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利用整体思想巧解方程(组)与不等式(组)

2021-05-14王萍

初中生世界·九年级 2021年3期
关键词:换元元法解方程

王萍

利用整体思想解方程(组)或不等式(组),是指对问题的整体结构进行分析,发现问题的整体性结构特征,再用“集成”的眼光,考虑将其中某些数或式看成一个整体,把握它们之间的关联,进行有目的、有意义的整体处理,使方程(组)或不等式(组)化繁为简,从而快速有效地解决问题。下面围绕整体思想方法列举几道题,供同学们学习时参考。

一、整体代入

例1 解方程组[3x+5y=21,①x+2y=8。        ②]

【分析】此題我们一般会用代入消元法消去x,但计算较复杂。如果将方程①变形为3x+6y=y+21,即3(x+2y)=y+21,再将方程②整体代入,即可快速解决问题。

解:由①,得3x+6y=y+21,

即3(x+2y)=y+21。③

将②代入③,得3×8=y+21,

解得y=3。

将y=3代入②,得x=2。

所以原方程组的解是[x=2,y=3。]

例2 若(2x+3y-m)2+[2x+2-3y]=0,4x2-9y2+2<0,求m的取值范围。

【分析】我们通常由偶次方和绝对值的非负性得[2x+3y-m=0,2x+2-3y=0,]再用加减消元法解出[x=m-24,y=m+26,]最后将x、y直接代入不等式中计算。不难发现此法较为复杂。此题如果因式分解后整体代入,便可将计算化繁为简。

解:∵(2x+3y-m)2+[2x+2-3y]=0,

∴[2x+3y-m=0,2x+2-3y=0,]

解得[2x+3y=m,2x-3y=-2。]

∵4x2-9y2+2<0,

∴(2x+3y)(2x-3y)+2<0,

即-2m+2<0,

解得m>1。

二、整体换元

例3 解方程组[x+3y2+x-y4=3,x+3y4+x-y2=0。]

【分析】直接用代入消元法或加减消元法求解,运算量比较大,也容易出错。如果把方程中的x+3y和x-y分别看作一个整体,通过整体换元即可解决问题。

解:令m=x+3y,n=x-y,

原方程组化为[m2+n4=3,m4+n2=0,]

解得[m=8,n=-4。]代入m=x+3y,n=x-y,

得[x+3y=8,x-y=-4,]解得[x=-1,y=3。]

所以原方程组的解是[x=-1,y=3。]

例4 解方程:144x2+6x-5=0。

【分析】这是一元二次方程,可用配方法或因式分解法求解,但计算量大且容易出错。可设6x=y,将系数的绝对值化小,从而使题目简单化。通过整体换元将原方程化成4y2+y-5=0,解出y,从而求出x。

解:设6x=y,得4y2+y-5=0,

解得y1=[-54],y2=1,

∴x1=[-524],x2=[16]。

例5 解方程:[2(x+1)2x2][+x+1x-]6=0。

【分析】通过观察可设[x+1x]=y,将原方程化为2y2+y-6=0,将分式方程转化为整式方程再解,较为简单。

解:设[x+1x]=y,得2y2+y-6=0,

解得y1=-2,y2=[32]。

当y1=-2时,[x+1x]=-2,解得x1=[-13];

当y2=[32]时,[x+1x]=[32],解得x2=2。

经检验:x1=[-13],x2=2是原方程的解。

三、整体加减

例6 已知x、y满足方程组[x+3y=7,①3x+y=5,②]则x-y的值为。

【分析】本题可用加减消元法解出x、y的值,代入x-y求值即可解决。但仔细观察,方程①②中x、y的系数是颠倒的,这样的方程组我们称之为轮换式方程组。可以通过②-①得到2x-2y=-2,从而求得x-y的值。

解:由②-①,得2x-2y=-2,

解得x-y=-1。

例7 已知关于x、y的方程组[x-2y=m,                ①2x+3y=2m+4     ②]的解满足不等式组[3x+y≤0,x+5y>0,]求满足条件的m的整数值。

【分析】这是一个含参数的方程组问题,用代入消元法或加减消元法解出[x=m+87,y=47,]将x、y代入不等式组中,得到关于m的不等式组,从而求出不等式组的解集,并得出m的整数值。然而通过再次观察,我们不难发现方程①②可通过整体加减直接得到不等式组,从而快速地解决此题。

解:由①+②,得3x+y=3m+4,

由②-①,得x+5y=m+4。

由题意可得[3m+4≤0,m+4>0,]

解得[m≤-43,m>-4,]

∴-4

∴m=-3,m=-2。

(作者单位:江苏省仪征市枣林湾学校)

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