“信号与系统”中时空域思想的重要性与教学渗透

杨梅

[摘 要] “信号与系统”课程是电子信息类学科各专业的重要基础理论课，具有信息量大、理论性强、数学公式繁杂等特点，学习难度较大，教学难度也较大。为了使学生对课程内容有更清晰的认知，提高教与学的效果，阐述了时空域思想在本课程授课过程中的重要性，并通过具体的时域物理过程、空间域物理过程等实例，详细讲述了如何将本课程的知识点与时空域变化的物理过程相结合的教学方法，并指出该思维可以推广渗透到其他物理变量中。这种教学方法能够有效地促进学科交叉与融合，让学生对专业知识的系统性和体系性有更深入的理解。

[關键词] 信号与系统;时域思想;空间域思想;物理过程

[作者简介] 杨 梅（1985—），女，山东临沂人，博士，南京邮电大学通信与信息工程学院讲师，主要从事电磁场与电磁波、微波技术与天线等研究。

[中图分类号] G642.0    [文献标识码] A     [文章编号] 1674-9324（2021）13-0159-04     [收稿日期] 2021-02-04

一、引言

“信号与系统”课程是电子信息类学科各专业的基础理论课，具有信息量大、理论性强、数学公式繁杂等特点，对学生的数学基础要求高，学习、教学难度也大。同时其也是一门开放性的基础理论课程，每一部分内容都可以根据专业需求进行深化和扩展，在整个本科教学环节中具有承上启下的作用。因此，研究和改进“信号与系统”课程的教学方法，对学生的本课程学习和后续专业课程学习具有积极的意义[1] （P1-77）。

二、信号与系统是认识物理世界的方法

“信号与系统”课程主要包括信号分析与系统分析两部分。

信号是信息传递的载体，是描述物理变化的一种物理量。信号分析的基本出发点在于分解和线性叠加思维，化繁为简，分而后合。“分”即为信号的分解，将复杂的信号分解为一系列典型的简单信号，对复杂信号的分析处理就转化为对简单信号的分析处理。“合”则为信号的线性叠加合成，将分解得到的简单信号或者简单信号的响应进行线性叠加，将得到复杂信号或复杂信号的响应。因此，通过研究基本简单信号的特性和信号的线性组合关系，就可以实现对复杂信号的特性分析。

系统分析的主要任务是在已知系统的数学模型与输入信号的前提下，求得系统的输出响应信号。而要分析一个系统，首先要建立描述该系统基本特性的数学模型，然后用数学方法进行求解，并对所求得的结果做出物理解释，赋予物理意义。激励信号作用于系统产生响应信号，因此对系统的分析方法和对信号的分析方法是一致的。从这个意义上来说，“信号与系统”课程是认识和分析物理世界的一种方法，信号与系统思维就是一种世界观和方法论，涵盖了“任何复杂事物是由简单事物组成的，客观认识事物的基础是全面观察分析事物”这一哲学方法论思想[2]。

因此，“信号与系统”课程的教学过程，如果更多地从实际物理过程出发，关注课程中数学公式背后所涉及的物理过程或者物理现象，将枯燥的公式和烦琐的推导与更容易理解和想象的物理过程相结合，既可以提高课堂教学的趣味性，又能吸引学生的注意力，从而提升教与学的效果[3]。

三、物理现象是时间域的过程

物理现象最基本最直观的体现是随时间变化的时间域过程，大部分的“信号与系统”课程教材都是从时域的角度开始讲起，因为时域分析的物理概念更加清晰，学生比较容易理解和掌握。

课程一般是由浅入深地引入时域分析的内容，而对一般信号x（t）作为激励的系统响应y（t）的分析，可以在冲激信号？啄（t）的系统响应h（t）已经求得的基础上，由卷积积分得到，如图1所示。因此，冲激信号是进行信号时域分析的基础[4] （P1-60）。

如果只在课堂上呈现知识点，让学生机械地记忆相关的定义和公式，后续授课内容多了，学生容易遗忘和混淆，而将某种随时间变化的物理过程贯穿到授课内容中，让学生对所学知识点都能找到印证，更容易理解和记忆课程知识。以冲激信号δ（t）为例，根据冲激信号的数学定义：

冲激信号是一个脉冲函数，脉冲面积为1，在t=0时刻函数的幅值为无穷大，而在t≠0时函数值均为零。因此，冲激信号可以视为一个强度甚大，但是作用时间很短，而作用效果有限的物理量的数学模型[1]。授课中可以举例说明，比如打羽毛球或者乒乓球时，球拍击球的力很大，而球拍和球接触的时间Δt极短，力和时间的乘积FΔt是击球的冲量，这是一个有限值。在理想情况下，击球的力趋向于无穷大而击球时间趋向于无穷小，二者的乘积仍为原来的冲量，这就是一个冲激函数。球被击飞之后的速度就可以视为球拍对球施力之后的响应。羽毛球或乒乓球被击飞后如果没有其他外力继续作用的话，球的速度会迅速下降最终变为零。从这个角度去思考零状态条件下冲激信号作用于系统之后的冲激响应h（t），就能更好地去理解系统的冲激响应为何是指数衰减的形式了。

