回转型绿篱修剪机动力学分析及虚拟样机仿真

阚延鹏，陈玉，张新阳，赵转哲，韩波

(安徽工程大学机械工程学院，安徽 芜湖 241000)

随着国家倡导绿化生活的要求越来越严格，以及人们追求绿色舒适的生活环境，绿篱作为城市生活的点缀，起到美化环境、防尘降噪、隔离视线等作用.绿篱植物是季节性生长植物，任其生长，不仅影响道路交通安全，且美观度不一.所以需要定期修剪维护，而人工修剪存在费时费力、工作效率低等缺点.

国外园林式绿篱修剪设备出现较早，到如今已有几十年的发展历史[1]，由最初的手动式剪刀发展到便携式绿篱修剪机，再到车载式绿篱机.一般便携式修剪机采用人工手持的方式，采用往复式或旋刀式的切割刀具，动力源主要是电动机或者汽油机.自20世纪70年代开始，美国等发达国家接连研制并推广车载悬挂式绿篱修剪机，以适应高速公路的发展以及园林养护的需求.车载式绿篱修剪机结合了往复式切割和运送机构，通过对机构的调控，可使其在不同高度、不同平面完成修剪工作，适应于工作量大、行程远的工作环境，并能保证较高的修剪效率和质量.德国目前在绿篱机械技术方面处于领先地位，德国公司生产的绿篱修剪机，将机械臂安装在卡车或拖拉机的前部，由液压驱动实现伸缩和升降功能，并将绿篱修剪刀具放置在机械臂的末端.由液压马达进行驱动，这种设计存在自动化控制相对复杂，不易操作控制、多采用车载一体式，造价昂贵等缺点.

国内绿篱机相对于国外发展起步较晚，直到上个世纪70年代末，国内才出现了一些园林绿化机械，并于90年代得到迅速发展.如长安大学某课题组研究设计出一个车载式双臂绿篱修剪机[2]，该设备由两组臂架组成，采用液压动力系统，该机械主要可以同时对高速公路中央绿化带及边坡进行修剪，实现功能多样化；济南恒越机械设备有限公司设计了一款主要针对当前高速公路中央隔离带人工修剪效率不足而进行改进的车载式绿篱修剪机[3]，该设备的液压操纵装置是由人工操纵在驾驶室仪表台上的控制手柄，使设备能够灵活完成升降、水平收缩等动作，有效地提高修剪质量、节省劳动力、提高工作效率，但其功能单一，只能实现顶部和侧面修剪，对于具有一定几何曲面形状的绿篱尚不能修剪.

因而车载式绿篱机成为当下国内城市道路绿化的首选[4].本研究结合国内外绿篱机的优缺点设计并提出一种不仅可以自动实现常规横面、侧立面绿篱的修剪，还可以通过末端轨迹运动完成多种几何造型修剪工作的回转型绿篱修剪机，以降低人工手持式绿篱造型修剪的劳动强度，提高工作效率，降低成本，达到全面自动化修剪.

本研究在绿篱机模型方案的基础上，对其动力学模型进行分析计算，探究物体运动与受力之间的关系，对已建立好的绿篱机模型，简化处理后导入虚拟样机仿真软件ADAMS中，通过添加约束和设置相关驱动函数对修剪系统完成轨迹运动仿真，第一可以分析修剪机设计方案的可行性，并检查运动干涉问题，第二可以验证机构运动是否合理，检验绿篱机整机机构是否存在运动干涉及“死点”问题，第三可以根据仿真模型模拟绿篱机真实运动空间的球形轨迹，得到各关节驱动的速度、加速度、位移与关节驱动力之间的关系.

1 动力学概述

在机器人操作臂的领域中，动力学研究的核心就是机器人臂杆的运动和所需要的驱动力或驱动力矩之间的关系，即当机器人的臂杆承受一定的载荷时，以一定的速度和加速度按照规定的轨迹进行运动，再根据机器人臂杆的运动过程来确定各驱动关节所需要的驱动力或驱动力矩[5].本研究根据回转型绿篱修剪机的结构特性采用拉格朗日动力学方法对其进行动力学理论分析[6]，建立拉格朗日动力学方程，为接下来对绿篱修剪机进行动力学仿真分析提供理论依据[7-8].

1.1 回转型绿篱机的结构

设计的六自由度回转型绿篱修剪机，原理是通过绿篱机各机构之间的升降、伸缩、回转等装置的联动实现末端圆盘修剪刀具在空间上的螺旋轨迹运动，完成修剪任务，结构如图1所示.

