卫星变轨问题的情境模型建构与参量研究

福建

卫星变轨问题是以处于圆形或椭圆形轨道上环绕中心天体运行的卫星在受外界因素(如力、光压等)影响下而产生偏离轨道现象为情境载体，设计试题主体和问题，研究其动态规律、参量变化和定量分析等相关内容。对比卫星稳定环绕问题情境模型，变轨问题具有相似又有差异的动力学特性，同时又涉及不同轨道动态变化规律，两者即有联系又有区别，同时又结合了圆周运动、牛顿运动定律、离心运动、功能关系、动态分析等数学、物理学知识，具有一定综合性试题特征。变轨问题的模型建构和试题编制理念体现物理学源于生活又服务于生活，注重技术和社会、经济的联系，注重知识应用的学科思想，强化了知识、技能和素养的有效结合，因此万有引力部分一直是高考热点和难点。本文针对卫星变轨情境模型进行可视化建构和梳理，希望对系统理解变轨问题能有帮助。

一、卫星变轨模型可视化建构分析

1.外力驱动渐变式变轨模型

外力驱动渐变式变轨模型是指卫星在外界某种因素如大气阻力、其他天体的引力、光压等作用下使其缓慢偏离原稳定轨道而发生的变轨现象。在渐变式变轨问题中，卫星是向高轨道变轨还是向低轨道变轨取决于除万有引力以外的其他外界力对卫星运动来说是阻力还是动力，阻力对原轨道上卫星产生阻碍作用(图1)，使万有引力大于该轨道运动所需的向心力，卫星逐渐向中心天体靠近；动力对卫星产生促进作用(图2)，轨道运动所需的向心力大于万有引力，卫星发生离心运动向高轨道偏离。

图2

2.内力驱动突变式变轨模型

内力驱动渐变式变轨模型是指由于技术上的需要，人为在卫星内部短时间启动卫星发动机产生作用力使卫星的速率发生突变，产生变轨现象最终到达预定轨道。

(1)初始轨道与预定轨道共面型

图3

(2)初始轨道与预定轨道不共面型

预定轨道与初始轨道不共面时(图4)，卫星最终在稳定预定轨道上绕中心天体运动的线速度v2与初始轨道的线速度v1之间存在不共线的矢量关系，初始轨道上启动发动机使卫星获得的附加速度Δv，调整原轨道环绕速度v1为预定轨道环绕速度v2，实现卫星在预定新轨道绕中心天体运动，此时v1、v2和Δv之间存在运动矢量关系，应根据平行四边形定则或三角形定则分析运算。

图4

二、卫星变轨模型的参量研究

1.内力驱动突变式变轨实施的参量研究

卫星由低轨道向高轨道实施变轨时，发动机向后喷气，其产生的作用力对卫星瞬间做正功促使线速度突然增大而做离心运动，此时卫星的机械能增加，在变轨过程中，由于只有万有引力对卫星做负功，卫星动能开始减小，引力势能增大，卫星机械能保持不变，因此预定轨道的机械能会大于初始轨道的机械能；卫星由高轨道向低轨道实施变轨时，发动机向前喷气，其产生的作用力对卫星瞬间做负功促使其线速度突然减小而逐渐向中心天体靠近，此时卫星的机械能减小，在变轨过程中，由于只有万有引力对卫星做正功，卫星动能开始增大，引力势能减小，但卫星的机械能仍保持不变，因此预定轨道的机械能会小于初始轨道的机械能。

2.不同轨道同一位置的参量研究

(1)加速度参量比较分析

图5

图6

(2)线速度参量比较分析

3.同一轨道不同位置的线速度比较分析

卫星在同一轨道绕中心天体运动的线速度变化规律与轨迹存在一定关联性。若轨迹为标准圆形轨道(图7)，万有引力始终不做功，线速度大小始终不变；若轨迹为椭圆形轨道(图8)，万有引力与线速度方向夹角会根据卫星运动位置变化而实时变化，万有引力会产生促进或阻碍卫星运动的效果，线速度会实时变化，由动能定理分析，远离中心天体过程，万有引力做负功，动能减小，线速度减小，靠近中心天体过程，万有引力做正功，动能增加，线速度增大，故近地点线速度最大，远地点线速度最小。

图7

图8

拓展点：近地点和远地点的线速度比较分析

4.卫星变轨过程的做功问题

卫星在不同轨道间实施变轨运动时，由于变轨过程万有引力是变力，可从动能定理分析万有引力做功的问题，根据始末位置的卫星动能变化判断万有引力做功的正负及计算做功的大小。

