分类，让问题变简单

2021-05-17张水明

中学课程辅导·教学研究 2021年6期

张水明

摘要：深化普通高中课程改革高三数学教师培训活动中，笔者有幸上了一节有关“排列组合”内容的高三复习展示课，得到了与会专家与同行的一致认可。排列组合，在高考中一般以选择题或填空题的形式出现，属于中档题。在考纲中则要求“会用排列数和组合式公式解决简单的实际问题”。但这道题的得分率很低，究其原因，是学生忽视了最基本的思想方法——分类，或者不知道如何分类。下面对这节课作一个简要的回顾，与大家探讨。

关键词：高中数学；突破思维；形成思维；迁移思维；巩固思维

中图分类号：G633.6文献标识码：A文章编号：1992-7711（2021）06-0108

本节课的主题是“排列组合的核心思想”，关键词是核心思想，即遇到排列组合问题首先应该想到的、最重要的思想。本节课的教学目标只有一个——学会分类，学会数数。

一、导入新课，突破思维困境

首先，展示一张“垃圾分类”的宣传图片，揭示广告语——垃圾分类，让生活更美好。由此，引出本节课的核心思想——分类，让数学变简单。其次，复习排列组合的基本思想和基本方法。

基本思想：1.分清分类和分步；2.分类数数最有效；3.特殊优先；4.正难则反。

基本方法：（1）相邻问题捆绑法；（2）间隔问题插空法；（3）分配名额插板法；（4）均匀分组要除序；（5）顺序一定自动排。

分析近几年的高考真题及各地的模考题，可以发现，高考重视的是对基础的考查。就排列组合题而言，核心思想有两条：①分类数数最有效；②特殊优先。

二、例题精讲，形成思维

例1. （2019.4金华十校联考）5位同学分成3组，参加3个不同的志愿者活动，每组至少1人，其中甲乙两人不能分在同一组，则不同的分配方案有_______种。

解析：看到排列组合题，首先应该想到两条核心思想：①分类数数最有效；②特殊优先。

而分类的核心在于找分类点，即想不清楚的地方。如例1，有两个地方我们想不清楚：甲乙两人分别在哪两个组？三个组的人数分别是多少？若能弄清楚以上两个问题，这个复杂的问题就简单了。因此，我们先对特殊元素甲乙的位置进行分类，共有以下6类（将甲在第一组乙在第二组，简记为甲1乙2）：甲1乙2、甲1乙3、甲2乙1、甲2乙3、甲3乙1、甲3乙2。根据甲乙对称性（地位相等），6种情况等价。不妨设甲1乙2。接着，再对各组的人数进行分类，共有以下6类（若第一、二、三组的人数分别为1，1，3，简记为（1，1，3）：（1，1，3）（1，2，2）（1，3，1）（2，1，2）（ 2，2，1）（3，1，1）。至此，通过分类到极致，该题就变成简单的实际问题。

所以，分配方案的种数为6×（1 + 3 + 3 + 3 + 6 + 3） = 114。

例2.将5名同学分到甲、乙、丙3个小组，若甲组至少两人，乙、丙组每组至少一人，则不同的分配方案有______种。

解析：排列组合的核心在于分类，甲、乙、丙3个小组的人数我们不清楚，是分类点。抓住这个分类点，我们可以快速解决问题。

①当甲组3人，乙组1人，丙组1人时，方案种数为C35C12= 20。

②当甲组2人，乙组1人，丙组2人时，方案种数为C25C13= 30。

③当甲组2人，乙组2人，丙组1人时，方案种数为C25C23= 30。

所以，分配方案的种数为20 + 30 + 30 = 80。

错误解法：第一步，保证甲组2人，乙、丙组各1人；第二步，剩余1人随机分配。此时，分配方案的种数为C25C13C12·C13= 180。错误的原因在于某一组的人分两次进入，存在先后顺序重复。

通过错误解法，让学生实实在在地感受到分类的好处，不仅能够化复杂为简单，而且容易检验不重不漏，保证正确率。

三、习题演练，迁移思维

练习1.标有1，2，3，4，5数字的五个小球，放入标有1，2，3，4数字的四个不同的盒子中，要求每个盒子都有球，且恰有两个球的标号与所放的盒子标号相同，求其放法种数。

师：看到排列组合题，首先应该想到的是什么？