立足基本模型 突破函数综合

杨昆华

函数是高中数学内容的主干知识，是高考考查的重点.函数问题多与导数、数列、不等式相结合，侧重考查理解和应用，突出考查函数与方程的思想、数形结合的思想、分类讨论的思想等数学思想方法，体现能力立意的高考命题原则.

由于函数考查的综合性强，方法灵活，数学能力要求高，所以在历年的高考中函数的综合问题均以压轴题的形式出现，其中函数与不等式的证明是高考数学的重点和难点.如何突破这一难点？一个重要的办法是立足基本模型，挖掘模型背后的数学本质，把复杂的问题分解为几个小的简单问题，以达到转化问题、解决问题的目的.

一、源于教材，挖掘基本模型的数学本质

人民教育出版社高中新课程教材理科《数学》（选修2-2）第32页，文科《数学》（选修1-1）第99页，都有这样的问题：利用函数的单调性，证明下列不等式：

（1）ex>x+1（x≠0）;（2）lnx0）.

看似简单的练习，其实背后隐藏着深刻的数学本质.首先，我们来看第一个不等式ex>x+1（x≠0）.不等式的右边表示直线y=x+1，而该直线就是函数f（x）=ex在x=0处的切线，当x=0时取“=”号.从图象的直观性来看，直线y=x+1位于f（x）=ex的图象的下方，在x=0处相切，如图1.

同理，另一个不等式lnx

综合不等式ex≥x+1和lnx≤x-1可得：涉及指数函数f（x）=ex与对数函数f（x）=lnx相关综合的不等式，可借助一次函数y=x±1及夹在两直线y=x±1间与之平行的直线过渡，从而达到转化的目的，如图3.

其实，两个重要的不等式ex≥x+1和lnx≤x-1更可追溯到高等数学的泰勒展开式ex=1+x++……，ln（x+1）=x-+…….泰勒展开式很好地把超越函数与中学的初等函数联系起来，而找到超越函数与初等函数的联系，往往是导数命题的重要形式.截取泰勒展开式的片段，可得不等式ex≥x+1，lnx≤x-1（x≥0）.所以，我们可把不等式ex≥x+1，lnx≤x-1（x≥0）作为转化与划归的基本模型.

二、应用基本模型，巧妙破解函数综合问题

例1（2018年全国卷Ⅰ文科·21）已知函数f（x）=aex-lnx-1.

（Ⅰ）x=2是f（x）的极值点，求a，并求f（x）的单调区间;

（Ⅱ）证明：当a≥，f（x）≥0.

分析：重点分析第（Ⅱ）问，因为a≥，所以aex-lnx-1≥ex-1-lnx-1.如果能证明ex-1-lnx-1≥0，则f（x）≥0.从要证明的不等式ex-1-lnx-1≥0的结构来看，含有指数函数和对数函数的形式，再联想基本模型ex≥x+1，lnx≤x-1（x≥0），由ex≥x+1得ex-1≥x①，由lnx≤x-1得-lnx≥1-x②，所以①②相加得ex-1-lnx≥1，所以ex-1-lnx-1≥0成立，所以f（x）=aex-lnx-1≥ex-1-lnx-1≥0，即f（x）≥0.

例2（2018年全国卷Ⅲ文科·21）已知函数f（x）=.

（Ⅰ）求曲线y=f（x）在点（0，-1）处的切线方程;

（Ⅱ）证明：当a≥1时，f（x）+e≥0.

分析：重点分析第（Ⅱ）问，要证明f（x）+e≥0，即证明ex+1

+ax2+x-1≥0，不等式的左边含有指数型和二次函数型，再联想基本模型ex≥x+1，由ex≥x+1得ex+1≥x+2.所以，若能证明（x+2）+ax2+x-1≥0，即证明ax2+2x+1≥0成立，那么f（x）+e≥0成立.由于ax2+2x+1=a（x+）+（1-），而a≥1，所以ax2+2x+1≥1-≥0.这样，f（x）+e≥0就得到了证明.

从2018年全国卷Ⅰ和Ⅲ文科最后的函数综合压轴题的命题特点来看，函数模型立足指（对）数函数与多项式函数间的联系.把复杂问题转化为简单的基本问题是解决问题的关键，而两个基本模型ex≥x+1，lnx≤x-1（x≥0）起到了构造函数及不等式的重要作用.

三、强化模型意识，研究函数综合问题的命题思路

函数与不等式的综合，尤其是复杂不等式的证明，构造函数转化是关键.两个基本模型ex≥x+1，lnx≤x-1（x≥0）是基础，但基本模型往往在问题中比较隐蔽.这就需要我们有构造模型的意识，牢牢抓住转化与划归的思想方法，把复杂的问题转化为我们熟悉的基本问题来处理.在平时的训练中，教师以高考真题做变式可起到强化学生模型意识的作用.

例3 已知函数f（x）=.

（Ⅰ）求f（x）的单调区间;

（Ⅱ）设g（x）=x（x+1）f ′（x）（其中f ′（x）为f（x）的导函数），证明：对任意x>0，g（x）<1+e-2.

分析：重点分析第（Ⅱ）问，由g（x）=x（x+1）=，不等式的左边含有指（对）数型，观察到形式，联想基本模型ex≥x+1，由ex≥x+1得<1，所以可以考虑放缩;又关注到1-x-xlnx的正负，所以需要分类讨论.①当x≥1时，1-x≤0，lnx≥0，x+1>0，ex>0，所以g（x）≤0<1+e-2.②当00;当x∈（e-2，1）时，p′（x）<0.所以，当00，g（x）<1+e-2恒成立.

例4 （2017年全国卷Ⅲ理科·21）已知函数f（x）=x-1-alnx.

（Ⅰ）若f（x）≥0，求a的值;

（Ⅱ）设m为整数，且对于任意正整数（

1+）（

1+）…（1+）

分析：第（Ⅰ）问的本质就是基本模型lnx≤x-1（x≥0），而第（Ⅱ）问体现了基本模型在构造函数、赋值比较大小上的重要作用，体现了高等数学学习所需要的数学思想.从中我们可以看到lim（

1+）=e这一高等数学中的重要极限的影子.

◇责任编辑 邱 艳◇