改进的分数阶微分算法在图像增强中的应用

林雪华，陈雁冰

(1.福州职业技术学院阿里巴巴大数据学院,福建福州 350108， 2.福建技术师范学院电子与信息工程学院，福建福清 350300)

0 引言

图像处理领域中，图像增强是经常用到的一种处理，其目的是针对实际应用中的特定需求，对某些部位、特征进行突出显示，或是提升整体的清晰度、改善图像质量.常见的增强算法对同一幅图像整体使用统一的滤波模板，并未充分考虑图像中局部场景的差异化，因此容易造成处理后的图像存在局部失真[1].而在有些应用场景中，图像并非整体都需要被增强[2]，而只需要对某些区域细节或者特征要素进行选择性的局部增强.

分数阶微积分是近几年的研究热点，国内外学者投入大量精力进行研究并取得一定成果.康凯[3]为了去除椒盐噪声，引入分数阶微积分，利用图像的局部特征，对图像的噪声点、纹理和边界等区域进行分割，并针对不同的像素点，计算信息熵和梯度函数，使得去噪的同时能较好的保持图像边界和纹理信息.DaliaYousri[4]等人引入分数阶微积分算法来优化花粉传粉算法FPA的局部搜索能力，并应用于图像分割中.张涌，蒲亦非[5]等人，构造8个方向的分数阶图像增强模板，并证明分数阶微分图像增强方法比传统方法具有更好的增强效果.

结合当前热点算法以及图像增强中存在的问题，对图像中需要增强和不需要增强的区域可以引入图像的局部标准差和粗糙度来界定，对需要增强的区域可单独用对应的分数阶微分算子来处理，而微分阶次可根据图像的局部梯度模值来构造，从而实现图像增强在分数阶微分不同阶次的自适应.

1 改进的分数阶微分的定义

大多数场景中，区域图像的局部梯度模值越小，则说明该区域平滑的概率越大，需要增强的幅度就越小，对应增强的分数阶微分阶次也就应越小；相对的，若局部梯度模值越大，则表明该区域属于边缘纹理的概率越大，需要增强的幅度就越大，对应增强所用到的分数阶微分阶次也应越大[6].然而，除了处理中所关心的图像边缘外，噪声点较多的区域也拥有较大的梯度模值，因此，需构建一种方法将噪声和边缘区分开来.大多数图像中，图像边缘是光滑连续的，而噪声点是随机分布的，因此可以根据此规律，构建边缘和噪声判别函数，即公式(1).

(1)

其中，Iij表示中心像素点，neighbour(Iij)表示八邻域像素，若该中心像素为噪声，则两者的梯度绝对值只差大于阈值T；当两者的梯度绝对值小于或者等于阈值T时，则表示该中心像素点为图像的边缘.

图像的像素点灰度值相对偏移度量用图像粗糙度C表示；在纹理较丰富区域的C较大，在平滑区域的C较小[7]，如公式(2)所示，其中，σ为图像局部方差.

(2)

图像的分数阶微分阶次由局部梯度模值I、粗糙度f(C)以及熵H的变化，自适应地按一定的规律变化.根据局部梯度模值、粗糙度和熵三者的重要程度，设置加权系数k1、k2、k3，计算三者的加权求和，如公式(3).

f(|I|,C,H)=k1|I|+k2C+k3H
k1+k2+k3=1

(3)

综上所述，基于分数阶微分的改进函数具有指数函数的性质，在实数域内，当自变量增大时，函数的增强幅度也会随之增大，即公式(4).

v=(-1)p(eαf|I|,C,H-β)

(4)

2 滤波器的构造

二维图像信号f(x,y)在一定的条件下对于任一方向的分数阶微分都是可分离的，分别对8个方向上的数字图像进行分数阶微分算子的滤波处理，将信号f(x,y)的持续期[a,t]按单位间隔h=1等分，如公式(5)所示.

