分数阶微分方程组边值问题的可解性分析

孟红军，徐校会，袁国军

(1.滁州城市职业学院 教育系，安徽 滁州 239000；2.皖西学院 科技处，安徽 六安 237012)

现阶段，分数阶微分方程组已经被广泛应用在非线性动力学分析中，通过构建分数阶微分方程组的边值特征分析模型，结合模糊控制律实现对分数阶微分方程组的力学参数分析，实现非线性动力学系统的优化控制.采用局部区域物理量参数分析方法，进行分数阶微分方程组边值问题的可解性分析，并将分数阶微分方程组边值问题的可解性参数引入到大气物理模型构建、力学模型构建以及生态环境预测中.通过区域化的模块参数融合，采用非线性非局部积分扰动分析，在整体区域中实现分数阶微分方程组边值问题的可解性分析，因此在非线性控制系统设计等领域具有广泛的应用价值[1].本文提出基于局部稳态融合控制的分数阶微分方程组边值问题的可解性分析方法.

1 分数阶微分方程组构建和约束参数分析

1.1 分数阶微分方程组构建

为了实现分数阶微分方程组边值问题的可解性分析，需要首先构建分数阶微分方程组，根据边值分布的非线性奇异扰动特征量f[2]，采用局部区域物理量特征分析的方法，在有限状态空间中分数阶微分方程组的时滞特征方程为

(1)

其中，a为整体区域中的数据链.在有界区域中，存在局部区域物理量特征t=f时，如果分数阶微分方程组边值区域分布有A>2，分数阶微分方程组边值特征分布函数为0，求得分数阶微分方程组边值的滑模面[3].

采用2n阶非线性非局部积分方法，得到分数阶微分方程求导得

(2)

(2)式为分数阶微分方程组的凸优组合解析方程，采用一致椭圆型算子平均值作为约束参量，当A>2时有

(3)

根据线性Logistics边值线性微分特征分解的方法，构建分数阶微分方程组边值稳定性变分时滞约束参数分析模型[4-6]，可以将分数阶微分方程组边值的空间特征映射u引入到方程的最优解析模型，则存在

(4)

(5)

利用线性相关性特征分解方法，得到分数阶微分方程组边值有限域特征解析控制函数为

(6)

其中，k为正整数.非局部奇异扰动稳态参数的初始值r,得到奇异扰动特征量满足

F=|ET|+rσT.

(7)

1.2 分数阶微分方程组特征分析

根据非线性非局部奇异特征分析，得到分数阶微分方程组边值的敏感域特征解

(8)

‖u‖r(I×Ir4)≤2η,‖u‖r+‖η0‖r(I×Ir4)<∞.

(9)

(10)

为了检验分数阶微分方程组边值解是否具有收敛性，得到分数阶微分方程组在有限分数阶微分方程组边值解时域分布中[13]满足

(11)

分数阶微分方程组边值解分布洛朗级数展开为

(12)

(12)式中，U为分数阶微分方程组边值解的稳态分布矩阵，且分数阶微分方程组边值测度m都为正常数.令分数阶微分方程组边值量化参数为y(t)=[y1(t),y2(t),…,ym(t)]T，那么采用Hopf分岔运维参数分析的方法，得到的w(t)为分数阶微分方程组边值非线性融合特征参数[14]，虚特征值的孤立平衡点为

θ=w(t)K-ηy(t).

(13)

在分数阶微分方程组边值平衡点处，得到α,β为忆阻器强度参数，在t→∞的条件下，得到分数阶微分方程组边值分布的相位图如图1所示.

图1 分数阶微分方程组边值分布的相位图

2 分数阶微分方程组边值稳态分析

2.1 分数阶微分方程组边值解融合

结合椭圆型算子分析方法，实现对分数阶微分方程组边值问题的可解性和收敛性分析[15]，计算约束分数阶微分方程的波动算子，表示为

(14)

求得分数阶微分方程组边值稀疏矩阵z，采用收敛性判断的方法，在收敛条件下的状态参数

(15)

(15)式中，分数阶微分方程组边值平衡点的稳态状态参数为s，M有唯一解，得到周期函数为

(16)

分数阶微分方程组边值量化周期解构成的集合为δ，令有界开集为h，得到解向量的模态分布阵为

(17)

重新调整变量，得到解周期列向量l，在全局稳定条件下，得到分数阶微分方程组边值特征分解模型为

Q=δ(G′+l)+lT.

(18)

2.2 分数阶微分方程组边值解的可解性

以上述分析结果为基础，得到分数阶微分方程组边值解的渐近稳定收敛条件满足

(19)

如果S已知，反馈控制的修正惯性融合参数为

μ=Sf+|G′|.

(20)

分数阶微分方程组边值解收敛的唯一性条件表示为

(21)

若gt-h=0，根据上述分析，得到分数阶微分方程组边值解的可解性分布为

(22)

(23)

根据扰动稳态系统的外部解的稳态特征，实现分数阶微分方程组边值问题的可解性分析，得到的分数阶微分方程组边值是稳态收敛的.

3 仿真测试

通过Matlab仿真测试分析分数阶微分方程组边值解可解析及收敛性，设定迭代步数为2000，仿真次数为1200，得到分数阶微分方程组的解向量分布曲线如图2所示.

图2 分数阶微分方程组的解向量分布曲线

对图2的分布曲线解析结果进行拟合性分析，得到结果如图3所示.

图3 方程边值解拟合结果

分析图3得知，分数阶微分方程组边值解拟合性较好，参数融合跟踪能力较强，说明分数阶微分方程组边值问题具有可解性和收敛性.

4 结论

主要研究了分数阶微分方程组边值问题的可解性和收敛性.提出基于局部稳态融合控制的分数阶微分方程组边值问题的可解性分析方法.根据线性Logistics边值线性微分特征分解的方法，构建边值稳定性变分时滞约束参数分析模型，采用Hopf分岔运维参数分析的方法，获取分数阶微分方程组边值量化周期解构成的集合，结合椭圆型算子分析方法实现对分数阶微分方程组边值问题的可解性和收敛性分析，最后计算边值问题的可解性的关系参数，实现分数阶微分方程组边值问题的可解性的收敛性判断.研究得知，本文模型能有效实现对分数阶微分方程组边值问题的可解性分析，收敛性较好，稳定性较高.