高阶Allen-Cahn系统吸引子的正则性

潘娇娇， 罗 宏

（四川师范大学 数学科学学院，四川 成都610066）

Allen-Cahn方程由文献［1］引入，用于描述微观扩散运动，在反映扩散问题和材料流体动力学中有广泛应用，如图像修复处理［2］、肿瘤生长［3］、随机扰动［4］和晶体模型问题［5-6］等.该方程已有相关研究，Maicon［7］研究了在诺伊曼边界条件下的一维Allen-Cahn方程，证明了解的存在性以及该系统在H1a（0，1）中至少存在一个非常数稳态解.刘桂兰［8］考虑了具有非局部项的Allen-Cahn方程的初边值问题，利用Schauder不动点定理得到了该初边值问题解的存在性.

本文研究高阶Allen-Cahn系统的初边值问题

Cherfils等［9］研究了系统（1）在L2（Ω）空间中吸引子的存在性，本文利用算子半群理论和迭代方法研究系统（1）在Hγ（γ＞0）空间中全局吸引子的存在性，该方法广泛地应用于数学物理问题［10-13］.

1 预备知识

其中Hα＝D（Lα）是Lα的定义域.由算子半群理论

可知，对于∀α＞β，Hα⊂Hβ是一个紧嵌入.

定义线性算子L：H1→H和非线性算子G：H1→H

2 主要结论

其中，β＝α，0＜β＜1，C＞0是与φ无关的常数.使用迭代方法可得‖u（t，φ）‖Hα≤C，α≥0对∀t≥T，φ∈U成立，即对∀α≥0，系统（1）在Hα中存在有界吸收集，定理2.5得证.

最后，由引理1.4、定理2.4和定理2.5可以得到本文的主要定理2.6.

定理2.6 若φ∈Hγ，则系统（1）在空间Hγ（∀γ≥0）中存在全局吸引子.