电场对InAs/InAlAs圆形截面量子线中激子态的影响*

李 雪,王海龙，胡 敏，贾召赛，曹 鑫

（曲阜师范大学，山东 曲阜 273165）

0 引言

近年来，随着低维半导体材料的发展以及分子束外延（MBE）、金属有机化合物气相沉积（MOCVD）等技术的成熟，人们对低维半导体结构的制备和表征进行了大量的工作。低维半导体材料所具有的独特的电、磁、光、力学等物理特性[1-6]使其在光电器件的制备和应用方面展现出很大的潜力[7-20]。其中，Ⅲ-Ⅴ族窄带隙半导体材料InAs具有电子迁移率高、有效质量小和自旋轨道耦合强等特点，是制备高速低功耗电子器件、红外电子器件和自旋电子器件的理想材料。其异质结构InAs/InAlAs系统的导带不连续性大，电子有效质量小，有利于提高电子量子化程度和电子相干性，适合制备高速、微波甚至毫米波场效应器件。

激子效应对于半导体光电器件的设计与制备有重要影响，因此有不少学者对激子进行了相关研究[21-25]。与体材料相比，一维量子线中的载流子在二维空间中受限，在三维空间中可以自由移动，即载流子被限制在纳米尺度的线性区域内，激子效应更强，在半导体激光器、红外光探测器等器件的制备方面得到了实际应用，引起了研究人员的广泛关注。

在之前的工作中，采用变分法已经研究了InGaAsP/InP不同结构中的激子态[26-28]，在此基础上，本文主要研究InAs/InAlAs圆形截面量子线中的激子态，并且重点计算了组分、量子线半径、电场强度对激子结合能和发射能的影响，为InAs/InAlAs光电器件的设计提供一定的理论依据。

1 理论方法

定义量子线长和电场方向沿着z轴，图1给出了量子线在x-y平面的截面图。在有效质量包络函数近似下，激子体系的哈密顿量可以表示为：

图1 x-y平面内InAs/InAlAs量子线的横截面

式中，He(h)代表电场作用下的电子（空穴）的哈密顿量，这两项的具体形式为：

式中，R是量子线半径。

He-h是电子-空穴的相互作用项（包括电子和空穴在x-y平面内相对运动的动能和电子与空穴之间的库仑势能），即：

式中，P⊥表示相对运动平面上的动量算符，μ是x-y平面的约化质量，ε为材料的介电常数，r是电子和空穴之间的距离，可分别写为：

试探波函数采用如下形式[29]：

式中，ψe(re)和ψh(rh)是电子和空穴的本征函数，满足方程：

ψr是一种类氢波函数，代表电子与空穴的相互作用，表达式为：

式中，λ是波尔半径，作为变分参数来最小化系统的总能量，r´代表相对运动，形式为：

激子体系满足薛定谔方程：

综上，总的激子能量的期望值为：

2 结果与讨论

研究对象为InAs/InxAl1-xAs量子线中的重空穴激子，计算过程中带阶取为67:33，其他物理参数与In组分x的关系为[30]：

图2 不同电场强度下InAs/In0.95Al0.05As量子线中量子限制势和波函数随位置的变化

图2所示为不同电场强度下InAs/In0.95Al0.05As量子线中量子限制势和波函数的变化，可以看出，加入电场后，量子限制势的对称性被破坏，并且这种变化是线性的，与式（2）和式（3）中项有关。还可以看出，电场的存在使波函数发生了右移，这表示电子更容易向右穿透势垒。此外，电场强度越大，量子限制势和波函数的变化越明显。

图3显示了不同量子线半径下电子和空穴分离的非相关概率的变化情况。非相关概率是指沿着生长轴找到间隔为一定距离的电子和空穴的不相关概率（也就是在计算过程中可以忽略电子-空穴库仑相互作用）。可以看出，随着量子线半径的增大，非相关逐渐减小，并且电子与空穴之间的距离越小，非相关概率的变化越快。这是因为电子和空穴之间的距离越大，库仑相互作用就越弱，非相关概率变小。此外，由于库仑相互作用与粒子间距离的平方成反比，因此距离越小，非相关概率变化得越快。