(5)

根据G-L定义，在x轴方向和y轴方向的自适应分数阶微分图像增强算子的表达式，如公式(6)、公式(7)所示.

(6)

(7)

R为分数阶微分值计算余项，即公式(8).

(8)

根据公式(7)和公式(8)写出该增强算子W中的滤波系数为公式(9).

(9)

自适应分数阶微分增强掩模算子W，如图1所示.

图1 改进的分数阶微分图像增强掩膜算子Fig.1 The Mask operator of image enhancement of improved fractional order differential

3 实验结果及分析

3.1 实验方法

选取大小为256×256的Camer图像作为原始输入图像.实验中，采用了直方图均衡、Butterworth低通滤波，Laplace算子、Prewitt算子、3*3中值滤波、传统的分数阶微分和本文的自适应分数阶微分对Camer图像进行增强处理，图像增强步骤如图2所示.

图2 改进的分数阶微分图像增强步骤Fig2 Image enhancement process of improved fractional order differential

各算法处理结果如图3所示；其中，Butterworth低通滤波截止频率为50 Hz，阶数为1，传统分数阶微分算法为5×5模板，0.5阶分数阶微分算子处理的增强图像.

图3 不同算法的增强结果Fig.3 Enhancement results of different algorithms

3.2 图像评价方法

图像的增强可以通过直观对比原始图像和增强后图像的直观视觉效果来判断增强后图像的好坏，也可以通过图像的残差图来判断增强图像的好坏.残差图是将增强后的图像的像素灰度值与原始图像的对应像素灰度值作差，可以更直观的观察算法对原始图像的哪些位置进行增强，残差图如图4所示.结合图3和图4 可以看出，直方图均衡化扩展了像素取值的动态范围，对整幅图像都进行了增强，但是图像背景较原图失真较大.Butterworth低通滤波过滤了大于50Hz的高频信息，使图像的边缘得到增强，但是出现明显的振铃效应.Laplace算子、Prewitt算子和3×3模板的中值滤波对图像的边缘信息增强幅度较大，但图像细节出现模糊现象.传统的分数阶微分算法虽然能够突出图像的边缘，对纹理信息保留也比较好，但对于人物的衣服边缘、相机架等信息增强过大，亮度的分布很不均匀.改进的分数阶微分图像保留了图像的低频部分纹理信息，同时还较好的增强了图像边缘信息，图像背景亮度得到较均匀提升.可以看出改进分数阶微分算子对整幅图像都有增强，并且不同的区域，增强强度不同.

图4 不同算法的图像增强残差图对比Fig.4 Comparison of image enhancement residual graph for different algorithms

除了对图像直观效果的评价，可以通过图像熵H进行分析.图像平滑区域的图像熵H较小，而纹理丰富区域的图像熵H较大.纹理较丰富区域的像素值相较于平滑区域的像素值变化较大,熵H的表达式如公式(10)所示.

(10)

其中，pij为图像像素Iij出现的概率；n∈2k，k∈Z+.

在图像增强过程中，若局部图像的图像熵H较大，则表示该区域边缘或者纹理信息较丰富，该图像具有较大的增强幅度；反之，熵H较小，则表示该区域包含的边缘或者纹理信息较少，该图像增强幅度较小.表1为增强图像的熵值对比，可以看出后五种增强算法处理后的图像熵值较原始图像均有不同程度的提高，其中，传统分数阶微算子和本文改进算法熵值提升程度更大，边缘和纹理信息更丰富.

表1 不同算法的对比Tab.1 Comparison of different algorithms

4 结论

本文针对传统分数阶微分算法在图像增强中采用统一模板进行整幅图像进行增强的特点，对分数阶微分进行改进，引入图像的区域特征局部标准差和粗糙度，进行自适应计算，得出不同区域的增强算子，从而实现图像的自适应增强.该算法增强边缘和纹理的同时，能够更好的保留图像的细节信息.通过与若干算法的增强效果对比，证明该算法具有优良的特性.