步步有据 分分有理

孙伟刚

同学们，函数是初中数学中的核心内容，它除了包括函数的概念、正比例函数、一次函数、反比例函数及二次函数等具体知识外，还蕴含着方程与不等式的思想方法。在历年各地的中考试卷中，函数内容一直是命题的重头戏，其中尤以考查一次函数的应用为甚。如何规范而完美地解答一次函数的应用问题呢？下面老师通过几个例题予以说明，希望对同学们有所帮助。

一、图像型一次函数的应用问题

例1 （2020·陕西）（本题满分7分）某农科所为定点帮扶村免费提供一种优质瓜苗及大棚栽培技术。这种瓜苗早期在农科所的温室中生长，长到大约20cm时，移至该村的大棚内，沿插杆继续向上生长。研究表明，60天内，这种瓜苗生长的高度y（cm）与生长时间x（天）之间的关系大致如图所示。

（1）求y与x之间的函数表达式;

（2）当这种瓜苗长到大约80cm时，开始开花结果，试求这种瓜苗移至大棚后，继续生长大约多少天，开始开花结果。

【考点】求一次函数表达式、二元一次方程组的应用、一元一次方程的应用。

解：（1）当0≤x≤15时，设y=kx（k≠0）。由图像可知当x=15时，y=20，因此20=15k，解得k=[43]，∴y=[43x]。（1分）

当15

因此[15m+b=20，60m+b=170，]

解得[m=103，b=-30，]

∴y=[103x]-30。（3分）

∴y=[43x（0≤x≤15），103x-30（15<x≤60）。]（4分）

（2）当y=80时，得80=[103x]-30，解得x=33。（5分）

33-15=18（天）。（6分）

答：这种瓜苗移至大棚后，继续生长大约18天，开始开花结果。（7分）

【点评】本题以图像形式考查了一次函数的应用，题意简明，但同学们想得满分却不那么容易，还得看解题过程是否规范。由于图像给出的是一条折线段，因此解答第（1）问时应注意分段，“设出y与x之间的函数表达式并说明x的取值范围”“列出方程（组）求解”“确定表达式”“作答”等解题环节缺一不可，这些都是得分要点。对于第（2）问，审题细致的同学就有优势，因为他们会发现题中的关键字眼“继续”两字，从而注意到x=33不是所求的天数，还需多一步，即33-15=18（天）才是最后的答案。对于审题粗枝大叶的同学，最后2分很可能会白白扣掉，会而不对，令人惋惜。

二、表格型一次函数的应用问题

例2 （2020·四川乐山）（本题满分10分）某汽车运输公司为了满足市场需要，推出商务车和轿车对外租赁业务。下面是乐山到成都两种车型的限载人数和单程租赁价格表：

[车型 每车限载人数（人） 租金（元/辆） 商务车 6 300 轿车 4 ]

（1）如果单程租赁2辆商务车和3辆轿车共需付租金1320元，求一辆轿车的单程租金为多少元。

（2）某公司准备组织34名职工从乐山赴成都参加业务培训，拟单程租用商务车或轿车前往。在不超载的情况下，怎样设计租车方案才能使所付租金最少？

【考点】一元一次方程的应用、一元一次不等式的应用、一次函数的应用。

解：（1）设租用一辆轿车的单程租金为x元。

根据题意，得300×2+3x=1320，（1分）

解得x=240。（2分）

答：租用一輛轿车的单程租金为240元。（3分）

（2）①若只租用商务车，∵[346]=[523]，

∴只租用商务车，应租6辆，所付租金为300×6=1800（元）。（4分）

②若只租用轿车，∵[344]=8.5，

∴只租用轿车，应租9辆，所付租金为240×9=2160（元）。（5分）

③若混和租用两种车，设租用商务车m辆，租用轿车n辆，租金为W元。

根据题意，得[6m+4n=34，W=300m+240n，]（6分）

由6m+4n=34，得4n=-6m+34，

∴W=300m+60（-6m+34）=-60m+2040。

（8分）

∵-6m+34=4n≥0，∴m≤[173]，

∴1≤m≤5，且m为整数。

∵W随m的增大而减小，

∴当m=5时，W有最小值1740，此时n=1。（9分）

综上，租用商务车5辆和轿车1辆时，所付租金最少，为1740元。（10分）

【点评】本题以表格形式考查了一次函数的应用，减少了许多文字的赘述，突出了题干部分，便于同学们快速理解题意，准确找到解题思路。第（1）问是基础题，“设未知数列出方程”“解方程”“作答”三部分各1分，合乎情理，分分有理。第（2）问需分类讨论，三种方案一一求解，但难易程度有所不同，此时应挑选简单的情形先解决，也就是先踩上容易得分的点，只有得到了保底的分，才有底气去攻克较难的情形。

（作者单位：江苏省无锡市港下中学）