“信号与系统”课程后续的频域、复频域、Z变换域分析，都是基于时域分析展开的，因此在实际物理现象或物理过程的基础上对时域分析进行讲解，使得学生对此部分内容有更深入的理解和掌握，对学生学好“信号与系统”这门课及了解其在后续专业课程中的应用，是非常有意义的。

四、物理现象是空间域的过程

物理现象是发生在时间和三维空间中的，因此物理过程同时也是随空间变化的空间域过程。从空间域的角度去分析信号与系统的特性随物理过程的变化，同样是一种直观的、本质的认识事物的方法。结合已经学习或者了解到的空间域的生动直观的物理过程，引导学生将所学的信号与系统知识内容进行空间域映射，使学生体会到所学的知识可以用来解决和解释很多实际的物理现象和问题，进一步加深对所学知识的理解和兴趣。

典型的一维空间变化的信号分析，如传输线理论，是微波电路设计和计算的理论基础，其与电路基础理论之间的关键差别是研究对象的电尺寸。传输线理论研究的是微波信号，其信号频率较高，电波长较短，因此，传输线的尺度可能为一个波长的几分之一或几个波长，在整个传输线长度内其电压和电流的幅值和相位都可能发生变化[5] （P42-51）。传输线理论中，沿z方向延伸的双线传输线上的电压和电流的行波解一般可表达为：

其中，γ=α+jβ为复传播常数，其实部α代表了信号在传输线上的衰减系数，而虚部β代表了信号在传输线上的相位变化速度，e-γz和eγz分别代表了沿+z方向传输的信号和沿-z方向传输的信号。在“信号与系统”课程内容中，典型的连续时间信号之一复指数信号的数学表达式为：

对比式（2）和式（3）可以看出，传输线上的电压和电流随一维空间z的变化，与“信号与系统”课程中典型的复指数信号随时间的变化形式是一致的。因此，在课程讲授过程中，可以将复指数信号的一般形式和各种特例对应的表达式，映射到传输线上传输的信号波及其物理解释中。这样不仅可以加深学生对复指数信号表达式的理解，同时也能让学生了解所学知识在实际工程中的应用。例如，式（3）中复指数信号的复系数实部如果为零，即信号变为f（t）=Ae，从数学表达式上来看，复指数信号变为等幅虚指数信号。如果将其映射到传输线理论中的信号波表达式（2）中，等幅虚指数信号对应为复传播常数的实部衰减系数时的α=0行波信号。衰减系数为零，则传输线是无耗传输线，而无耗传输线上传输的信号，其幅度不变，只有相位随传输距离而变化，这样就能更好地理解等幅虚指数信号对应的物理过程了。

电磁波的产生和传播，是一种典型的三维空间信号分析理论。在很多电子信息类学科的专业培养方案中，电磁场与电磁波是后修的学习难度较大的一门专业理论课，同时，电磁场和电磁波的基础内容，学生在高中物理中已有学习和接触，因此，在“信号与系统”课程授课中进行一定的反映，既可以使学生对所学课程知识有更深入的理解，对后续电磁场课程的学习也有一定的帮助。例如，图3所示的不同媒质分界面的斜入射的电磁波的分析理论，可以在“信号与系统”授课过程中讲解信号的分解叠加、线性时不变系统的对单频激励的响应等方面进行教学渗透。

在电磁场理论中，图2所示的平行极化波在斜入射到不同媒质分界面时，会产生平面波的反射和透射，在入射媒质1中的电磁场是入射波和反射波的叠加[6] （P153-187），其表达式为：

其中矢量为电磁波传播方向的单位矢量，矢量和矢量分别为电磁波传播方向的传播常数。由式（4）可以看出，电磁波信号是一种具有明显物理意义的信号叠加示例，媒质中的电场可以由具有不同传播方向的入射电场和反射电场叠加得到，同时振动方向在xoz平面的入射电场和反射电场，又都可以分解為x方向的分量和z方向的分量。将媒质内的电磁波信号进行空间变量分解，对分解后的信号分量可以进行严谨的数学分析，从而得到清晰的物理规律。在“信号与系统”授课中，相对于时间变量的分解叠加思维，空间变量分解和叠加思维通常没有受到重视。实际上对于我们周边的各种信号而言，时间变化往往伴随着空间变化，尤其是在电磁波的传播过程中，空间变化是更形象、更明显的变化，同时，电磁波的空间分解过程是建立在线性系统和线性方程的基础上的，有着坚实的物理基础和严谨的数学分析过程。因此，在“信号与系统”课程的授课中，将电磁场的空间变量的分解叠加思维渗透到教学中信号的分解叠加讲解中，是奠定学生良好工程思维的一种途径，能够有效地促进学科交叉与融合，形成系统的知识架构，取得更好的授课效果。

