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函数典型例题与解题策略

2021-05-14李祥

初中生世界·九年级 2021年4期
关键词:表达式反比例象限

李祥

由数轴上的点与实数的对应关系到正、反比例函数,由一次方程(组)、不等式(组)到一次函数,由一元二次方程到二次函数等,我们不难发现,函数是贯穿初中数学的一条主线,具有承上启下的作用。函数是初中数学的重点,也是难点,更是中考命题的主要考查对象。

一、函数的概念与性质

例1 已知一次函数y=(3a-2)x+(1-b),求字母a、b的取值范围,使得:

(1)y随x的增大而增大;

(2)函数图像与y轴的交点在x轴的下方;

(3)函数图像过第一、二、四象限。

【思路点拨】对于y=kx+c(k≠0)的图像,当k>0时,y随x的增大而增大;当c<0时,函数图像与y轴的交点在x轴的下方;当k<0,c>0时,函数图像过第一、二、四象限。

解:(1)由一次函数y=kx+c(k≠0)的性质可知:当k>0时,函数值y随x的增大而增大,即3a-2>0,∴a>[23],且b可取任何实数。

(2)函数图像与y轴的交点为(0,1-b)。

∵交点在x轴的下方,

∴[3a-2≠0,1-b<0,]即[a≠23,b>1。]

(3)函数图像过第一、二、四象限,则必须满足[3a-2<0,1-b>0,]得[a<23,b<1。]

【总结升华】下面是y=kx(k≠0),y=kx+b(k≠0)的图像的特点和性质示意图。如图1,当k>0时,y随x的增大而增大;当k>0,b>0时,图像过第一、二、三象限;当k>0,b=0时,是正比例函数;当k>0,b<0时,图像过第一、三、四象限。当y=x时,图像过第一、三象限,且与x轴的夹角为45°。由于常数k、b不同,可得到不同的函数,k决定直线的倾斜程度,b决定直线与y轴交点的位置,由k定向,由b定点。同样,图2是k<0的各种情况,请同学们自己尝试指出它们的特点和性质。

二、函数的图像及性质

例2 已知一次函数y=kx+b(k≠0)的图像经过A(3,18)和B(-2,8)两点。

(1)求一次函数的表达式;

(2)若一次函数y=kx+b(k≠0)的图像与反比例函数y=[mx](m≠0)的图像只有一个交点,求交点坐标。

【思路点拨】(1)用待定系数法求一次函数的表达式;(2)联立一次函数表达式和反比例函数表达式,根据题意得到Δ=0,解方程即可得到结论。

解:(1)把(3,18),(-2,8)代入一次函数y=kx+b(k≠0),得

[3k+b=18,-2k+b=8,]解得[k=2,b=12,]

∴一次函數的表达式为y=2x+12。

(2)∵一次函数y=kx+b(k≠0)的图像与反比例函数y=[mx](m≠0)的图像只有一个交点,∴[y=2x+12,y=mx]只有一组解,

所以2x2+12x-m=0有两个相等的实数根,

∴Δ=122-4×2×(-m)=0,

∴m=-18。

把m=-18代入2x2+12x-m=0求得该方程的解为x=-3,经检验符合题意。

把x=-3代入y=2x+12,得y=6,

∴所求的交点坐标为(-3,6)。

【总结升华】本题考查了用待定系数法求一次函数表达式、反比例函数与一次函数的交点问题。第(2)问的关键是转化成关于x的一元二次方程,再根据交点只有一个得出根的判别式为0,从而求出m,进而求出交点坐标。

三、二次函数的综合运用

例3 二次函数y=ax2+bx+c的图像如图3所示,下列结论:①ab>0;②a+b-1=0;③a>1;④关于x的一元二次方程ax2+bx+c=0的一个根为1,另一个根为[-1a]。其中正确结论的序号是。

【思路点拨】根据抛物线的开口方向和对称轴判断a与b的符号,由抛物线与y轴的交点得出c的值,然后根据抛物线与x轴交点的个数及x=1时二次函数的值的情况进行推理,进而对所得结论进行判断。

解:①由二次函数的图像开口向上可得a>0,对称轴在y轴的右侧,b<0,∴ab<0,故①错误;

②由图像可知抛物线与x轴的交点为(1,0),与y轴的交点为(0,-1),

∴c=-1,∴a+b-1=0,故②正确;

③∵a+b-1=0,∴a-1=-b,

∵b<0,∴a-1>0,

∴a>1,故③正确;

④∵抛物线与y轴的交点为(0,-1),

∴抛物线的方程为y=ax2+bx-1,

∵抛物线与x轴的交点为(1,0),

∴ax2+bx-1=0的一个根为1,根据根与系数的关系,另一个根为[-1a],故④正确。

故答案为②③④。

【总结升华】本题考查的是二次函数与图像结合的综合运用,掌握二次函数的性质、灵活运用数形结合思想是解题的关键。

(作者单位:江苏省无锡市新安中学)

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