基于条件延期支付和现金折扣的零售商最优订货与付款策略

江文辉,王亚娜，徐 菱+,李延来,丁小东

(1.西南交通大学 交通运输与物流学院，四川 成都 611756;2.西南交通大学 综合交通运输智能化国家地方联合工程实验室，四川 成都 611756；3.中国铁道科学研究院集团有限公司 运输及经济研究所,北京 100081)

0 引言

传统商业交易活动通常假设货物的到达和货款的支付是同时进行的。然而，在当今激烈的市场竞争环境下，供应商通常采用延期支付的促销手段来激励零售商增加订购量，提升市场份额。所谓延期支付是指供应商给零售商一个支付货款的宽限期，在此宽限期内，零售商无需支付货款利息，且可以利用所积累的销售收入获得赚取利息收益，但是超过了该宽限期限仍未能全额交付货款，零售商则需要为未售出的商品支付相应的利息。显然，延期支付降低了零售商的库存成本，同时也使得零售商更好地了解产品质量，是企业间重要的短期融资方式，已被广泛应用于各类商业活动中。据报道，英国和美国超过80%的公司以各种信用条款进行产品交易，以增加其销售额和保持竞争力[1];Seifert等[2]通过选取3 383组美国公司的样本，也发现公司的盈利能力与延期支付呈正相关。

伴随延期支付的普遍使用，国内外学者基于延期支付来研究库存控制问题,取得了较为丰富的研究成果。Goyal[3]首次将延期支付的概念引入库存问题中，探讨了延期支付下的EOQ(economic order quality)模型。随后，许多学者从不同角度对该模型进行了拓展与延伸，Aggarwal等[4]将文献[3]的模型扩展至呈指数变化的变质品情形;Jamal等[5]又进一步考虑缺货情形，使得库存模型具有更强的适用性;Huang等[6]和Teng等[7]假定供应商向零售商提供延期支付的同时，零售商也会给消费者提供一个滞后付款期限，进而建立了两层次延期支付的库存模型;Liao[8]基于EOQ框架研究了两级商业信用下易逝品的库存策略;Teng等[9]考虑线性时变递增需求函数,探讨了延期支付下的EOQ模型;Chen等[10]针对具有最大生命期限的变质品，同时假定商业信用期影响需求且存在消费者违约风险，以平均利润最大化目标构建了两级商业信用环境下零售商的最优库存和商业信用期决策模型;秦娟娟[11]假定市场需求满足斜坡式时间函数，基于时变供需环境探讨了商业信用下零售商最优订货策略。相关研究学者还包括Tiwari等[12]、魏广明等[13]、张冲等[14]、Yu等[15]、Mahata等[16]、Lin等[17]等。

上述研究均基于固定商业信用期进行库存建模，但现实中供应商为了鼓励零售商增加订货量，往往向其提供一个与订货量相关的延期支付条款。Chang等[18]最早考虑当零售商的订货量大于或等于某特定阈值时，可以享受供应商提供的延期支付优惠，否则需要立即支付全部货款，并基于该情境建立相应的EOQ模型;Huang等[19]考虑当零售商的订货量达到某特定阈值可以享受全部货款的延期支付，否则只能部分货款延期支付，拓展了文献[18]的模型。随后，Chen等[20]针对Huang等[19]在核算利息中的不足进行了修正，同时提出一种比微分法更简单的几何方法，完成了对模型的求解;Tiwari等[21]又进一步将文献[19]和文献[20]的模型拓展到缺货情形;Pourmohammad等[22]考虑当零售商的订货量达到某特定阈值可以享受部分货款的延期支付而剩余货款需要等批次提前支付，否则零售商必须将全部货款等批次提前支付，进而基于该混合支付模式研究允许缺货且短缺量全部延迟订购的EOQ模型。

此外，供应商在使用商业信用时，为加快资金周转会催促销售商及时付款，减少坏账损失，往往在实施延期支付政策的同时，也对零售商实施现金折扣激励。具体地，供应商为零售商提供一个小于延期支付时限的价格折扣期，如果零售商选择在价格折扣时限内支付货款将享受价格折扣，否则原价支付。Huang等[23]首次探讨了该信用机制下的EOQ模型;Ouyang等[24]和李明芳等[25]以EPQ框架为基础，研究了现金折扣下的零售商的最优订购和付款策略;刘冀琼等[26]构建了现金折扣情形下变质品的两货栈库存模型;Ho等[27]和Giri等[28]均假定市场需求受价格影响，基于现金折扣条件分别探讨了整合库存模型中的联合定价、生产批量策略以及付款策略。