1：电动移动平台；2：固定方架；3：回转平台；4：伸缩电机；5：升降装置；6：升降电机；7：丝杆滑块；8：顶层伸缩外臂；9：旋转电机；10：底层伸缩内臂；11：刀具旋转马达；12：角度调节装置.1：Electrically moving platform;2：Fixed square frame；3：Rotary platform；4：Extension electric machine；5：Lifting and mounting；6：Up and down electric machine；7：Screw slider；8：The top layer extends the outer arm；9：Rotary electric machine；10：Bottom stretch inner arm；11：The knife and tools to turn the horse；12：Angle adjustment section mounting.图1 回转型绿篱机主体结构示意图Figure 1 Schematic diagram of the main structure of the transformed hedgerow

1.2 绿篱机系统动力学建模分析

由于该绿篱机具有多个移动关节和转动关节，若进行整体动力学析，计算分析较为复杂，所以本研究将绿篱机模型拆分为两个系统.如图2和图3所示.

选取竖直升降关节和水平移动关节作为机构的两个连杆，作为系统1进行动力学分析，如图1所示，分别用m1和m2来表示两个连杆的质量，用q1和q2来表示两关节的位移量.因为未涉及到转动关

图2 系统模型Figure 2 System model 1

图3 系统模型3Figure 3 System model 3

节，因此不需要考虑转动动能和转动势能.

由于q1和q2用来表示系统的广义坐标，因此该系统动能可用如下公式表达：

(1)

式中：mij：n×n的质量矩阵的第(i,j)各元素；qi,qj：系统的广义坐标和广义速度，=1,2,…,n.

由于该绿篱修剪机的两个关节只有位移没有旋转，所以角速度ω的雅克比系数为0，该系统的动能只与移动关节的位移速度有关，可知：

(2)

根据机器人拉格朗日动力学方程分析步骤对所选取绿篱修剪机的两个移动关节进行动力学方程建立，具体如下：

(1)连杆速度

由矢量积雅可比矩阵关系可知，两连杆重心的线速度分别为：

(3)

又因该绿篱机的两关节运动分别为竖直移动和水平移动，则根据式(3)及在两个方向上坐标关系可求出这两关节的雅可比矩阵，具体如下所示：

(2)系统的动能

该系统的总动能可表示为：

(4)

将上述求出的雅可比矩阵代入式(4)得：

(5)

(3)系统的势能

根据绿篱修剪机的结构可以发现，所选取的两个移动关节的质量m1和m2势能只与q1有关，可以得到该结构系统的总势能为：

P=gT(m1+m2)q1

(6)

式中：gT：重力加速度矢量，g=[gx,gy,gz].

(4)拉格朗日函数

首先根据上述求得的系统动能和势能以及拉格朗日定义可写出拉格朗日函数，继而根据拉格朗日函数写出系统的动力学方程.

由于已知该系统的拉格朗日函数为：

L=Ek-Ep

(7)

(8)

将上述求得的动能(5)与势能(6)代入式(8)得：

(9)

(5)拉格朗日动力学方程

由于已知该系统的拉格朗日动力学方程[9-10]为：

(10)

式中：L：拉格朗日函数(又称拉格朗日算子)；n：连杆数目；qi,qi：系统的广义坐标和广义速度；τi：作用在第i个坐标上的广义力或力矩.

(11)

对上式关于时间求导得该系统最终动力学模型为：

(12)

同理系统2由绿篱修剪机末端后三个自由度组成，包含两个转动关节和一个移动关节.由于旋转马达(关节1)与底层伸缩臂固定连接，即设传动比为1，旋转马达的转动惯量为J1，马达转动角度为θ1，马达扭矩为T，旋转马达相对于底层伸缩臂及其末端装置之阻尼为B，定义广义坐标为θ和r.

(6)系统总动能：

(13)

式中：Jv：底层伸缩臂线速度雅可比矩阵；r1：关节2的广义位移，r1为变量；r3：关节3的广义坐标，r3为常量.

(7)系统总势能

由于绿篱机回转马达在进行旋转时，质心不会变动，所以旋转马达的势能不会发生变化，则其他两个关节势能为：

关节2势能：

P2=gm1r1sinθ1

(14)

关节3势能：

P3=m2g(r3cosθ3+r2)

(15)

系统总势能为：

P=P2+P3=gm1r1sinθ1+m2g(r3cosθ3+r2)

(16)

式中：g：重力加速度.

