典型螺栓连接界面轴向动态特性的不确定性研究

陈学前， 沈展鹏， 刘信恩， 范宣华， 胡 杰

(1. 中国工程物理研究院 总体工程研究所，四川 绵阳 621999；2. 工程材料与结构冲击振动四川省重点实验室，四川 绵阳 621999)

螺栓连接是航空、航天、武器工程及各类机械结构的主要连接形式之一，螺栓连接结合部的力学行为对整体结构刚度及响应的影响至关重要。但是，由于螺栓连接结合部的力学特性受结合面微观特征、连接件的材料特性、螺栓预紧力、几何公差等多因素影响，并且这些因素在同一批产品中会表现出一定不确定性，或者针对同一样件，不同次装配中其螺栓预紧力、结合面微观接触形成等也表现出一定不确定性。总的来说，结构螺栓连接界面表现出复杂的非线性及不确定性力学行为。为满足各行业结构高精度、高可靠性的数字化设计需求，使对螺栓连接结合部力学行为的研究尤为迫切，相关力学问题已成为各行业发展过程中需要亟待研究与解决的重要基础问题。

从研究方法分类，螺栓连接物理本构模型的研究可以分为基于结合面微细观物理机理的正向方法与基于宏观试验结果反向识别结合面参数的方法。正向方法由于相关参数具有确定的物理意义，且可以建立微细观到宏观模型的联系，故近些年逐渐成为研究热点。如Jiang等[1]基于分形理论与赫兹理论建立了粗糙接触面考虑弹塑性变形的法向和切向接触刚度模型。Brake[2]基于材料特性和接触力学研究两个球面接触在法向载荷下的变形，模型中根据接触实际将接触区域分为弹性、弹塑性和完全塑性变形三部分。Bryant等[3]根据弹塑性有限元理论，利用正弦形微凸体代替真实粗糙表面，研究从弹性到塑性变形阶段的接触过程。张学良等[4-6]考虑了微接触大小分布的域扩展因子的影响，建立了结合面的法向接触刚度模型，并基于接触分形理论研究了结合部薄层单元横观各向同性材料参数的计算取值。杨红平等[7]将两个粗糙表面的接触简化成一个刚性光滑平面与一个弹性粗糙表面接触，利用分形理论和接触力学建立结合面法向接触刚度计算模型。田红亮等[8-9]以修正分形几何学理论和赫兹法向接触力学方程为基础，推导了柔性结合面法向接触刚度与阻尼，以及基于接触分形理论研究了结合部薄层单元各向同性材料参数的计算取值。王东等[10]基于Mindlin弹性接触理论和KD模型，应用概率统计方法研究了一种描述粗糙结合面的跨尺度黏滑摩擦行为的参数化力学模型。李玲等[11-12]通过对结合面微观特性的表征，并从结合面微观尺度入手，研究了结合面法向刚度与切向刚度以及不同粗糙表面对法向刚度的影响。但正向方法需要结合面表面形貌的准确测量，相关参数的准确测量仍具有相当难度。因此，基于宏观结构试验结果的参数辨识在连接结合面建模的实际工程中也有较广应用。如蔡力钢等[13]通过法向静态拉伸试验结果，利用结合面有效作用面积与被连接件的法向刚度模型，间接识别了结合面法向静态刚度。Schmidt等[14]通过螺栓连接结构的切向受力试验，推导了接触面等效剪切模量和切向刚度的关系。董冠华等[15]基于模态分析理论结合螺栓连接结构典型模态频率对结合部动刚度辨识进行了辨识。

当前，对螺栓连接界面物理本构建模无论是在微细观还是在宏观层面都得到了较大发展，但对其连接动态特性的不确定性研究相对较少，并且对结合面阻尼特性的研究也相对较少。姜东等[16]以四螺栓搭接梁为研究对象，开展了接触界面的薄层单元建模及不确定性参数识别方法研究，但文章所用数据为仿真得到的虚拟试验数据。本文基于参数反向识别思想，采用薄层单元建立典型螺栓连接件接触界面的有限元模型，并根据结构不同次装配的正弦振动试验结果，采用区间不确定性参数模型修正方法识别得到薄层单元的弹性模量、泊松比与损耗因子的区间。

1 试验研究

针对如图1所示的典型螺栓连接结构(长方体钢结构，长、宽、高分别为150 mm，110 mm，99 mm，质量为12.8 kg)，通过六个M6的螺栓(螺栓为8.8级全螺纹六角头螺栓，拧紧时配以标准平垫圈和弹簧垫圈使用)与钢质夹具圆盘相连，夹具圆盘直接与振动台相连。当螺栓中预紧力矩较大时，螺栓连接表现出较弱的非线性特性，工程中一般可通过结构模态试验或振动试验研究其连接刚度与阻尼特性。本文通过正弦扫频振动试验研究螺栓连接结构的轴向共振频率与阻尼比。点A1～A4是控制点，点A5～A8是加速度响应测点。正弦扫频振动试验采用点A1～A4做四点加速度响应平均控制，控制基准谱采用20～2 000 Hz的定加速度谱曲线，谱线数为801线。