通过对现有研究成果的分析可知，条件延期支付和现金折扣这两种商业信用条款，已逐渐得到学者的关注，但现有模型均是基于条件延期支付或现金折扣进行库存建模，尚无学者将二者结合起来构成组合商业信用条款进行研究。因为这种组合的商业信用条款不仅能激励零售商增大订货量，还能促使其尽早支付货款，从而加快供货商的资金周转、降低坏帐和赖账风险，实现双赢，所以考虑条件延期支付和现金折扣的组合信用条款进行库存建模具有很大的研究价值，同时也更加贴近现实情形。此外，上述研究成果在进行库存建模时，大多假设补货率无穷大，即零售商可进行非瞬时补货。然而，在实际商业运营中，零售商非瞬时补货的例子很常见，如当零售商的订货量较大时，补货往往需要耗费一定的时间才能完成。因此，非瞬时补货的假设更贴近现实情形。事实上，非瞬时补货不仅能够降低零售商的平均库存水平，还能够减缓供应商补货的压力，从而降低整个供应链系统的成本，提高供应链系统运作效率[29]。

鉴于此，本文创新性地提出了基于条件延期支付和现金折扣的组合商业信用条款，并同时考虑非瞬时补货这一现实情形，以平均成本最小化为目标构建相应的库存模型。本文的主要贡献为：

(1)首次考虑条件延期支付和现金折扣的组合信用条款进行库存建模，丰富了现有研究内容。

(2)在库存模型构建中完整的考虑了所有的决策情形，并分情形建立相应的目标函数。

(3)从理论上证明了最优解的存在性和唯一性，并利用EPQ的基本理论解释了相关表达式的经济含义。

(4)给出了用以确定零售商最优订货和付款策略的算法，并对模型进行了数值求解和相关参数的灵敏度分析，获得了相应的结论和管理启示。

1 符号说明与基本假设

1.1 符号说明

本文建模将用到的符号描述如下：A为零售商的固定订货成本；h为单位产品单位时间的库存持有成本(不计利息成本)；D为年需求率；P为年补货率，且ρ=1-D/P>0;c为产品的单位采购成本；s为产品的单位零售价格；Ip为单位库存单位时间的利息支付率；Ie为单位库存单位时间的利息收入率；M1为供应商提供的现金折扣时限；M2为供应商提供的延期支付时限，且M2>M1；β为供应商给予零售商的现金折扣比率，即零售商选择在M1时刻支付货款时，可享受的采购价格折扣比例，0<β<1，且s>c>(1-β)c；W为允许零售商延期支付的订货量阈值；Q为零售商的订货量(决策变量)；T为零售商订货周期的长度(决策变量)；t1为一个补货周期内，零售商库存水平达到最大时的时间点(决策变量)；I1(t)为补货期零售商t时刻的库存水平，0≤t≤t1；I2(t)为非补货期零售商t时刻的库存水平，t1≤t≤T；TVC(T)为零售商的年平均成本。

1.2 基本假设

(1)考虑单一产品的库存系统，计划时域无限，不允许缺货。

(2)年需求率为常数，非瞬时补货。

(3)为激励零售商增加订货量同时尽早支付货款，供应商向零售商提供基于条件延期支付和现金折扣的组合商业信用条款，供应商事先设定一个订货量阈值W：

1)若零售商的订购量Q

2)若零售商的订购量Q≥W，则零售商可以享受延期支付且支付货款时间有两个选项：①选择在M1时刻支付货款，可以享有β比例的现金折扣，即采购价格为(1-β)c；②若零售商选择在M2时刻支付货款，不再享有现金折扣，即采购价格仍为c。

(4)为了便于分析，在零售商可以享有延期支付的条件下(即Q≥W)，设定零售商选择在Mj时刻支付货款时，其采购价格为(1-kjβ)c，j=1,2,k1=1和k2=0。显然，若在M1时刻支付货款，单位采购价格为(1-β)c；反之，若在M2时刻支付货款，单位采购购价格为c，与前文一致。

(5)在延期支付时限内，零售商不需要支付货款，同时可以利用销售收入赚取一定的利息，利息收入率为Ie；同样地，零售商需要为超出延期支付期限未售出的库存支付一定的利息，利息支出率为Ip。

2 模型构建

基于上述分析与假定，本文探讨的库存系统运作过程如下：在初始状态，零售商的库存水平为零，然后零售商开始补货且补货率为P，在整个补货期间，库存水平以P-D速率持续增加，直至t=t1时刻库存水平达到最大并停止补货。此后，在市场需求的作用下，库存水平不断下降，直至t=T时刻库存水平为零，至此一个补货周期结束，开始下一补货周期运作。

具体地，在时间段[0,T]内，库存水平的变化满足

(1)

(2)

利用边界条件为I1(0)=I2(T)=0，可解得上述微分方程为

I1(t)=(P-D)t,0≤t≤t1;

(3)

