基于解析方法的开裂水泥混凝土路面动力响应

高嫄嫄,王维玉,赵庆新,焦彦鹏

(1. 燕山大学 建筑工程与力学学院,河北 秦皇岛 066004; 2. 河北省建筑科学研究院,河北 石家庄 050021)

水泥混凝土路面中的板底自下而上裂缝是其在使用过程中由车辆荷载所引起的一种疲劳破坏形式.裂缝出现后,由于裂缝尖端的应力集中现象将会加速裂缝扩展,进而影响水泥混凝土路面的使用寿命.因此,有必要对影响这类裂缝扩展的因素开展相关的研究工作.为了预估水泥混凝土路面中裂缝扩展的情况,Maitra等[1]采用虚构裂缝的方法建立裂缝在水泥混凝土路面中扩展的数值计算模型,计算车辆荷载在路面内产生的应力,对影响裂缝扩展的原因进行分析.Gotlif等[2]利用有限元软件建立了含有一定深度裂缝的水平受限和不受限情况下的水泥混凝土路面的理论分析模型,并对路面的受力状态进行研究.通过有限元软件建立含裂缝水泥混凝土路面的理论分析模型,并对路面受力状态及影响裂缝扩展的因素进行研究是一种十分有效的方式,已经取得了很多研究成果[3-5].通过有限元法获得的结果有时不易为路面结构设计所应用,而解析法在一定程度上可以有效地解决这一问题.目前,一些学者通过解析的方法对水泥混凝土路面在车辆荷载作用下的动力特性开展了相关的研究工作[6-9],但是这些研究都是针对完好的水泥混凝土路面结构,对于路面含裂缝的情况没有加以考虑.

在以往的研究中多将车辆荷载简化为静荷载处理,但是有研究[10-12]表明车辆在行驶过程中使路面结构产生的动力效应要远大于将车辆荷载视为静荷载所产生的应力.一些学者针对路面在车辆荷载作用下的动力特性开展了相关的研究工作[13-15].但是,大部分研究也都是针对完好的水泥混凝土路面,对含有裂缝水泥混凝土路面裂缝尖端动力特性的研究还相对较少.

本次研究以断裂力学理论为基础,建立板底有裂缝的水泥混凝土路面理论分析模型,考虑车辆荷载的作用效应,通过解析的方法对问题进行求解,获得路面结构动力响应及裂缝尖端动应力强度因子的解析表达式及数值解,对影响裂缝扩展的主要因素进行研究.

1 模型的建立

将板底含裂缝的水泥混凝土路面简化为Winkler地基上的弹性板,如图1所示.其中h为水泥混凝土路面的厚度,x为水泥混凝土路面深度方向,y为水泥混凝土路面纵向方向,γ为地基模量,P(y)为车辆静荷载.为考虑车辆荷载所以引起的路面结构的动力特性并简化公式推导过程,将车辆荷载视为P(y)H(y).其中H(t)为Heaviside单位阶跃函数;L为荷载作用范围;a和b为裂缝两端点到路表面的竖向距离,对于板底出现裂缝的情况b=h.

图1 含裂缝水泥混凝土路面计算模型

为简化公式推导过程,由线弹性叠加原理,可将图1所示模型简化为三部分叠加的形式,如图2～4所示.图2所示子模型一为水泥混凝土路面不含裂缝且路面作用有车辆荷载的问题,图3所示子模型二为水泥混凝土路面含有裂缝且裂缝表面作用有对称荷载的问题,图4所示子模型三为水泥混凝土路面含有裂缝且裂缝表面作用有反对称荷载的问题.三个子模型叠加等价于图1所示模型问题.由于子问题一的求解过程相对简单,子问题二和子问题三的求解过程相类似,所以本次以子问题二的公式推导过程为例说明问题的求解过程.由线弹性叠加原理,子问题二中裂缝表面作用荷载与子问题一在同一位置同一时刻产生的应力大小相等且方向相反,即p(x,t)=-σyy(x,0,t).