5.不同轨道环绕周期的比较分析

图9

6.同一轨道不同运行区域的时间比较分析

图10

三、典例剖析

【例1】理论研究表明，环绕地球运动的卫星，机械能与卫星的质量和轨道的半长轴大小有关，卫星质量越大，卫星机械能越小，轨道半长轴越大，卫星机械能越大。如图11所示，c为地球，a、b为两颗质量相同的卫星，围绕地球转动的轨道分别为圆和椭圆，两轨道共面，两条轨道相交于A位置，B为椭圆轨道的近地点，a卫星的轨道半径为R，b卫星的轨道半长轴为2R。关于这两颗卫星，下列说法正确的是

( )

图11

A.两颗卫星在A位置的加速度aa

B.两颗卫星在A位置的速率va

C.b卫星在近地点的速率有可能等于a卫星的环绕速率

D.两颗卫星的运行周期Ta

【点评】本题考查卫星在不同轨道同一位置、不同轨道不同位置和同一轨道不同位置的加速度、线速度和周期参量的比较问题，解题关键在于了解不同卫星环绕模型的原理与关联，结合牛顿运动定律、圆周运动参量关系、功能关系和开普勒第三定律综合分析。

【例2】2020年7月22日，中国火星探测工程正式对外发布“中国首次火星探测任务宇宙飞船“天问一号”着陆平台和火星车”。7月23日，宇宙飞船“天问一号”探测器在中国文昌航天发射基地发射升空。宇宙飞船“天问一号”从地球上发射到与火星会合，运动轨迹如图12中椭圆所示。飞向火星过程中，只考虑太阳对宇宙飞船“天问一号”的引力。下列说法正确的是

( )

图12

A.宇宙飞船“天问一号”在地球发射变轨瞬间，需要发动机点火加速

B.在与火星会合前，宇宙飞船“天问一号”的加速度小于火星公转的向心加速度

C.宇宙飞船“天问一号”经过与火星会合位置的速率等于火星经过会合位置的速率

D.宇宙飞船“天问一号”飞向火星过程中的机械能小于与火星会合后的机械能

【例3】航天器回收的“跳跃式返回技术”指航天器在关闭发动机后进入大气层，依靠大气升力再次冲出大气层，降低速度后再进入大气层。这种复杂的回收技术我国已经掌握。图13为航天器跳跃式返回过程示意图，大气层的边界为虚线大圆，已知地球半径为R，d点到地面的高度为h，地球表面重力加速度为g。下列说法正确的是

( )

图13

A.航天器从a到c运动过程中一直处于完全失重状态

C.航天器在c点的动能大于在e点的动能

D.航天器在a点机械能大于在c点的机械能

【点评】本题综合卫星变轨和曲线运动两个知识点研究卫星变轨过程的动力学和功能问题。通过轨迹的弯曲方向可以判断合力和加速度方向，从而确定“嫦娥五号”处于超重状态还是失重状态；根据牛顿第二定律，结合GM=gR2求出d点的加速度；“嫦娥五号”从a点到c点，万有引力不做功，阻力做负功，根据动能定理比较a、c两点的速率及机械能的大小；从c点到e点，航天器不受空气阻力，机械能守恒，速率大小相等。本题的解题关键在于知道卫星在大气层中受到空气阻力作用，在大气层以外不受空气阻力作用，结合动能定理、机械能守恒定律分析不同区域的速度变化情况。

综合来看，卫星变轨问题模型分析的难点聚焦在以下两点：(1)天体运动实体轨迹的模拟还原：天体运动与一般物体的运动存在一定的差异性，又无法进行直观感知，对于学生来讲，天体运动的现象和规律的研究仍侧重于抽象化理解，如何利用静态或动态的可视化数据或图示组合表征天体运动，形成能够直接作用于人感官的外在视觉表象，从而降低对天体现象或规律的认知维度，是破解天体运动问题的关键环节；(2)通过不同运动轨道的差异性对比分析：环绕天体由于初始运动条件的差异会形成圆形轨道和椭圆形轨道两类不同的环绕轨迹类型，两类轨道具有类似又有不同的动力学特性，需要学生从运动学、动力学、功能关系、轨迹的几何关系等视角进行综合对比研究，以提炼试题隐含的信息作为解题切入点。作为天体运动的重要实体模型，卫星变轨问题的模型建构与研究可以深刻理解知识在不同表征环境下的变异特征，引导学生更深入探寻事物的本源，完成知识的内化和应用，从而达到章节的教学育人目标。