一种简化的基于互相关算法的帧同步处理方法

刘 明

（中国电子科技集团公司第十研究所，四川 成都 610036）

0 引 言

在数字通信中，同步按类型可分为载波同步、码元同步（位同步）、帧同步以及网同步。其中，帧同步作为一个重要的环节，在数据传输过程中起着非常重要的作用[1-3]。对于实时性要求比较高的场合（例如卫星数字通信），帧同步多采用集中插入法将一组特殊码字序列周期性的插入到每帧数据的最前端，利用这组特殊码字序列（帧同步码序列）的有关特性完成帧同步码检测。在完成载波同步和位同步的基础上，从解调器输出数据中寻找帧同步码序列的过程被称为帧同步处理。帧同步处理不仅需要正确标记出每帧数据的起始位置，即完成所谓的帧同步检测，而且需要根据本地帧同步码序列的形式解除因鉴相器相位不确定性导致的数据相位模糊。当数字接收机面临恶劣工作环境时，帧同步处理性能的优劣直接决定后续译码的结果。因此，如何正确快速地实现帧同步处理对数字通信至关重要。

当已知帧同步码序列时，帧同步检测实际上就是一个码序列已知而出现时刻未知的检测问题。针对此类问题，现有实现帧同步检测的方法有最优似然比检测、广义似然比检测以及相关检测方法。文献[4]给出了加性高斯背景下多进制相移键控（Mary Phase Shift Keying，MPSK）调制方式下最优似然比检测形式，并采取一些近似方法简化最优似然比检测的形式。文献[5]在帧同步码序列已知条件下提出一种修正的基于似然比检测的帧同步检测方法，需要根据实际应用环境选择不同的检测器形式，以便获得相对最优的检测结果。文献[6]在加性高斯噪声背景下对比了帧同步最优似然比检测、广义似然比检测以及相关检测的检测性能。

与基于似然比类的检测方法不同，相关检测方法因形式简单，在实现帧同步处理方面也获得广泛应用[7-9]。帧同步相关检测算法利用帧同步码序列的相关特性进行能量累积，当累积后的能量大于某一阈值时，检测器就认为检测到了帧同步码序列。根据参与相关计算的数据类型，相关检测算法可以分为两种。一种是以帧同步码序列自相关为基础的延迟相关算法，该算法在含有载波偏移时仍具有非常好的检测特性，但在低信噪比和多经信道下，自相关函数在峰值附近缓慢衰减，不能准确给出帧同步码序列的起止点。另一种是采用本地帧同步码序列的互相关算法，该算法对应的相关函数具有尖锐的单峰特性，能准确给出帧同步码序列的起止点，具备抗噪声和多径的能力，但在含有载波偏移时其性能受到限制。针对存在载波偏移的应用场景，文献[10]提出一种相关窗分隔的相关检测方法。

不管是哪种相关检测算法，选取的帧同步码序列的特性在一定程度会影响到帧同步性能的优劣。一般来讲，选取帧同步码序列应具有明显的单峰相关特性。常见的可以用来作为帧同步字码序列有巴克码、Heuman-Hoffman序列、m序列以及Gold序列。结合这些码型的特性，国内外学者在这方面做了许多研究工作。文献[11]通过设计一种具有置换特性的帧同步码序列，提高传统帧同步相关检测方法在频分复用系统中的性能。文献[12]选取了巴克码与优选48比特同步序列的扩展序列作为帧同步码序列，提出一种极低信噪比下二次相关检测算法。文献[13]在m序列的帧同步码未知条件下，利用m序列的偏三阶相关函数的特性实现帧同步码的识别。这些方法多侧重于判断接收的数据中是否存在帧同步码序列和帧同步码序列的确切位置，很少考虑接收数据存在的相位模糊。

在实际卫星数字通信中，帧同步处理不仅完成了帧同步检测，而且解除了数据中存在的相位模糊，恢复了数据应有的数据形式。目前工程应用中使用的帧同步处理方式有两种，如图1（a）、（b）所示。原始的比特流序列依次经过映射、调制、信道传输和解调等处理后，最终得到解调器输出信号I1和Q1。

