“数与式”，在灵动中见深度

施晓丹

“数与式”是初中数学的基础知识，也是中考的基本考查内容之一，主要考查同学们对基本概念的理解、基础知识的运用和基本技能的掌握情况。近年来，中考中也出现了一些新题型，面貌焕然一新。这些题更具灵活性和思辨性，有时需要同学们仔细阅读，回归概念;有时还需计算推理。

一、在尝试中计算

例1 （2020·湖北荆州）若x为实数，在“（[3]+1）□x”的“□”中添上一种运算符号（在“+，-，×，÷”中选择）后，其运算的结果为有理数，则x不可能是（ ）。

A.[3]+1 B.[3]-1

C.[23] D.1-[3]

【解析】选项A：（[3]+1）÷（[3]+1）=1，或（[3]+1）-（[3]+1）=0;

选项B：（[3]+1）（[3]-1）=3-1=2，或（[3]+1）-（[3]-1）=2;

选项D：（[3]+1）（1-[3]）=1-3=-2，或（[3]+1）+（1-[3]）=2;

而选项C，无论填“+，-，×，÷”中的任何一种符号，都不能保证其运算的结果为有理数。故选C。

【点评】本题考查了实数的运算和有理数的概念，只是这样的呈现形式使题目更具灵活性。本题要我们先选择运算符号，再进行计算，最后根据运算结果进行判断。我们只要逐一对每个选项做出相应的计算尝试，即可得到答案。当然，选择运算符号的时候也应有目的地筛选。

二、在阅读中理解

例2 （2020·重庆）在数的学习过程中，我们总会对其中一些具有某种特性的数充满好奇，如学习自然数时，我们发现一种特殊的自然数——“好数”。

定义：对于一个三位自然数n，各位数字都不为0，且百位数字与十位数字之和恰好能被个位数字整除，则称这个自然数n为“好数”。

例如：426是“好数”，因为4、2、6都不为0，且4+2=6，6能被6整除;

643不是“好数”，因为6+4=10，10不能被3整除。

（1）判断312、675是否是“好数”，并说明理由;

（2）求出百位数字比十位数字大5的所有“好数”的个数，并说明理由。

【解析】（1）312是“好数”，675不是“好数”。理由：

312是“好数”，因为3、1、2都不为0，且3+1=4，4能被2整除;

675不是“好数”，因为6+7=13，13不能被5整除。

（2）设十位数字为a（a为整数且1≤a≤4），则百位数字为a+5，

∴a+a+5=2a+5。

当a=1时，2a+5=7，7能被1、7整除，∴此时“好数”有2个：611，617;

當a=2时，2a+5=9，9能被1、3、9整除，∴此时“好数”有3个：721，723，729;

当a=3时，2a+5=11，11能被1、11整除，但个位数字不可能是11，∴此时“好数”有1个：831;

当a=4时，2a+5=13，13能被1、13整除，但个位数字不可能是13，∴此时“好数”有1个：941。

综上所述，满足条件的“好数”共有7个：611，617，721，723，729，831，

941。

【点评】本题是一道新定义问题，新定义的实质就是作出一种规定，根据规定来解决问题。本题主要考查我们阅读题干后，获得的解决问题的能力，正确理解“好数”是解决问题的关键，同时，也需要我们深入周密地去思考。第（1）问，根据“好数”的定义进行判断即可。第（2）问，用字母表示数后问题就变得清晰多了，设十位数字为a，进而表示出百位数字，根据题意，可推断出a为整数且1≤a≤4，这是做到不遗漏、不重复的前提。在此范围内分别取定a的值，根据“好数”的定义，结合整除的知识，就能得出结果。

（作者单位：江苏省常熟市教育局教学研究室）