I2(t)=D(T-t),t1≤t≤T。

(4)

由I1(t)和I2(t)在t=t1处的连续性，可知零售商库存水平达到最大的时刻为

(5)

以年平均成本最小化为目标函数，对零售商而言，其年平均成本可以表示为：

TVC(T)=年固定订购成本+年采购成本+年库存持有成本(不包括资金成本)-年利息收入+年利息支出。

其中：

(1)年固定订购成本为A/T；

(2)年库存持有成本(不包括资金成本)为

(3)对于年采购成本，由假设(3)可知，存在两种情况：当零售商的订购量Q

考虑T的不同取值，存在以下4种子情形：

由上可知，在该子情形下零售商的年平均成本为

(6)

由上可知，在该子情形下零售商的年平均成本为

sIeD(Mj-T/2)。

(7)

由上可知，在该子情形下零售商的年平均成本为

(8)

由上可知，在该子情形下零售商的年平均成本为

(9)

(10)

类似地，在该情形下，零售的年平均成本函数可以描述为

(11)

在该情形下，零售商的年平均成本函数可以描述为

(12)

综上所述，本文所讨论的问题可以表述为

(13)

3 模型分析与求解

首先将TVCji(T)(i=1,2,3,4)的定义域延拓为(0,+∞)，分别探讨其性质。

由式(6)对TVCj1(T)求其关于T的一阶、二阶导数得

(14)

(15)

同理，由式(7)求TVCj2(T)关于T的一阶、二阶导数为

(16)

(17)

由式(8)求TVCj3(T)关于T的一阶、二阶导数为：

(18)

(19)

由式(9)求TVCj4(T)关于T的一阶、二阶导数为

(20)

(21)

基于上述分析，下面分3种情形对模型进行求解。此外，为了便于分析，定义如下判别项：

引理1

若Δ1≤0，则TVCj1(T)在(0,W/D)上的最小值不存在。

类似于(1)，(2)的证明，易证(3)，(4)成立。综上所述，引理1得证。

利用经典的EPQ模型可以很好地解释引理1的经济含义：易知当零售商的固定订货成本A等于其库存持有成本(包含资金成本)时，可以得到经典EPQ模型下零售商的最优订购量。基于这一理论，有：

对于(3)和(4)，采用同样的论断可以解释其经济意义。

总之，引理1表明零售商的(净)固定订货成本和(净)库存持有成本是影响其制定最优订货策略的两个主要成本结构，零售商在作库存决策时可以通过调整订货量的大小来平衡这两项成本结构，当且仅当二者相等时获得最优订货量。

定理1

(1)若Δ1>0，则有：

(2)若Δ1≤0，则有：

从定理1可以看出，当Δ1>0时，零售商需要对比不享受延期支付和享受延期支付两种情形的年平均成本来选择何种策略。事实上，由引理1(1)可知Δ1>0，表明若不存在延期支付优惠，零售商的最优订购量必定满足Q*W，即订货量必定大于延期支付的门槛值W，此时零售商一定会选择享受延期支付优惠。

显然，基于延期支付的实际商业运营环境下，利用经典EPQ模型得到的最优订货量未必是最优的，此时零售商应该根据具体情境对订货量做出相应的调整。

引理2

证明类似于引理1的证明可得。证毕。

同样地，引理2的经济含义可以根据引理1的方法进行解释(下文引理3同理)。此外，进一步利用引理1(1)、引理1(2)和引理2，可得到定理2。

定理2

(1)若Δ1>0，则有：

(2)若Δ1≤0，则有：

证明由TVCj1(W/D)>TVCj3(W/D)和TVCj3(PMj/D)=TVCj4(PMj/D)，并结合引理1(1)、引理1(4)和引理2，定理2显然成立，不再赘述。证毕。

