巧用“转化”一招制胜

李爱民

所谓“转化”，就是将一个问题的解决转向另一个问题的解决，以达到化生疏为熟悉，化复杂为简单，化抽象为直观的目的的数学方法。初中阶段，我们就借助转化的思想方法学习了不同类型方程的解法。首先，我们利用等式的性质归纳出一元一次方程的解法;接着，通过消元将解二元一次方程组转化为解一元一次方程，通过降次将解一元二次方程转化为解一元一次方程，通过去分母将解分式方程转化为解整式方程。下面，老师再举一些例子，让同学们感受“转化”在方程和不等式中的应用。

一、通过“换元”实现转化

例1 若（a2+b2）2-2（a2+b2）-3=0，则代数式a2+b2的值为（）。

A.-1或3B.1或-3

C.-1 D.3

【分析】将a2+b2看成整体，通过换元可以将原方程转化为一元二次方程求解。

解：设a2+b2=x，则原方程变形为x2-2x-3=0，解得x1=3，x2=-1。因为a2+b2≥0，即x≥0，所以x=3，所以a2+b2=3，所以答案为D。

【点评】本题考查用换元法解一元二次方程，解题的关键是能想到将a2+b2整体设元，同时还要注意a2+b2的取值范围。

二、通过“数形结合”实现转化

1.以形助数。

例2 如图1，函数y=kx+b（k≠0）与y=[mx]（m≠0）的图像相交于点A（-2，3）、B（1，-6）两点，则不等式kx+b>[mx]的解集为（）。

A.x>-2

B.-21

C.x>1

D.x<-2或0

【分析】已知点A、B，可以用待定系数法求出两个函数的表达式，这样就可以得到一个明确的不等式，但求解过程比较复杂。仔细观察，不难发现：解不等式实际上是比较两个函数的大小，借助图像可以简单直观地得到答案。

解：因为两个函数相交于点A、B，所以当x=-2和x=1时，两个函数值相等。因为反比例函数的自变量x≠0，所以比较两个函数的大小关系可以将自变量x分成4个部分，分别是：x<-2、-21。观察函数图像，不难发现当x<-2或0[mx]，所以本题的答案为D。

【点评】本题以数的形式出示问题，表面是解不等式，但发现直接求解比较困难。因此，我们可以借助函数的背景，从形的角度入手，将其转化成比较两个函数大小的问题。函数与方程、不等式有着密切的关系，当出现以函数为背景的方程、不等式问题时，往往可以借助函数图像解决。

2.以数解形。

例3 若关于x的一元二次方程x2-2x+kb+1=0有两个不相等的实数根，则一次函数y=kx+b的大致图像可能是（）。

【分析】由根的判别式可以求出kb的范围，再结合一次函数图像与k、b的关系可以确定出大致的图像。

解：因为一元二次方程x2-2x+kb+1=0有两个不相等的实数根，所以根的判别式Δ>0，所以4-4（kb+1）>0，解不等式得kb<0，所以k与b异号，即k>0，b<0或k<0，b>0。当k>0，b<0时，一次函数的图像经过一、三、四象限;当k<0，b>0时，一次函数的图像经过一、二、四象限，所以选B。

【点评】本题求一次函数的图像，是形的问题，但一次函数的图像由k、b决定，必须依靠数的计算，所以转化为解不等式的问题。

三、通过“分类讨论”实现转化

例4 若关于x的方程（a-1）x2+3x-2=0有实数根，求a的取值范围。

【分析】因为二次项系数（a-1）不确定，所以方程的类型不确定。先对（a-1）进行讨论，确定是何种方程，再分别求解。

解：当a-1=0，即a=1时，方程为一元一次方程，此时方程有实数根为x=[23];当a-1≠0，即a≠1时，方程为一元二次方程，若方程有实数根，则必须满足Δ≥0，即9+8（a-1）≥0，解得a≥[-18]，所以a≥[-18]且a≠1。综上，a的取值范围是a≥[-18]。

【点评】本题主要考查分类讨论思想。通过对二次项系数的讨论，我们将原方程转化为一元一次方程和一元二次方程，达到化含糊为清晰的效果，能有效考查思维的严密性。

四、通过“构造”实现转化

例5 若实数a≠b，且a、b分别满足a2-8a+5=0，b2-8b+5=0，求代数式a2b+ab2的值。

【分析】我们观察两个等式中系数的特点，发现可以构造出一元二次方程，再借助根与系数的关系求出代数式的值。

解：因为a、b分别满足a2-8a+5=0，b2-8b+5=0，并且a≠b，所以a、b可以看成方程x2-8x+5=0的两个不相等的实数根，所以a+b=8，ab=5，所以a2b+ab2=ab（a+b）=5×8=40。

【点评】我们如果“暴力”解出a、b的值，再求解代数式的值，会发现解题过程比较复杂，而且计算量大，容易出错。通过逆用根的意义构造一元二次方程，能巧妙地将问题转化，达到化繁为简的效果。

方程和不等式是“数与代数”的核心内容，是刻画现实世界数量關系的有效模型，是解决其他数学问题的重要工具。所以同学们要掌握方程和不等式的基本概念、性质、解法、应用，更要能感悟其中隐藏的“转化”的思想方法，并善于将这种方法迁移到其他知识的学习中，这将对我们的学习有很大帮助。

（作者单位：江苏省仪征市新集初级中学）