(8)拉格朗日函数.

根据表达式(13)、(16)，可以得到拉格朗日函数：

[gm1r1sinθ1+m2g(r3cosθ3+r2)]

(17)

(9)系统动力学方程.根据方程式(18)，首先计算旋转关节1的力矩τ1：

(18)

则同样，计算绿篱机移动关节2上的作用力F2：

(19)

计算绿篱机末端角度摆动关节3上的力矩τ3：

(20)

2 绿篱机ADAMS动力学仿真

2.1 仿真模型的建立与导入

ADAMS软件具有很强的仿真分析能力[11-15]，但实体建模较困难，须通过三维建模软件如SolidWorks模块接口实现数据交换[16]，如图4为完成建模并导入的绿篱机模型.

2.2 施加运动副约束

为使导入的不同实体构件模型组成一个完整的机械系统，在设置好导入模型相关参数后，需要对绿篱修剪机模型利用添加约束来限制两个构件之间的相对运动[17-18].根据实际需要，本研究所设计绿篱修剪机主要用到移动副、固定副和旋转副，如图5所示，具体这三种运动副约束在ADAMS绿篱修剪机模型中添加的位置情况如下：

图4 导入ADAMS中的绿篱机模型Figure 4 Import the hedgerow machine model in ADAMS

(1)固定副.根据对所设计绿篱修剪机模型的分析，由于路基和移动底盘车之间、路基与大地之间、旋转电机与伸缩臂之间以及固定方架与移动底盘车之间没有相对运动，需要在两构件之间设置固定副，因此综上共建立4个固定副.

(2)移动副.由于整个绿篱修剪机系统具有多个移动关节，包括竖直升降关节、两个水平移动伸缩臂关节，因此在竖直升降关节与伸缩臂之间、两个伸缩外臂与内臂之间设置移动副，共需要3个移动副.

(3)旋转副.所设计的绿篱修剪机具有3个旋转关节，包括回转平台与固定方架之间、旋转电机与底层伸缩臂之间以及角度调节装置的角度摆动，总计需要3个旋转副.

图5 添加约束后的绿篱修剪机模型Figure 5 Model of the hedgerow trimmer after adding constraints

2.3 施加驱动及设置驱动函数

在ADAMS/View中，在模型上定义的驱动就是对运动副上未约束的自由度继续进行约束，再按照规划好的轨迹进行运动，一般是在运动副上添加驱动[18-19]，本研究在绿篱修剪机模型上已经添加的运动副约束的基础上施加驱动，当完成指定轨迹运动时，需要通过施加的驱动上设置各活动关节驱动函数来控制关节运动轨迹.

以修剪成半径600 mm的球状绿篱作为仿真目标，使末端修剪刀具通过各个关节的联动从而在球形表面上完成运动轨迹.如上图6所示为选取的一段1/4圆弧轨迹，设O为末端刀具修剪圆弧起始点坐标(0,0)，L为旋转中心轴线，P为末端刀具修剪圆弧终止点坐标(-600,600)，则刀具的末端轨迹运动可表示为圆的轨迹：

(x+600)2+y2=6002-600≤x≤0,0≤y≤600

(21)

图6 圆弧轨迹运动示意图Figure 6 Schematic diagram of arc trajectory motion

由上式(6～22)圆弧轨迹可分别表示x、y方向上也就是伸缩和升降关节的位移关于时间的函数方程为：

(22)

式中：t：初设完成球形轨迹的仿真时间.

其中，圆弧轨迹可分别表示x、y方向上也就是伸缩和升降关节的位移关于时间的函数方程.由上式(22)的轨迹曲线随着仿真时间t的变化可分别求出底层伸缩臂和升降装置的水平及竖直位移变化量.对于末端角度调节装置的驱动函数方程求解方法，则先求出圆轨迹方程曲线的斜率为：

(23)

将上述x(t)代入上式(6-24)中可得：

(24)

接着，再求该斜率的反正切，原因是刀具末端始终与圆弧面相切，角度调节关节角度与圆弧面斜率所对应的角度在0°～90°变化，由此得到所对应的角度变化值为：

Δθ=arctan(y(t))0≤t≤15

(25)

通过上式(25)可以得到摆动关节的角度变化值，当t=0时，Δθ≠0，则需要用90deg渐变的角度去调和，使它从0开始变化.