图1 典型螺栓连接结构试验示意图Fig.1 Sketch map of classic bolted joint structure experiment

对该螺栓连接结构开展螺栓预紧力矩为7 N·m，振动量级为2g的正弦扫频振动试验。每次振动试验结束，更换连接螺栓，对螺栓连接系统进行重新拆装，重复开展11次振动试验，获得了系统轴向振动的固有频率和阻尼比，试验结果如表1所示。从表1可以看出，结构轴向振动的固有频率和阻尼比具有一定的不确定性。

表1 螺栓连接系统固有频率与模态阻尼比的试验结果Tab.1 Experimental results of natural frequency and modal damping ratio about the bolted joint system

2 基于薄层单元的有限元建模

实际螺栓连接结构中，在螺栓连接结合部存在具有一定厚度的过渡区域，如图2所示，该过渡区域刚度与阻尼特性与结构其他区域存在较大差异，是影响整个结构动力学特性的主要因素之一。

图2 连接结合部示意图Fig.2 Sketch map of joint interface

在连接结合部出现如图2所示过渡区域的主要原因是结构的实际粗糙表面，为准确模拟结合部的连接动力学特性，常常将结合部接触界面两侧分离出一定厚度的薄层单元，薄层单元材料可以设置成各向同性或横观各向异性。本文主要研究螺栓连接界面的轴向特性，故将薄层单元材料参数按各向同性处理。

薄层单元的厚度可以定义为结合部两接触材料微凸体层厚度h1和h2之和。考虑现有机床结合面的表面粗糙度，根据金属表面微凸体表层微观结构， 微凸体层厚度大致在0.5 mm附近波动，所以薄层单元的厚度可取为1 mm。

薄层单元的密度参考田红亮等的方法确定，由于本文典型螺栓连接两部件均为钢，故薄层单元密度取7 800 kg/m3。

根据上述分析，建立典型螺栓连接结构的有限元模型，如图3所示。在所建立的有限元模型中，除薄层单元以外的其他部分材料参数均可确定，但可以通过模态分析与模态应变能理论建立薄层单元材料参数与模态频率与阻尼比之间的关系，并根据结构的模态试验结果识别得到薄层单元弹性模量、泊松比与损耗因子等材料参数。

图3 螺栓连接结构有限元模型Fig.3 Finite element model of the bolted joint structure

所建模型自由振动的微分方程可写成

(1)

式中：M为结构的质量矩阵；K为结构的刚度矩阵。考虑到材料的损耗因子，K为复刚度矩阵，即

K=KR+iKI

(2)

KR=K1R+K2R

(3)

KI=η1K1R+η2K2R

(4)

式中：KR，KI分别为结构复刚度的实部和虚部；K1R，K2R分别为结构薄层单元、其他部件材料的实刚度；η1，η2分别为结构薄层单元、其他部件材料的损耗因子。

假定式(1)的解的形式为

(5)

(6)

(7)

式中，η(r)为阻尼结构第r阶的损耗因子，与第r阶模态阻尼比ξ(r)的关系为η(r)=2ξ(r)。

联合式(1)、式(5)～式(7)，得到

(8)

要计算η(r)的近似值，可以用结构的实特征向量来代替其复特征向量。这样，式(8)可以变换成

(9)

(10)

由式(9)～式(10)，可以得到

(11)

根据弹性模态理论，对给定第r阶模态振型，其应变能是

V(r)=φ(r)TKRφ(r)

(12)

由式(4)，式(11)和式(12)，得到

(13)

综上，该螺栓结构轴向振动固有频率与模态阻尼比有以下数学模型

f=f(E1,E2,υ1,υ2,ρ1,ρ2)

(14)

ξ=ξ(E1,E2,υ1,υ2,ρ1,ρ2,η1,η2)

(15)

式中：E1,E2分别为薄层单元及其他部位的弹性模量；υ1,υ2分别为薄层单元及其他部位的泊松比。本文中，其他部位的弹性模量、泊松比、材料损耗因子均是确定性值，分别取200 GPa，0.3，0.001；所有材料的密度均取7 800 kg/m3；不同次装配带来的结构轴向动态特性的不确定性由薄层单元的弹性模量E1、泊松比υ1、材料损耗因子η1的不确定性表征，通过试验结果对不确定性参数的区间进行识别。