子问题二所示模型边界条件为

σxx(0,y,t)=0, -∞

(1)

图2 子模型一Fig.2 Sub-model 1

图3 子模型二

图4 子模型三

2 子问题二的求解

平面动力问题的位移控制平衡方程可以统一表示为

其中：u为沿x方向位移;v为沿y方向位移;t为时间变量;c11=G(1+k)/(k-1);c22=G(1+k)/(k-1);c12=G(3-k)/(k-1);c66=G;G为剪切模量,对平面应力问题k=(3-μ)/(1+μ),对平面应变问题k=3-4μ,μ为泊松比.

子问题二属于平面应变问题,即k=3-4μ.

为求解位移控制方程组(9)和(10),对方程组中时间变量t做Laplace变换,可以得到

对偏微分方程组(11)和(12)中变量x和y分别做Fourier积分变换,将偏微分方程组转化为常微分方程组进行求解,并经过Fourier积分逆变换可以得到位移在频域内的一组解：

其中：A1j、A2j分别为s和α的函数(j=1,…,4),

Re(λmj)≥0, (j=1,2)

Re(λmj)<0, (j=3,4)

由胡克定律应力与位移的关系,应力可以表示为

(15)

(16)

(17)

其中:

为公式推导方便,引入位错密度函数,其定义为[16]

(18)

由边界条件式(8)可以得到

A1j=0 (j=3,4)

(19)

将位移和应力的表达式代入到边界条件式(6)和(7)及位错密度函数定义式中,通过留数定理计算复杂积分,整理可得

(20)

式中:

将位移及应力表达式代入到边界条件式(1～4)中,对等式两边做Fourier积分变换,运用留数定理计算复杂积分,整理可得

(21)

(22)

(23)

(24)

方程组(21～24)可以表示为

(25)

其中：R1(u,α,p)、R2(u,α,p)、R3(u,α,p)和R4(u,α,p)是变量u、α和p的函数.

解式(25)所示方程组可以得到A21、A22、A23和A24的具体表达式,将C1jC2jA1j和A2j代入到边界条件式(5)中,化简整理可得

(26)

式中：

其中:

k∞(u,x,α)=e-(x+u)α(2-xα-3uα+2xuα2)

所以方程式(26)可以表示为

(27)

(28)

(29)

式中：ωj为权函数,ωj=π/(n-1),j=2,…,n-1；ω1=ωn=π/2(n-1)；rj=cos[(j-1)π/(n-1)],j=1,…,n；si=cos[(2i-1)π/(2n-1)],i=1,…,n-1.

由位错密度函数的性质,对于平面内部含有裂缝的问题可以得到补充方程：

(30)

求解线性方程组式(29)和式(30),可以得到问题的数值解.

由应力强度因子的定义式,对于Ⅰ型裂缝应力强度因子可以表示为：

(31)

其数值解可以表示为

(32)

按照同样的方法可以获得子问题三的解,即Ⅱ型裂缝的应力强度因子,其定义式为

(33)

通过Crump[17]提出的Laplace数值积分逆变换可将得到的频域内的动应力强度因子转化为时域内的动应力强度因子.

3 计算实例分析

为验证公式推导的正确性,将子模型二中γ=0,p(x,t)=σ0H(t)时的计算结果与文献[18]的结果进行对比,计算结果如图5所示.从图5的计算结果可以看到,本次的计算结果与文献的计算结果基本吻合,也证明了本次所采用问题求解方法的有效性.

图5 与文献[18]对比应力强度因子KI的计算结果Fig.5 Calculation results of dynamic stress intensity factors KI comparing with literature [18]

图6 不同裂缝长度裂缝尖端a动应力强度因子KⅠa的计算结果(l=0 m)Fig.6 Calculation results of dynamic stress intensity factors KⅠaat crack tip a with different crack length (l=0 m)

图7 不同荷载位置裂缝尖端a动应力强度因子KⅠa第一个峰值计算结果(d=0.03 m)Fig.7 Calculation results of first peak value of dynamic stress intensity factors KⅠaat crack tip a with different load position (d=0.03 m)