图1 两种常见帧同步处理方式

在图1（a）中，帧同步处理采用比特匹配法检索帧同步码字序列，利用解调器输出数据经解映射后的数据与帧同步字序列的异或结果判断数据中是否存在帧同步字序列。这种帧同步方法需要遍历数据中所隐含的相位模糊，帧同步建立时间相对较长。在图1（b）中，帧同步处理采用本地帧同步码序列的互相关算法检索帧同步字序列，利用解调器输出数据与帧同步字序列经映射后数据的复相关结果，同时完成帧同步检测和数据相位的解除，帧同步建立时间相对较短。对于较长帧序列的帧同步检测情形，采用图1（b）方法对应的帧同步建立时间要明显少于采用图1（a）方法对应的帧同步建立时间。

本文采用本地帧同步码序列的互相关检测算法，以m序列为帧同步码序列，依据向量之和的模平方不大于向量模平方之和的结论推导了MPSK调制方式下帧同步相关检测算法取得最大值的上界，同时给出计算数据相位差的估计算法。鉴于算法工程应用的复杂性，对上述算法进行了简化。

1 信号模型

在通信系统中，调制器将二进制比特向量b=[b0,b1,…,bm-1]映射到星座图上的符号，其中m表示与一个符号对应的比特数目。对于MPSK调制方式，其星座图是由均匀分布在某个圆上的星座点构成，并且这些星座点对应符号的取值都是复值，可以描述为：

式中，R既表示圆的半径也表示符号的强度；j表示虚数单位；M表示均匀分布在圆上的星座点数目；θ表示星座点的初始相位。例如在第二代卫星数字电视标准中，正交相移键控（Quaternary Phase Shift Keying，QPSK）和8移相键控（8 Phase Shift Keying，8PSK）星座图分别对应式（1）在M=4且初始相位为π/4与M=8且初始相位为0的情形。

经过调制、信道传输、成型滤波、采样和量化等处理过程，最终得到解调器的输入信号。假设载波信号和定时信息完全可以正确恢复，那么解调器输出的最终信号形式为：

式中，A表示信道增益；φ表示因解调时鉴相器不确定性导致的相位差；wk表示均值为0、方差为σ2的复白高斯分布随机变量；|·|表示取模运算；αk表示相位。

2 m序列定义及产生

m序列是最长线性反馈移位寄存器的简称，它是由带线性反馈移位寄存器产生的周期最长的序列。图2为n级线性反馈移位寄存器网络的原理图。

图2 线性反馈移位寄存器原理

假设当前移位寄存器的状态为An-1An-2…A1A0，经过一次移位后，移位器左端得到新的输入An。由图中连接关系可知：

式中，mod2表示模2运算；ci表示反馈线的连接状态（ci=1表示参与反馈，ci=0表示不参与反馈）。将n个系数组成的向量c=[c0,c1,…,cn-1]称为线性反馈移位寄存器的特征多项式，当特征多项式为既约多项式时，此时的线性反馈移位寄存器末端的输出即为m序列。

除此之外，m序列具有较好的均衡性和自相关特性。在m序列的一个周期中，“1”的个数比“0”的个数多一个。自相关函数具有显著的单峰特性，在0偏移时取得最大值1，其余各点取值为其周期的倒数的相反数。

3 互相关检测方法

互相关检测算法通过计算本地帧同步码序列映射信号和解调器输出信号的互相关函数，由互相关函数的极值和取得极值时的两组信号的相位差分别确定帧同步码字的确切位置和发送数据与接收数据之间存在的相位差。根据相位差调整解调器输出信号的相位，从而在实现帧同步码序列检测的同时解除数据中的相位模糊。

假设完整的一帧数据映射后是由N个符号构成，其中前L个符号与帧同步码序列相对应（这里假设帧同步序列位于每帧数据的起始位置），剩余的N-L个符号与传输的数据相对应。此外，假定传输数据对应的这些符号均匀分布在星座图上。定义集合{s0,s1,…,sL-1}表示本地帧同步码码序列经MPSK调制方式星座映射后的复信号序列、集合{r0,r1,…,rN-1,}表示解调器接收端收到任意一组长度为N的复信号序列，那么互相关检测算法可以表示为：

4 实验结果与性能分析

为了验证简化后相关检测方法和相位估计方法的有效性，采用仿真的方法对比了简化前后两种方法的性能。理论上，对于低阶MPSK调制方式，简化前后统计量具有相同的形式，故这里以文献[14]中定义的8PSK调制方式为例进行实验。实验中用到参数设置如下：帧同步字序列经映射后的复信号长度分别设置为L=16、32、48、64，数据对应的符号长度为4 096，相关检测门限设置为L点功率之和的1/2，每种参数设置条件下发送数据帧数目为500 000个。