图2描述的平面波的斜入射理论，还可以在讲授连续时间系统的频域响应时进行举例渗透。在用傅里叶变换分析法对线性时不变系统进行频域分析时，其单元信号是虚指数信号ejωt，大部分非周期信号都可以分解为一系列虚指数信号的叠加。虚指数信号作用于线性时不变系统时，其零状态响应为同频率的虚指数信号。这一结论也可以用平面波的斜入射理论进行举例印证。式（4）只是给出了电磁场的空间变化关系，在电磁场理论中，如果考虑瞬时电磁场的变化，则入射波和透射波的表达式可写为：

即正弦电磁波随时间变化的分量可以由虚指数信号进行描述。对比式（5）给出的媒质1中的入射电磁场和媒质2中的透射电磁场可以看出，透射电磁场的频率和入射电磁场的频率是一致的。也就是说，平面电磁波入射到媒质分界面并发生透射的空间变化过程中，这个系统的响应—透射平面电磁波，与系统的激励信号—入射平面电磁波，二者的频率是相同的，即这个物理过程对应的线性时不变系统不改变激励信号的频率。

因此，很多其他课程中的空间物理过程，可以作为示例在“信号与系统”课程的知识点讲解中得到体现，从而让枯燥的“信号与系统”课程知识，在学生眼中具有清晰的物理体现，辅助学生加深对所学知识的理解。

五、时空域思想对其他物理量的渗透

“信号与系统”课程的授课内容中，包括时域分析、频域分析和复频域分析等，这些知识点都是建立在数学基础上的，描述系统的模型，也都是基于数学公式的模型，因此，所有的授课内容都需要依据清晰准确的数学公式进行推导。而单纯地记忆繁杂的公式及其推导，授课过程枯燥无味。将实际的物理过程与“信号与系统”课程中的内容相结合，加深学生对所学知识的认识，是一种有效提高教与学效果的途径。

虽然我们的学习和生活中有更多的物理过程是随时间域和空间域变化的，将时空域思想渗透到“信号与系统”课程中是一种有效的教学手段，但是物理变量不一定是时间和空间，它可以是任意的一种变量，比如速度、颜色、明亮、热量等。例如，傅里叶变换中的变量t可以是时间，用在时域和频域的转换过程中，也可以是空间尺度，用在图像处理的过程中，而傅里叶分析最初是作为热过程的解析分析工具被提出的。但是无论傅里叶分析被用于哪个领域或者应用，其核心方法或者说傅里叶变换的表达式是固定的，万变不离其宗，这也是“信号与系统”课程之所以被称为电子类专业基础课程的原因所在。因此，将“信号与系统”课程的时域分析推广到时空域分析，进而推广到任意其他物理变量领域，这一教学思维对提升“信号与系统”课程的教学效果是非常有帮助的。

六、結语

本文阐述了将随时空域变化的物理过程融合渗透到“信号与系统”课程授课中的教学思维，具体讲述了如何将“信号与系统”课程的知识点与时空域变化的物理过程相结合的教学方法，并指出了该思维可以进一步推广渗透到其他物理变量中。这种教学方法将枯燥的课堂知识与形象的物理过程相结合，一方面能加深学生对所学知识的理解，另一方面可以使学生了解所学知识在解决实际问题中的运用，同时能够有效地促进学科交叉与融合，使学生形成更为系统的知识架构。

参考文献

[1]管致中，夏恭恪，孟桥.信号与线性系统[M].北京：高等教育出版社，2011.

[2]王正勇，熊淑华，吴晓红.《信号与系统》课程教学模式改革探析[J].创新创业理论研究与实践，2020（19）：110-112.

[3]李建华.浅谈“信号与系统”课程教学中的能力培养[J].电气电子教学学报，2016（6）：35-37.

[4]解培中，周波.信号与系统分析[M].2版.北京：人民邮电出版社，2020.

[5]David M.Pozar.微波工程[M].3版.张肇仪等，译.北京：电子工业出版社，2006.

[6]孙国安.电磁场与电磁波理论基础[M].2版.南京：东南大学出版社，2003.

Abstract： The course of Signal and System is an important basic theoretical course for all majors of electronic information. It contains large amount of information， a lot of theories， and complex mathematical formulas and so on， therefore it is difficult to learn and difficult to teach. In order to make students have a clearer understanding of the course content and improve the teaching effect， this paper expounds the importance of time-space domain thought in the teaching of Signal and System course and describes in detail how to combine the knowledge of this course with the physical process of time-space domain through specific examples of time-domain physical process and space-domain physical process. It points out that the time-space domain thought can be further extended to other physical variables. This teaching method can effectively promote the intersection and integration of disciplines， and enable students to have a deeper understanding of the systematization and the structure of the professional knowledge.

Key words： Signal and System; time-domain thought; space-domain thought; physical process