具Stokes阻尼项的六阶非线性波动方程整体解的存在性与解的爆破

华 洋， 王 颖

（电子科技大学 数学科学学院，四川 成都611731）

1 引言与预备知识

近年来，国内外学者对KdV方程的初值问题进行了大量研究，该方程模拟平面波在几种非线性色散介质中的单向传播，但不能预测高振幅波的动向.因此，Rosenau［1-2］提出了Rosenau方程自然地想到在初始能量E（0）＜0，E（0）＝0，E（0）＞0时对方程的整体解进行研究.结合初值条件，本文主要研究如下具有Stokes阻尼项的六阶非线性波动方程

考虑到由系统内部发生的不可逆过程引起的内部摩擦，由文献［3］知，耗散函数依赖于相对位移的时间导数引出具有流体动力阻尼项的Rosenau方程文献［4］研究了（1）式的Cauchy问题小振幅解的整体存在性.基于相对应线性方程（1）的解的衰减估计和Banach不动点定理，文献［5］证明了（1）式在初值条件t＝0，u＝v0（x），ut＝v1（x），x∈Rn下解的整体存在性和渐近性，其中v0（x）∈W˙-2γ，q，Cauchy问题解的爆破及其在超临界初始能量E（0）＞0时整体解的存在唯一性，其中u（x，t）为未知函数，f为非线性函数，φ（x）与ψ（x）为已知的初始函数，ν为常数.本文将采用文献［7］中的方法，构建新的势阱来讨论问题.在本文中分别用Lp和Hs来表示空间Lp（Rn）和空间Hs（Rn），其范数为.若将流体动力阻尼项νΔut替换为Stokes阻尼项νut，则可得到非线性波动方程

文献［6］主要在小初值条件下利用压缩映射原理研究了上式的衰减性，而并未提及初始能量.所以很

为了在任意正能量时得到解的整体存在性，定义如下空间：

2 整体解的存在唯一性

3 解的爆破

下面讨论问题（2）（3）解的爆破［15-16］.

定理1.3的证明 不妨设φ∈V，u（t）是问题（2）在E（0）＞d，u0∈V时的解，则由引理2.4知u（t）∈V.假设u（x，t）是全局解的这一命题矛盾.对任意T1＞0，定义

定理得证.