首先分析了不同条件下简化前后两种相关检测算法的漏检概率和虚警概率。作为帧同步性能的重要指标，经常会使用漏检概率和虚警概率分析其性能。其中，漏检概率是指判决器遗漏接收序列中真实帧同步字序列的概率，虚警概率是指判决器错误地将数据序列误认为帧同步字序列的概率。两种相关检测的漏检概率如图3所示。

相同符号长度条件下，两种相关检测器仅存在细微的差异。符号长度越长，漏检概率越低。当符号长度大于32时，漏检概率几乎都小于0.01。当此时的帧同步处理引入状态机保护机制时，漏检概率会急剧减小。例如，当设置帧同步保护帧数为3帧时，真实的漏检概率将是图3中曲线取值的3次方，这对帧同步平均建立时间的影响是极小的。

图3 不同长度符号对应的漏检概率曲线

两种相关检测的虚警概率或假同步概率统计如表1所示。

由表1可知，当采用16个符号进行相关检测时，两种相关检测器的虚警概率都偏高。当选取的符号长度较短时，数据中出现了与同步字符号的相似的符号概率会增大，从而导致过多的虚警概率。图4给出信噪比为6时使用16个符号作相关检测时统计量（灰色曲线）过门限情形，其中黑线表示使用的门限值。

表1 两种相关检测器对应的假同步概率(×10-4)

从图4可知，除了帧同步字所在位置出现过门限的峰值外，其余位置也出现了过门限的峰值，正是由于这些峰值的存在，导致此时检测器虚警概率偏大。对于这些虚警点，由式（5）或式（11）计算所得的相位差多数将远远偏离实际的相位差，最终导致解映射后数据的比特误码率（Bit Error Ratio，BER）曲线恶化。当采用32、48和64个符号作相关检测时，在信噪比靠近0 dB附近，虚警概率基本在10-4水平及以下。此时，若帧同步处理引入状态机保护机制，虚警概率会急剧减小。

图4 采用16个符号时检测统计量分布情形

为了衡量两种相关检测算法估计相位差的精准程度，定义归一化绝对相位差为两种估计方法所得相位差之差的绝对值与2π的比值。不同长度符号对应的归一化绝对相位差如图5所示。

图5 不同长度符号对应的归一化绝对相位差

由图5可知，随着信噪比的增大，归一化绝对相位差逐渐减小。随着相关检测使用符号数目的增多，归一化绝对相位差依次递减。当选取帧同步序列稍微长（符号长度大于等于32时），即使在噪声严重干扰下，两种估计相位差的方法均能有效的工作。

为了充分说明简化前后算法的近似程度，采用BER曲线进行对比，结果如图6所示。

图6 不同长度符号对应的两种检测器的BER曲线

当选取的帧同步序列较短（如选16个符号）作相关检测时，两种相关检测器相比理论曲线有较大的性能差异，这是由于传输数据中出现类似帧同步序列的内容，导致检测过程中出现过多的虚警；当选取的帧同步序列稍微长一些（例如32、48和64个符号）作相关检测时，两种相关检测器相比理论曲线有较细微的性能差异，并且两种相关检测器的性能几乎是相同的。表2给出了两种检测器在不同信噪比条件下与理论曲线之间的差值。

从表2中可以看出：一方面，随着信噪比的增大，两者与理论曲线之间的差值逐渐减小；另一方面，随着参与相关检测符号数目的增多，两者与理论曲线之间的差值也逐渐减小。

表2 两种相关检测器BER曲线与理论BER曲线的差值(×10-4)

5 结 论

根据向量之和的模平方小于等于向量的模平方之和的推论，分析了MPSK调制模式下帧同步检测问题的相关检测算法和相位估计算法。基于相位估计算法的复杂性，提出一种简化的相位估计算法，简化前后的相关检测算法具有相同形式。在仿真条件下，以8PSK为例对比两种相关检测算法和两种相位估计算法的性能。实验结果表明，当选取合适长度的具有单峰特性的m序列作为的帧同步字序列时，简化前后的两种算法具有几乎同等的性能。当引入帧同步状态机保护机制时，两种方法具有极低的漏检概率和虚警概率，几乎不影响帧同步建立时间。相比简化前的算法，简化后的算法因具有更少的运算量更容易在工程应用实现。