思易错之源 悟纠错之道

施长燕

“数与式”是初中数学的核心内容之一，它融合在诸多的知识之中。“数与式”既是重点知识，也是同学们易错的内容。为了让同学们能更好地规避错误，掌握所学，下面将“数与式”中的易错点进行整理，并结合易错题型让大家思考易错的源头，感悟纠错之道。

一、概念本质要心中有数

易错点1：无理数的概念理解不到位。

例1 （2020·四川遂宁）下列各数3.1415926，[9]，1.212212221…，[17]，2-π，

-2020，[43]中，无理数的个数是。

【错解】在所列实数中，无理数有[9]，1.212212221…，2-π，[43]这4个。

故答案为4。

【错因分析】本题考查的是无理数的概念，错误的主要原因是没有真正理解无理数的概念，只看形式，而没有化简后再判断。无理数的常见类型有：①根号型，如[3]、[5]等开方开不尽的数;②定义型，如1.010010001…（相邻两个1之间依次多一个0）等;③含“π”型，如π+2等。而且在判断之前要先化简，再结合无理数的常见类型去判断。

【正解】∵[9]=3，

∴3.1415926、[9]、[17]和-2020都是有理数。

∵[43]属于根号型，2-π属于含“π”型，1.212212221…属于定义型，∴这三个都是无理数。故答案为3。

易错点2：相反数、倒数的概念易混淆。

例2 （2020·江苏无锡）-7的倒数是（）。

A.[17]B.7C.[-17]D.-7

【错解】B。

【错因分析】本题考查的是倒数的概念，乘积为1的两个数互为倒数。但有些同学对倒数的概念把握不到位，易把倒数与相反数的概念混淆。绝对值相等、符号相反的两个数互为相反数。有的同学误认为-7的倒数是7，而非根据倒数的概念，用1去除以这个数来得到这个数的倒数。

【正解】根据倒数的定义，-7的倒数是[-17]。故选C。

易错点3：平方根与算术平方根的区别。

例3 （2020·江苏南京）3的平方根是（）。

A.9B.[3] C.[-3] D.[±3]

【错解】B。

【错因分析】本题考查的是平方根，但有同学往往会错选这个数的算术平方根。正数a的平方根为[±a]，是正负两个值，而其中正值[a]是這个正数的算术平方根。

【正解】∵（[±3]）2=3，∴3的平方根是[±3]。故选D。

二、解决问题要挖掘条件

易错点4：实数的大小比较。

例4 （2020·山东临沂）下列温度比-2℃低的是。

A.-3℃ B.-1℃ C.1℃ D.3℃

【错解】B。

【错因分析】本题考查的是实数的大小比较，做错的原因往往是没有抓住两个实数如何比较大小的本质。任意两个实数比较大小要遵循：（1）在数轴上表示的两点，右边的点表示的数比左边的点表示的数大;（2）正数大于0，负数小于0，正数大于负数;（3）两个正数中，绝对值大的数大;（4）两个负数中，绝对值大的反而小。

【正解】根据两个负数，绝对值大的反而小可知。故选A。

易错点5：代数式有意义。

例5 （2020·湖南常德）若代数式[22x-6]在实数范围内有意义，则x的取值范围是。

【错解】由2x-6≥0，可得x≥3。

【错因分析】本题考查的是二次根式和分式有意义的条件，关键是要掌握：（1）分式分母不为0;（2）被开方数是非负数。而在解决本题的过程中，有的同学只考虑了被开方数是非负数，而忽略了分母不为0。本题的被开方数还在分母上，因考虑不周全而导致求取值范围时出错。

【正解】根据题意，得[2x-6≥0，2x-6≠0，]

解得[x≥3，x≠3，]

∴x的取值范围是x>3。

故答案为x>3。

易错点6：分式的值为0时，易忽视分母不能为0。

例6 （2019·山东聊城） 如果分式[x-1x+1]的值为0，那么x的值为（）。

A.-1B.1C.-1或1 D.1或0

【错解】由[x]-1=0， 解得x=±1。故选C。

【错因分析】本题考查的是分式的值为0。分式的值为0的条件应是满足分子为0且分母不为0。本题之所以解错，是因为只考虑到分子为0，即[x-]1=0，而忽视了分式有意义的条件：分母不为0，即x+1≠0。

【正解】根据题意，得[x-1=0，x+1≠0，]

解得[x=±1，x≠-1，]

∴x=1。故选B。

三、综合运算要步步为营

易错点7：运算时要把好符号关。

例7 （2020·江苏徐州）计算：（-1）2020

+[2-2]-（[12]）-1。

【错解】原式=-1+[2]-2-2

=[2]-5。

【错因分析】本题考查的是实数的运算，要正确进行实数的运算，就要掌握好与实数有关的概念、性质，灵活地运用各种运算律，关键是把好符号关。如遇到去绝对值问题，就要思考绝对值里的是正数还是负数。正数的绝对值等于它本身，负数的绝对值等于它的相反数。本题出错是因为去绝对值时，未处理好符号问题，同时求（-1）2020时，符号也出现问题，导致出现计算错误。

【正解】原式=1-（[2-2]）-2

=1-[2]+2-2

=1-[2]。

易错点8：分式运算要综合考虑。

例8 （2020·山东德州）先化简：（[x-1x-2]-[x+2x]）÷[4-xx2-4x+4]，然后选择一个合适的x值代入求值。

【错解】原式=[[x（x-1）x（x-2）-（x+2）（x-2）x（x-2）]]

÷[4-x（x-2）2]

=[x2-x-x2+4x（x-2）]?[（x-2）24-x]

=[4-xx（x-2）]?[（x-2）24-x]

=[x-2x]。

当x=4时，原式=[12]。

【错因分析】本题考查的是分式的运算。进行分式的运算时，要综合考虑：①运算法则和符号的变化;②分子或分母是多项式时，要分解因式且要分解到不能分解为止;③结果应化为最简分式。本题出错的原因是在取值时没有考虑“分母不为0”，即x≠0和x-2≠0，同时忽视了除数不能为0的条件，即4-x≠0。故x≠0，x≠2，x≠4。

【正解】原式=[[x（x-1）x（x-2）-（x+2）（x-2）x（x-2）]]

÷[4-x（x-2）2]

=[x2-x-x2+4x（x-2）]?[（x-2）24-x]

=[4-xx（x-2）]?[（x-2）24-x]

=[x-2x]。

由分式有意义知x≠0，x≠2，x≠4，

当x=3时，原式=[13]。

总之，同学们想要在“数与式”的应用中减少错误，就必须注重基础知识的理解和基本技能的掌握，真正做到心中有“数”。

（作者单位：江苏省常熟市滨江实验中学）