由于采用ADAMS软件在完成实际球形轨迹仿真过程中，回转平台和上层伸缩臂分别起到定位和使末端修剪装置到达待修剪绿篱中心位置的作用，所以在这两个活动关节所添加的运动副约束上不施加驱动.只需施加4个关节的驱动函数.根据上述圆弧驱动函数方程式的理论推导在ADAMS中输入关于时间的驱动函数.以下是进行球形轨迹运动仿真的各关节驱动函数.设置各关节的驱动函数如下所示.

(1)竖直升降装置的驱动函数.abs((600+211.366 082 571 8)*sin(pi/30*time))-700

(2)回转关节的驱动函数.3 600d*time

(3)底层伸缩臂的驱动函数.(600+211.366 082 571 8)*cos(pi/30*time)-600-211.366 082 571 8+(600-309.136 489 083 2)

(4)角度摆动关节的驱动函数.-arctan(-(600*cos(pi/30*time))/(sqrt(600**2-(600*cos(pi/30*time))**2)))-90d

3 绿篱机末端球形轨迹仿真

设置各关节驱动函数后，开始进行仿真控制[20]，设置仿真时间为t=15 s，运行通过各关节的联动完成球形技术指标的螺旋轨迹运动如下图7所示.

图7 球形螺旋轨迹仿真示意图Figure 7 Schematic diagram of spherical spiral trajectory simulation

ADAMS有针对仿真后处理的相应模块，在对绿篱机末端球形轨迹仿真计算之后，就可以对各运动副上的位移、速度、加速度、作用力和作用力矩等数据进行处理.

图8 竖直升降关节驱动时间-速度、加速度及位移曲线Figure 8 Driving time-velocity,acceleration and displacement curves of vertical lifting joint

竖直升降关节主要由丝杆、电机驱动、丝杆滑台等装置组成.升降装置末端连接处承受主要载荷，在实际绿篱修剪工作过程中主要作用是对绿篱植物螺旋运动修剪时，调节上下高度的变化.如上图8所示.在整个仿真运行过程中，自底向上沿着+Z方向进行移动，升降关节的最大速度为85 mm/s，随着时间变化，其升降速度逐渐变慢，但最后几秒进行顶部修剪时速度保持恒定直到修剪结束；升降关节加速度随着修剪时间的推移，逐渐变小，在最后顶部修剪时的加速度为-9 mm/s2；修剪机在修剪绿篱时自下而上，由图可知升降关节的位移从下到上，最后修剪顶部时的位移达到接近100 mm.

底层伸缩臂是当在修剪半径不一的曲面绿篱时，起到调节半径大小的作用.如图9所示为底层伸缩臂关节的驱动时间-位移曲线变化图，伸缩机构做变幅变周期的往复运动.0～8 s表示为Y轴负方向位移变化；当仿真进行到8秒时，位移变化为0，表示伸缩位移回到导入ADAMS中模型的初始位置；8～15 s表示伸缩臂的位移量沿着Y轴正方向不断增加.

图9 底层伸缩关节驱动时间-位移曲线Figure 9 Driving time-displacement curve of the bottom telescopic joint

图10 旋转关节及角度摆动关节驱动时间-扭矩变化曲线Figure 10 Driving time-torque variation curves of rotatory and angular swing joints

图11 角度摆动关节驱动时间-角速度变化曲线Figure 11 Variation curve of driving time and angular velocity of angular swing joint

4 结论

对设计的回转型绿篱机结构的动力学模型理论进行分析，并在ADAMS软件中进行虚拟样机的仿真分析.首先，将绿篱机结构拆分为两个系统结构，采用拉格朗日动力学建模方法对其进行动力学研究，构造拉格朗日函数，再将其带入拉格朗日方程式得出动力学方程，可以计算出旋转关节的力矩、移动关节的作用力、末端角度摆动关节的力矩，可根据各关节驱动力或力矩，求解计算机构的运动位移、速度及加速度曲线关于时间函数的曲线关系.最后，以修剪成半径600 mm的球状绿篱作为仿真目标，仿真时间为15 s，设置各关节的驱动函数，通过ADAMS实现虚拟样机球形轨迹运动，从得出的曲线图中可知升降关节的最大速度为85 mm/s，速度随着时间的增长逐渐变慢，在修剪顶部时则保持恒定，在最后顶部修剪时的加速度为-9 mm/s2，位移达到接近100 mm，伸缩机构做变幅变周期的往复运动.验证绿篱机的运动可行性，检查运动并无干涉问题，测量观察各驱动关节的曲线数据.