利用整体思想巧解方程（组）与不等式（组）

王萍

利用整体思想解方程（组）或不等式（组），是指对问题的整体结构进行分析，发现问题的整体性结构特征，再用“集成”的眼光，考虑将其中某些数或式看成一个整体，把握它们之间的关联，进行有目的、有意义的整体处理，使方程（组）或不等式（组）化繁为简，从而快速有效地解决问题。下面围绕整体思想方法列举几道题，供同学们学习时参考。

一、整体代入

例1 解方程组[3x+5y=21，①x+2y=8。        ②]

【分析】此題我们一般会用代入消元法消去x，但计算较复杂。如果将方程①变形为3x+6y=y+21，即3（x+2y）=y+21，再将方程②整体代入，即可快速解决问题。

解：由①，得3x+6y=y+21，

即3（x+2y）=y+21。③

将②代入③，得3×8=y+21，

解得y=3。

将y=3代入②，得x=2。

所以原方程组的解是[x=2，y=3。]

例2 若（2x+3y-m）2+[2x+2-3y]=0，4x2-9y2+2<0，求m的取值范围。

【分析】我们通常由偶次方和绝对值的非负性得[2x+3y-m=0，2x+2-3y=0，]再用加减消元法解出[x=m-24，y=m+26，]最后将x、y直接代入不等式中计算。不难发现此法较为复杂。此题如果因式分解后整体代入，便可将计算化繁为简。

解：∵（2x+3y-m）2+[2x+2-3y]=0，

∴[2x+3y-m=0，2x+2-3y=0，]

解得[2x+3y=m，2x-3y=-2。]

∵4x2-9y2+2<0，

∴（2x+3y）（2x-3y）+2<0，

即-2m+2<0，

解得m>1。

二、整体换元

例3 解方程组[x+3y2+x-y4=3，x+3y4+x-y2=0。]

【分析】直接用代入消元法或加减消元法求解，运算量比较大，也容易出错。如果把方程中的x+3y和x-y分别看作一个整体，通过整体换元即可解决问题。

解：令m=x+3y，n=x-y，

原方程组化为[m2+n4=3，m4+n2=0，]

解得[m=8，n=-4。]代入m=x+3y，n=x-y，

得[x+3y=8，x-y=-4，]解得[x=-1，y=3。]

所以原方程组的解是[x=-1，y=3。]

例4 解方程：144x2+6x-5=0。

【分析】这是一元二次方程，可用配方法或因式分解法求解，但计算量大且容易出错。可设6x=y，将系数的绝对值化小，从而使题目简单化。通过整体换元将原方程化成4y2+y-5=0，解出y，从而求出x。

解：设6x=y，得4y2+y-5=0，

解得y1=[-54]，y2=1，

∴x1=[-524]，x2=[16]。

例5 解方程：[2（x+1）2x2][+x+1x-]6=0。

【分析】通过观察可设[x+1x]=y，将原方程化为2y2+y-6=0，将分式方程转化为整式方程再解，较为简单。

解：设[x+1x]=y，得2y2+y-6=0，

解得y1=-2，y2=[32]。

当y1=-2时，[x+1x]=-2，解得x1=[-13];

当y2=[32]时，[x+1x]=[32]，解得x2=2。

经检验：x1=[-13]，x2=2是原方程的解。

三、整体加减

例6 已知x、y满足方程组[x+3y=7，①3x+y=5，②]则x-y的值为。

【分析】本题可用加减消元法解出x、y的值，代入x-y求值即可解决。但仔细观察，方程①②中x、y的系数是颠倒的，这样的方程组我们称之为轮换式方程组。可以通过②-①得到2x-2y=-2，从而求得x-y的值。

解：由②-①，得2x-2y=-2，

解得x-y=-1。

例7 已知关于x、y的方程组[x-2y=m，                ①2x+3y=2m+4     ②]的解满足不等式组[3x+y≤0，x+5y>0，]求满足条件的m的整数值。

【分析】这是一个含参数的方程组问题，用代入消元法或加减消元法解出[x=m+87，y=47，]将x、y代入不等式组中，得到关于m的不等式组，从而求出不等式组的解集，并得出m的整数值。然而通过再次观察，我们不难发现方程①②可通过整体加减直接得到不等式组，从而快速地解决此题。

解：由①+②，得3x+y=3m+4，

由②-①，得x+5y=m+4。

由题意可得[3m+4≤0，m+4>0，]

解得[m≤-43，m>-4，]

∴-4

∴m=-3，m=-2。

（作者单位：江苏省仪征市枣林湾学校）