3 不确定性参数识别

在有限元模型中用薄层单元材料弹性模量E1、泊松比υ1的不确定性表征螺栓连接界面动态连接刚度的不确定性，薄层单元的材料损耗因子η1表征连接界面动态阻尼的不确定性，通过不确定性有限元模型修正方法对弹性模量E1、泊松比υ1及材料损耗因子η1进行量化。

考虑到试验结果小样本情况，首先，通过核密度估计(kernel density estimation，KDE)方法对螺栓连接系统的固有频率进行估计以获得用于模型修正的频率试验结果区间。估计得到的频率、模态阻尼比试验结果区间分别为[1 767.95，1 814.52] Hz和[0.258 6，0.394 1]。可以看出，根据KDE分析获得的固有频率、模态阻尼比试验结果区间略宽于试验数据本身的区间，该结果应更可信。

接下来，假设待修正参数E1，υ1，η1的原始区间分别是[1.5 2.0]×109Pa，[0.2 0.3]，[0.05 0.20]。采用文献[17]中的基于主成分分析(principal component analysis，PCA)的区间不确定性有限元修正方法，识别得到待修正参数E1，υ1，η1的不确定性区间。修正过程中，为获得样本设计点，每个迭代步通过拉丁超立方设计获得20个样本点，也就是说，每迭代一次只需进行20次确定性有限元计算。该算例模型修正经过六次迭代即达到收敛条件。

经模型修正得到待修正参数E1，υ1，η1的修正区间分别是[1.661 1.815]×109Pa，[0.236 0.267]，[8.852×10-3，1.318×10-2]，修正前后待修正参数区间的图形比较，如图4所示，从图4可以看出，模型修正后，待修正参数区间明显缩小。图5是薄层单元3个材料参数与结构轴向振动固有频率、模态阻尼比的散点分布图，从图5可以看出，薄层单元弹性模量与结构轴向固有频率具有较强相关性，薄层单元泊松比与固有频率具有较弱相关性，而薄层单元损耗因子与固有频率几乎无相关性；薄层单元损耗因子与模态阻尼比具有极强的相关性，但薄层单元弹性模量、泊松比与模态阻尼比基本没有相关性，这些现象与认识完全一致。

图4 待识别参数修正前后区间比较Fig.4 Comparisons between the original and the updated intervals of the updating parameters

图5 薄层单元材料参数与结构轴向振动特性的散点分布图Fig.5 Scatter map between the material parameters of thin layer element and the vibration characteristics of the bolted joint structure

图6是模型修正后系统的固有频率、模态阻尼比的散点分布图，从图6可以看出，修正后系统固有频率、模态阻尼比计算结果与试验结果二者更吻合。模型修正前，固有频率计算结果区间为[1 690.9，1 896.4] Hz，与试验结果的差别为[-4.36%，4.51%]，模态阻尼比计算结果区间为[0.09%，0.64%]，与试验结果的差别为[-64.47%，63.63%]；修正后，固有频率计算结果区间为[1 760.8，1 819.9] Hz，与试验结果的差别为[-0.40%，0.30%]，模态阻尼比计算结果区间为[0.24%，0.41%]，与试验结果的差别为[-6.76%，4.57%]；固有频率计算结果与试验结果的最大差别由修正前的4.51%变为修正后的0.40%，模态阻尼比计算结果与试验结果的最大差别由修正前的64.47%变为修正后的6.76%。综上，通过模型修正识别得到的薄层单元材料参数能较好反映接触界面物理实际。

图6 结构固有频率与模态阻尼比的散点分布图Fig.6 Scatter map between the natural frequency and the modal damping ratio

4 结 论

本文采用薄层单元模拟螺栓连接接触界面的方法，建立了典型螺栓连接结构的有限元模型，并根据该结构的振动试验结果样本，采用基于PCA方法的区间不确定性模型修正方法，对薄层单元的弹性模量、泊松比与材料损耗因子不确定性区间进行了识别。模型修正结果表明，考虑材料参数不确定性的薄层单元可以较准确模拟螺栓连接接触界面的物理实际。并且，本文利用薄层单元修正后的损耗因子来表征连接界面的阻尼特性，使连接界面的阻尼特性变成一种材料参数，可方便应用于不同结构的类似连接，以便能较准确预测不同结构的各阶模态阻尼比。由于螺栓连接结构服役过程中的多次装配带来其动力学特性的不确定性是客观存在，故在对螺栓连接结构进行高置信度数值分析时需要考虑连接不确定性的影响。本文识别得到的典型螺栓连接结合部薄层单元材料参数的不确定性区间值可为建立类似典型螺栓连接结构更可信的动力学模型提供参考。