基于最大熵原理的联合风速风向概率密度函数建模方法

2021-05-27陈友慧

可再生能源 2021年5期

陈友慧，王淼，刘岩，高阳

（1.国网辽宁省电力有限公司经济技术研究院，辽宁沈阳110015；2.沈阳工程学院电力学院，辽宁沈阳110015）

0 引言

电力系统中的输电线路和输电杆塔由于受到风速和风向（即风载荷）长时间的直接作用，会产生倾斜、断裂、倒塌等事故。因此研究风速、风向的概率分布及其建模，对于输电线路、输电杆塔等一次设备的选型、参数设计具有重要的理论和实际意义。

传统上对于风速、风向的概率分布有三类研究思路。第一类研究主要侧重于风速的概率分布模型，如威布尔概率分布及其改进方法[1]～[4]、瑞利概率分布及其改进方法[5]、极值概率分布及其改进方法[6]，[7]、高斯概率分布及其改进方法[8]、帕累托概率密度分布、正态分布、Gamma分布、GEV分布、最大熵分布等[9]。第二类主要侧重于风向的概率分布。文献[10]，[11]得到了风向服从高斯分布的研究成果。文献[12]～[16]提出了风向服从不同时间级，如秒级、分钟级、小时级的概率密度函数，但并没有深入给出各个时间级的概率密度函数。

第三类研究是在建立风速概率密度分布模型的同时，建立风向的概率密度分布模型。文献[17]指出，忽略风向将会低估建筑结构的疲劳损伤。文献[18]，[19]从结构顶部加速度响应的均方根值表征的近似解析表达式，提出了风速风向联合分布的概率模型。文献[20]，[21]基于Copula函数和帕累托混合模型，提出了多风向极值风速估计方法。文献[22]～[24]提出了风向频度概率分布，并通过与风速条件概率分布、谐波函数、对数正态分布联合，提出了风速风向联合概率密度分布模型。文献[25]，[26]基于最大熵原理，建立了极值风速的Gumbel分布和风向的二阶混合von Mises分布的联合概率密度函数。

目前，对于风速、风向概率密度的研究没有经过最大熵原理单独、综合的检验，因而与实际仍然具有一定的偏差。对此，本文将最大熵原理应用至风速、风向概率密度推导，继而演绎至风速风向联合概率密度分布。

1 基于最大熵的风速概率密度

1.1 最大熵原理

最大熵准则：通常情况下，随机变量的概率分布一般只能测得其某种均值（如数学期望、方差等）或已知某些限定条件下的值（如峰值、取值个数等）。符合上述值的分布可能存在多种，而其中一种分布的熵最大。选用这种具有最大熵的分布作为该随机变量的分布，是一种有效的处理方法和准则。最大熵原理用数学模型表示为

式中：x为随机变量；p（x）为随机变量的概率密度；S（x）为熵值；αn为p（x）的N阶原点矩；N为一个较大的正整数。

1.2 最大熵风速概率密度函数

为了获得最大熵原理下的风速概率密度函数，设某时刻风速为vt，其对应的风速概率密度函数为p（vt），将其表示至式（1）中可得：

为了求解式（2）的最大值，通常联合约束条件构造拉格朗日函数：

式中：λ0，λ1，…，λn为拉格朗日乘子。

当式（2）获得最大值时，式（3）中的拉格朗日函数导数为0。对式（3）进行求导可得：

式（6）即为最大熵原理下的风速概率密度分布模型。其中还存在拉格朗日乘子λ0，λ1，…，λn，可以对式（3）求偏导获得：

式（7）等式左边为仅含有拉格朗日乘子的待求量，右边αi为概率密度函数p（vt）的N阶原点矩，可以通过采集样本计算得到，下面给出计算原理。

根据概率论可知，风速的概率密度分布在其变量范围内积分为1，即：

由式（11）可以看出：等式左边存在λ0，λ1，…，λn未知数；右边是通过实际测量地采集样本的N阶原点矩，可以采取M（M＞N）次测量获得M个量测方程，采用最小二乘法予以求得。

1.3 最大熵威布尔风速概率密度函数

将风速现有研究成果与实际风速进行检验，普遍认为风速服从威布尔分布，模型为

式中：η为比例系数；k为形状参数。

本文基于式（12）的威布尔风速分布，在最大熵风速概率密度分布基础上，提出基于最大熵和威布尔分布的风速概率密度函数p（v）。

式中：v为风速；函数f（v，η，k）为式（12）中的威布尔概率分布。

2 高阶米塞斯风向概率密度函数

我国有专门的气象预测站预报风向，对于陆地的风向预报一般采用圆上的16方位表示，而海面上的风向预报一般采用圆上的36方位表示。对于圆上的风向连续概率分布模型，在统计学中一般采用冯米塞斯分布（Von Mises Distribution）（又称为圆周正态分布），通过采集连续的16方位中的风向数据拟合概率密度函数。严格来说，圆周可以均匀划分为无限个，那么根据多阶混合冯米塞斯分布可得概率密度函数为[16]

式中：f（θ）为风向概率密度函数，以圆周上的风向角度θ为变量；N为混合冯米塞斯分布的阶数；μi为风向所在的位置；κi为冯米塞斯分布的比例放大参数，κi≥0；ωi为混合冯米塞斯分布的各阶权值。

参数κi和μi的计算式分别为[27]

目前已有的研究主要取式（14）中的低阶，比如3阶、4阶、5阶等，一般不超过5阶。式（14）中的阶数越高，模型精度越高，通常取决于风向概率直方图的峰值数[27]。一般风向概率直方图的峰值数至少有两个，为了高精度地拟合风向概率分布，本文采取6阶混合冯米塞斯分布，即式（14）中的N=6。

3 风速风向最大熵联合概率密度函数

3.1 风速风向联合概率密度函数

风速风向联合概率密度实际上就是将风速概率密度、风向概率密度依据相关性原理进行表达。

式中：f（v，θ）为风速风向联合概率密度函数；Δθ为圆周上划分的风向角度的间隔。

由式（17）表示的风速风向联合概率密度函数具有一定的假设前提，比如假设风速、风向具有相对独立性，同一风向的风速概率密度相同等，因而缺乏最大熵的检验和校正。

3.2 风速风向最大熵联合概率密度函数

基于前述最大熵原理，可以推导获得风速风向的联合概率密度函数f（v，θ）[28]。

式中：ζ为角度；g（ζ）为ζ的概率密度函数；F（v）为风速的概率分布函数；F（θ）为风向的概率分布函数。

4 算例分析

我国多个地区常年受大风天气影响，对电网输电线路和杆塔等一次设备造成极大的冲击。对此，东北电网已经建成了国内较大型的风电场测风站，用于观测风速和风向。本文选用东北电网中某大型风电场间隔10min连续5 a的50m高度测风塔获得的风速、风向测量数据，所有数据均已经转换为标准值，2017年3月观测的部分风速数据如图1所示。风向采用16个风向方位，为了验证本文提出的高阶米塞斯概率密度，需要18组风向数据，对此采用二次数据插值技术获得18方位风向数据，如图2所示。图中以0～360°划分方向，原16风向是在0～90°，90～180°，180～270°，270～360°之间分别插入3个方向，构成16方向图，而本文是在此16方向中任意插入2个方向，形成18方向。