图3 不同半径下InAs/In0.95Al0.05As量子线中非相关概率随距离的变化

图4显示了电场为0 kV/cm和5 kV/cm时，不同Al组分下的激子结合能与量子线半径的变化关系。从图4（a）中可以看出，激子结合能随量子线半径的减小呈现先增大后减小的变化趋势，在4 nm左右出现最大值。这是因为半径从较大值开始减小时，波函数被压缩，量子线对粒子的限制作用变强，导致电子和空穴之间的距离变小，从而激子结合能开始增大。当半径减小到4 nm左右时，电子和空穴之间的库仑相互作用和量子限制作用最强，因此激子结合能出现最大值。随着半径的继续减小，量子线对粒子的限制作用开始减弱，系统的波函数开始向势垒中渗透，使得电子和空穴之间的库仑相互作用变弱，激子结合能逐渐减小。此外，从图4（a）中还可以看出，Al组分含量越高，激子结合能越大，这是因为Al组分含量的增加导致了更大的带隙，提高了量子限制效应。图4（b）与图4（a）的变化趋势基本一致，5 kV/cm的电场对激子结合能的影响不是很大。为了更明显地看到二者的差别，图4（c）给出了二者的差值，可以看到激子结合能的变化为0～0.75 meV，并且只有在量子线半径过小或过大时，这种差异才较为明显，这是因为当量子线半径很小或很大时，电场效应占主导地位。

图5给出了不同电场强度下InAs/In0.95Al0.05As量子线中激子结合能与半径的关系。可以看出，当F取0 kV/cm、5 kV/cm以及10 kV/cm时，激子结合能随量子线半径的减小都呈现先增大后减小的趋势，这是因为外加电场较小时对量子限制势和波函数影响较小，所以电子和空穴受到的影响也较小，激子结合能变化趋势一致。而当F取50 kV/cm时，激子结合能不再随半径的变化而变化，这是因为电场越大，电子和空穴之间的库仑相互作用越弱，激子效应被破坏，激子结合能变得非常小，并且电场对激子的影响远远超过量子线半径对激子的影响。

图4 不同Al组分下激子结合能随量子线半径的变化和激子结合能的差值

图5 不同电场强度下InAs/In0.95AL0.05As量子线中激子结合能随量子线半径的变化

图6为InAs/In0.95Al0.05As量子线取不同半径时激子结合能随电场强度的变化情况。可以看出，激子结合能随电场强度的增加呈现逐渐减小的趋势，并且量子线的半径越大，这种变化越明显。这是因为量子线半径越大，对载流子的约束作用越小，电子和空穴之间的库仑相互作用越弱，因此激子更容易受到外加电场的影响。然而在量子线半径较小的情况下，电子和空穴之间的库仑相互作用较强，在一定程度上克服了电场的影响，激子结合能变化不大。

图6 不同InAs/In0.95Al0.05As量子线半径下激子结合能随电场强度的变化

图7给出了发射能与量子线半径以及外加电场强度的关系。从图中可以清楚地看到，发射能随着量子线半径和电场强度的增加而减小，这是因为当量子线半径或电场强度增加时，粒子的能级变低，有效带隙减小，所以发射能减小。

图7 InAs/In0.95Al0.05As量子线中发射能随电场强度和量子线半径的变化

3 结语

本文在有效质量近似下采用变分法计算了InAs/InxAl1-xAs量子线中的激子结合能和发射能，考虑了组分和量子线半径取不同值的情况，同时也讨论了外加电场对激子结合能、发射能的影响。从计算结果可以看出,由于库仑相互作用和量子限制作用的变化,激子结合能随量子线半径的减小呈现先增加后减小的趋势，在4 nm左右出现最大值；Al组分的增加引起带隙的增加，从而导致激子结合能增加；较小的电场对激子结合能的影响不大，然而当电场较大时会破坏激子效应，降低激子结合能；量子线半径或电场强度的增大都会使发射能减小。计算结果可以为InAs/InAlAs光电器件的设计提供一定的理论依据。