神奇的三角形内的一点

王姗姗

一天，几何学家佩多接到了一位经济学家打来的电话：如果等边三角形内有一个点P，无论P的位置在三角形内如何变动，P到三角形三边的距离之和是否总是不变呢？佩多教授马上给了让他满意的答复：

如圖1，在等边△ABC中，连接PA、PB、PC。用x、y、z分别表示点P到△ABC三边的距离。设等边△ABC边长为a，高为h。

因为S△PBC=[12]ax，S△PAC=[12]ay，

S△PAB=[12]az，

所以S△PBC+S△PAC+S△PAB

=[12]ax[+12]ay[+12]az=S△ABC。

所以x+y+z=[2S△ABCa]。 ①

而由S△ABC=[12]ah，得

h=[2S△ABCa]，结合①可得，

x+y+z=h，即P到等边三角形三边的距离之和等于它的高。

通过解答过程，我们不难发现，一个七年级的学生也能给这位经济学家满意的答复，因为这只是运用了简单的三角形的面积公式。但是，这个问题启发我们思考：如果在任意一个三角形内随便放一个点，会有怎样的发现呢？

如图2，P为△ABC内任意一点，分别连接AP、CP、BP并延长，交BC、AB、AC于点D、F、E。

根据题意，得S△PBC+S△PAC+S△PAB=S△ABC，

则[S△PBCS△ABC][+S△PACS△ABC][+S△PABS△ABC]=1。 ②

因为[S△PBDS△ABD]=[PDAD]，[S△PDCS△ADC]=[PDAD]（高相等，三角形面积之比等于底之比），

所以[S△PBD+S△PDCS△ABD+S△ADC]=[PDAD]，

即[S△PBCS△ABC]=[PDAD]。 ③

同理可得[S△PABS△ABC]=[PFCF]。 ④

[S△PACS△ABC]=[PEBE]。 ⑤

将③、④、⑤相加，得

[S△PBCS△ABC]+[S△PABS△ABC][+S△PACS△ABC]=[PDAD][+PFCF][+PEBE]。

由②得：[PDAD][+PFCF][+PEBE]=1。

由简单的三角形面积公式和比例的性质，我们得到了这样一个较为复杂的结论。这个问题还可以继续衍生下去。AP、CP、BP的延长线与三角形三边的交点为D、F、E，它们将三角形三边分成了六条线段，这六条线段之间有没有特殊的数量关系呢？

塞瓦定理告诉我们[DCDB]·[FBFA]·[EAEC]=1。如何证明呢？

证明：[DCDB=S△ADCS△ABD=S△PDCS△PBD=]

[S△ADC-S△PDCS△ABD-S△PBD=S△APCS△ABP] ⑥。

同理可得：[FBFA=S△BPCS△APC] ⑦，

[EAEC=S△ABPS△BPC] ⑧。

将⑥、⑦、⑧相乘即可得到[DCDB]·[FBFA]·[EAEC]=1，这个看似复杂的定理仍然是由简单的三角形面积公式和比例的性质得到。

看似平凡的三角形内的一点，藏着多少神奇和奥秘！一个基本图形就像一个万花筒，稍一转动，就能变幻多端、绽放光彩，其实只有几片不起眼的涂色纸片而已。

（作者单位：江苏省无锡市西漳中学）