正本清源理脉络 熟能生巧解函数

施康琪

函数是用来刻画现实世界变量关系的模型，概念较为抽象。而二次函数相较一次函数、反比例函数，表达方式更多样，图形更复杂，因此，涉及的考点也较多。下面，我们针对具体的中考题，围绕这些考点，谈谈解决策略。

一、巧用二次函数的图像与性质

例1 （2020·黑龙江齐齐哈尔）如图，抛物线y=ax2+bx+c（a≠0）与x轴交于点（4，0），其对称轴为直线x=1，结合图像给出下列结论：①ac<0;②4a-2b+c>0;③当x>2时，y随x的增大而增大;④关于x的一元二次方程ax2+bx+c=0有两个不相等的实数根。其中正确的结论有（）。

A.1个B.2个C.3个D.4个

【解析】通过函数图像，我们可以知道函数的开口方向、增减性、对称性;通过具体的对称轴以及与x轴的交点坐标，我们可以把图形补充完整，顺利地求得函数图像与x轴的另一交点，这是典型的利用数形结合思想解决问题的方法。审题时，我们不仅要利用好函数图像，更要关注图中x=1和数字4这两个细节所带来的隐藏作用。

①抛物线开口向上，故a>0;抛物线与y轴交于负半轴，故c<0，因此ac<0。①正确。

②令x=-2，则y=4a-2b+c，所以想到去寻求横坐标为-2的点。图中与x轴的一个交点为（4，0），结合抛物线的对称轴为x=1，易知抛物线与x轴另一个交点为（-2，0），于是有4a-2b+c=0。②错误。

③由图像可知，当x>1时，y随x的增大而增大。③正确。

④抛物线与x轴有两个不同交点，因此关于x的一元二次方程ax2+bx+c=0有两个不相等的实数根。④正确。

故选C。

【点评】本题是利用二次函数性质解决参数相关问题，解決这类问题，除了要掌握相关知识点之外，更要仔细观察图像中的每一个显性条件（数字、点坐标）和隐性条件（增减性、对称性），不放过每一个细节。

二、求二次函数表达式

1.待定系数法。

例2 （2020·四川成都）抛物线y=ax2+bx+c与x轴交于A（-1，0）、B（4，0）两点，与y轴交于点C（0，-2）。求抛物线的函数表达式。

【解析】A（-1，0）、B（4，0）是抛物线与x轴的交点，因此首选交点式。

设y=a（x-x1）（x-x2）（a≠0），则x1=-1，x2=4，代入（0，-2），得a（0+1）（0-4）=-2，解得a=[12]，因此y=[12]（x+1）（x-4）=[12]x2[-32]x-2。

【总结】若已知抛物线任意三点坐标，且这三点没有明显特殊性，则采用一般式y=ax2+bx+c（a≠0）;若已知抛物线顶点坐标或对称轴，则可采用顶点式y=a（x-h）2+k（a≠0）;若已知抛物线与x轴的两个交点坐标，则可设交点式y=a（x-x1）（x-x2）（a≠0）。

2.利用平移，直接求表达式。

例3 （2020·黑龙江哈尔滨）将抛物线y=x2向上平移3个单位长度，再向右平移5个单位长度，所得到的拋物线为（）。

A.y=（x+3）2+5 B.y=（x-3）2+5

C.y=（x+5）2+3 D.y=（x-5）2+3

【解析】由“上加下减”的原则，将抛物线向上平移3个单位长度，得y=x2+3;由“左加右减”的原则，将抛物线y=x2+3向右平移5个单位长度，得y=（x-5）2+3。故选D。

【点评】本题考查的是函数图像的平移。这类题一般先将二次函数转化为顶点式y=a（x-h）2+k，再巧用口诀“上加下减，左加右减”解题。重点要注意“上加下减”是在k后面加减，而“左加右减”是指在括号里对x进行加减。

三、运用二次函数解决实际生活中的最值问题

例4 （2020·辽宁抚顺）超市销售某品牌洗手液，进价为每瓶10元。在销售过程中发现，每天销售量y（瓶）与每瓶售价x（元）之间满足一次函数关系（其中10≤x≤15，且x为整数），当每瓶洗手液的售价是12元时，每天销售量为90瓶;当每瓶洗手液的售价是14元时，每天销售量为80瓶。

（1）求y与x之间的函数表达式;

（2）设超市销售该品牌洗手液每天销售利润为W元，当每瓶洗手液的售价定为多少元时，超市销售该品牌洗手液每天销售利润最大？最大利润是多少元？

【解析】（1）根据已知的一次函数关系，直接用待定系数法求解即可;

（2）根据利润表达式（总利润=单件利润×数量）表示出二次函数表达式，再根据二次函数的增减性以及实际要求，确定最值。

解：（1）设y与x的函数表达式为y=kx+b（k≠0）。根据题意，得

[12k+b=90，14k+b=80，]解得[k=-5，b=150。]

∴y与x的函数表达式为y=-5x+150，10≤x≤15，且x为整数。

（2）根据题意，得W=（x-10）（-5x+150）=-5（x-20）2+500，∵a=-5<0，∴当x<20时，W随着x的增大而增大。∵10≤x≤15且x为整数，∴当x=15时，W有最大值，即W=-5（15-20）2+500=375。

答：当每瓶洗手液的售价定为15元时，超市销售该品牌洗手液每天销售利润最大。最大利润为375元。

【点评】本题是销售类的经典题型，难点、易错点主要在第（2）问，即如何求最大利润。二次函数求最值主要有两种方法：一是配方法，利用顶点式的顶点坐标求最值;二是公式法，当x=[-b2a]时，最值为[4ac-b24a]。值得注意的是，在实际问题中，往往要先确定自变量的取值范围，根据实际意义，结合图像增减性，求出最值。

（作者单位：江苏省无锡市梅里中学）