图6～8为裂缝尖端a的Ⅰ型应力强度因子分别在在考虑不同裂缝长度、不同荷载位置和不同路面结构层模量比的计算结果.从图6的计算结果中可以看到动应力强度因子在经过短时间的振荡后迅速到达第一个正的峰值.在其它条件都不变的情况下动应力强度因子随着裂缝长度的增加而增大,并且更快的出现第一个峰值.因此,裂缝长度是衡量其是否继续扩展的一个重要因素.图7的计算结果是考虑荷载位置对裂缝尖端动应力强度因子大小的影响,从图中可以看到在l=0 m时,即荷载关于裂缝对称的时候应力强度因子的峰值出现最大值,对于抑制Ⅰ型裂缝的扩展是最不利的荷载位置.图8中的虚线和实线分别代表在其它参数都不变的情况下面层模量和土基模量固定时动应力强度因子第一峰值计算结果随模量比的变化情况.可以看出应力强度因子随模量比的降低而减小,特别是当面层模量降低时这种趋势更明显,所以面层模量的大小对于抑制Ⅰ型裂缝自下而上的扩展至关重要.

图8 不同面层与基层模量比裂缝尖端a动应力强度因子KⅠa第一个峰值计算结果 (l=0 m,d=0.03 m)Fig.8 Calculation results of first peak value of dynamic stress intensity factors KⅠa at crack tip a with different modulus ratio of cement concrete pavement to foundation (l=0 m,d=0.03 m)

图9～11为裂缝尖端a的Ⅱ型应力强度因子分别在考虑不同裂缝长度、不同荷载位置和不同路面结构层模量比的计算结果.从图9的计算结果中可以看到,Ⅱ型裂缝同Ⅰ型裂缝计算结果有同样的变化趋势,当裂缝长度增加时动应力强度因子值增大.裂缝长度增加使动应力强度因子更快到达第一个峰值,一方面是由于裂缝长度变化时裂缝尖端a的位置更靠近路面,另一方面是振动波的传播与材料参数、几何形状等因素相关.图10 是荷载位置对动应力强度因子计算结果的影响,从图10中可以看到对于Ⅱ型裂缝最不利的荷载位置是l=0.15 m,即裂缝出现在荷载边缘的情况.从图11的计算结果可以看出Ⅱ型动应力强度因子与Ⅰ型动应力强度因子随结构层模量比的变化有相反的趋势,在土基模量保持不变的情况下,Ⅱ型动应力强度因子随模量比的增大而减小.

图9 不同裂缝长度裂缝尖端a动应力强度因子KⅡa的计算结果(l=0.15 m)Fig.9 Calculation results of dynamic stress intensity factors KⅡaat crack tip a with different crack length (l=0.15 m)

图10 不同荷载位置裂缝尖端a动应力强度因子KⅡa第一个峰值计算结果 (d=0.03 m)Fig.10 Calculation results of first peak value of dynamic stress intensity factors KⅡa at crack tip a with different load position (d=0.03 m)

图11 不同面层与基层模量比裂缝尖端a动应力强度因子KⅡa第一个峰值计算结果 (l=0.15 m,d=0.03 m)

4 结论

本次以断裂力学理论为基础,开展板底开裂水泥混凝土路面在车辆荷载作用下动力特性的研究.通过两类积分变换、位错密度函数的引入、留数定理计算复杂积分、Lobatto-Chebyshev求积公式求解奇异积分方程及Laplace数值积分逆变换等数学技巧,获得含裂缝水泥混凝土路面动力问题的解析表达式及数值解.通过实例计算结果可以获得一些规律性的认识：

1) 裂缝长度是影响板底裂缝向上扩展与否的一个重要因素,同时也影响了振动波在路面中传播的速度.

2) 对于Ⅰ型裂缝,荷载关于裂缝对称时是最不利的荷载位置.对于Ⅱ型裂缝,在l=0.15 m 是最不利的荷载位置.

3) 面层与土基模量比对抑制两类裂缝的扩展有相反的影响趋势,但面层的模量对Ⅰ型裂缝的扩展影响最大.