2 多个力（四个以上）的平衡問题

2.2.1 物理情景分析

外力作用下的物体在水平面上做直线运动，必然存在沿某个方向上用力且最省力的问题.此时物体受力往往在四个力以上，求解这类问题，直接用作图法，往往失效，一般可采用三角函数求极值.

2.2.2 三个函数极值

通常通过平衡条件列方程组把待求力的大小转化成力的方向（角度）的三个函数关系形式.最后结果表达式可化为这样：y=asinθ+bcosθ，则有ymax=a2+b2，从而求得F最小值.

例题3 一质量为m的物体放在动摩擦因数为μ的粗糙水平面上，现要施加一个斜向右上方的力F使物体沿水平面向右做匀速直线运动.求所施加的力F的最小值.

解析：设F与水平方向的夹角为θ时，物体沿水平面向右做匀速运动，受力分析如图4所示，由正交分解法得

Fcosθ=f

Fsinθ+N=mg

又因为f=μN，得

F=μmgcosθ+μsinθ

由数学方法得Fmin=μmg1+μ2.

3 动力学中的临界与极值问题

3.1 叠加体系统相对滑动的临界与极值问题

3.1.1 物理情景分析

在动力学问题中，两接触物体发生相对滑动需要一定的力学条件，由不相对滑动到刚要发生相对滑动时，即出现临界条件，此时有的物理量出现极值.解决此类问题，往往需要找出刚要相对滑动时的临界条件，再利用临界条件来判断实际情况.

3.1.2 叠加体系统相对滑动的条件

两物体加速度相同;两物体间相对滑动的摩擦力达到最大静摩擦（一般是把滑动摩擦当作最大静摩擦）.

3.1.3 分析与处理思路

①假设叠加体间无相对滑动（不管两物体是否相对滑动），利用整体法求解（或者表达）系统加速度a;②隔离被动物体（即以摩擦力为动力的物体），计算其在最大静摩擦力作用下的最大加速度am;③比较判断：如果a≤am，两物体无相对滑动，实际加速度为a;如果a>am，则两物体有相对滑动;被动物体加速度a1=am，主动物体（主要是靠外力运动的物体）的加速度a2需要用隔离法由牛顿第二定律单独计算.

例题4 如图5所示，物体A叠放于物体B上，B置于光滑的水平面上，A、B质量分别为mA=6kg，mB=2kg，A、B间的动摩擦因数μ=0.2，开始时F=10N，此后逐渐增加，在增加到45N的过程中，则（设最大静摩擦等于滑动摩擦力）

A.当拉力F<12N时，物体均保持静止状态

B.两物体开始没有相对运动，当拉力超过12N时，开始相对滑动

C.两物体从受力开始就有相对运动

D.两物体始终没有相对运动

解析：（1）当F=10N时，假设两物体没有相对滑动，对A和B整体：F=mA+mBa①

解得a=1.5m/s2.

（2）隔离被动物体B：μmAg=mBam②

解得am=6m/s2.

（3）因为如果a≤am，两物体无相对滑动.将a=am=6m/s2代入①式得F=48N，即F=48N时两物体刚要相对滑动，答案选D.

3.2 叠加体分离的临界条件和极值问题

3.2.1 物理情景分析

两叠加物体发生分离需要一定的力学条件，由共同运动到刚要相对分离时，即出现临界条件.解决此类问题，往往需要找出刚要分离时的临界条件，再利用临界条件来判断实际情况.

3.2.2 叠加体系统两物体相互分离的临界条件

两物体加速度相同;两物体间的弹力为0.

3.2.3 分析与处理思路

处理这类问题，往往相互间弹力为0时会发生转折，通常取这一状态为研究的初状态或者末状态.

例题5 如图6所示，一弹簧一端固定在倾角为θ=37°的光滑固定斜面的底端，另一端拴住质量为m1=4kg的物体P，Q为一质量为m2=8kg的物体，弹簧的质量不计，劲度系数k=600N/m，系统处于静止状态.现给Q施加一个方向沿斜面向上的力F，使它从静止开始沿斜面向上做匀加速运动，已知在前0.2s时间内，F为变力，0.2s以后F为恒力，已知sin37°=0.6，cos37°=0.8，取g=10m/s2.求力F的最大值与最小值.

解析：设开始弹簧的压缩量为x0，由平衡条件得

m1+m2gsinθ=kx0

代入数据得x0=0.12m.

因前0.2s时间内F为变力，之后为恒力，则0.2s时刻两物体分离，此时P、Q间的弹力为0，设此时弹簧的压缩量为x1.对物体P，由牛顿第二定律得

kx1-m1gsinθ=m1a

前0.2s时间内两物体的位移 x0-x1=12at2

联立解得a=3m/s2.

对两物体受力分析知，开始运动时拉力最小，分离时拉力最大.

Fmin=m1+m2a=36N

对Q应用牛顿第二定律得Fmax-m2gsinθ=m2a

解得Fmax=72N.

4 能量转化和转移中的极值问题