类似于定理1，可以理解定理2的暗含的经济含义(下文定理3同理)。

引理3

证明类似于引理1证明可得。证毕。

同样地，利用引理1(1)和引理2，可得到定理3。

定理3

(1)若Δ1>0，则有：

(2)若Δ1≤0，则有：

证明由TVCj1(W/D)>TVCj4(W/D)，并结合引理1(1)和引理2，定理3显然成立，不再赘述。证毕。

综合上述定理1～定理3，当零售商选择在Mj时刻付款时，其在不同情形下的最优订购策略及其需要满足的相关条件可以总结为表1。

表1 零售商选择在Mj时刻付款时的最优订购策略总结

进一步，根据表1可建立一个完整的计算过程，为零售商确定M=M1和M=M2两种情况下的最优订购策略，具体算法步骤如下：

算法1

步骤1输入初始参数A,h,D,P,c,s,Ip,Ie,β,W,M1或M2。

根据算法1的计算结果，利用算法2确定零售商的最优订购策略和付款时间，具体算法步骤为：

算法2

实际上，许多现有库存模型可认为是本文所建库存模型的特例，例如：

(1)当P→+∞，β=0，M1=M2且W=0时，本文研究的库存模型将退化为Goyal等[3]的模型。

(2)当P→+∞，β=0且M1=M2时，本文研究的库存模型将退化为Chang等[18]、Huang等[19]和Chen等[20]的模型。

(3)当P→+∞且W=0时，本文研究的库存模型将退化为Huang等[23]的模型。

(4)当W=0时，本文研究的库存模型将退化为Ouyang等[24]、李明芳等[25]的模型。

4 算例分析

本章将通过具体的数值算例来验证所提模型的可行性和算法的有效性。现考虑如下库存系统：假定A=70元，P=5 000单位/年，D=2 000单位/年，s=20元，c=12元，h=2元/年，W=200单位，Ie=0.12元/单位/年，Ip=0.15元/单位/年，M1=10/365年,M2=30/365年，β=0.01。

利用上述算例的基础数据，进一步探讨模型中相关参数对零售商最优订货策略、付款策略以及年平均成本的影响。首先，表2给出了参数W取值变化对零售商最优策略的影响。由表2可知，当W取值较小时(如W<300或W<400)，零售商的最优订货策略和付款策略将不受阈值W的影响，即零售商保持无条件延期支付下的订货策略和付款策略是最优的，表明此时供应商采用条件延期支付的激励机制是无效的;当W取值适中时(300≤W≤500或400≤W≤500)，零售商为享受延期支付会主动增加其订货量且最优订货量刚好等于阈值W，同时零售商的付款时间也会逐渐由M2点支付向M1点支付转变，说明此时该组合信用条款能同时实现激励零售商增加订货量且提前支付货款的目的;当W取值较大时(如W≥600)，虽然可以迫使零售商马上支付货款，但是此时对零售商来说，享受延期支付所获取的额外收益已不足以弥补其持有过高库存所带来的额外成本，因此，零售商将大幅度缩减订货量并主动放弃享受延期支付优惠，表明此时该组合信用条款只能单方面激励零售商提前支付货款，而不能有效激励零售商增加订货量。总之，供应商要想刺激零售商大幅度增加其订货量，同时实现尽早收回货款，减少坏账损失的目的，需要选择一个合适的阈值W，而对于零售商来说，说服供应商降低条件延期支付门槛或选择条件延期支付门槛较低的供应商是其最优的选择。

表2 参数W取值变化对零售商最优策略的影响

其次，表3给出了M1和M2取值变化对零售商最优策略的影响。由表3可知，在给定现金折扣期限M1时，延期支付期限M2越长，零售商的订货量、订货周期和年平均成本均会减少，且付款时间将由M1点向M2点转变。显然，如果供应商给予的现金折扣期限很短，而延期支付期限很长，零售商则会放弃享有现金折扣优惠而选择享有延期支付优惠来赚取更多利息收益，同时零售商缩短订货周期是为了频繁地利用延期支付来获得资金的机会收益。同理，对于给定的延期支付期限M2，现金折扣期限M1越长，零售商的订货量和订货周期会随之增加，而年平均成本会减少，同时零售商的付款时间将由M2点向M1点转变。易知，M1越长表明现金折扣期限M1与延期支付期限M2的时间间隔越短，此时，零售商采用现金折扣支付方式将会获得更多的成本节约。总之，对于零售商来说，当现金折扣期限M1与延期支付期限M2的时间间隔较短时，零售商应该选择在M1点支付货款以充分利用现金折扣来降低成本，反之，零售商应该选择在M2点支付，同时降低订货量，缩短补货周期，以充分利用延期支付期限赚取利息。对供应商来说，采用现金折扣激励零售商尽早支付货款时，一定要注意现金折扣期限M1的设置，否则不仅无法促使零售商尽早支付货款，还将导致自身利润受损，增加坏账风险。

表3 参数M1和M2取值变化对零售商最优策略的影响

续表3

最后，表4描述了现金折扣比例β取值变化对零售商最优策略的影响。由表4可知，当现金折扣比例β过小时(如β=0.005)，零售商的最优策略不变，即现金折扣的激励机制是无效的；当现金折扣比例取值适中时(如β=0.015或β=0.010)，零售商会选择提前支付货款；当现金折扣比例β过大时(如β>0.015或β>0.010)，虽然可以激励零售商尽早支付货款，但此时供应商因提供过高比例的现金折扣，进而给自身带来较大的利润损失，最终将不利于供需双方的长期发展，可认为此时现金折扣的激励机制同样是无效的。由此可见，供应商选择合适的β取值，不仅可以减低零售商的平均成本，还能够促使零售商尽早支付货款同时适当增加订货量，从而加速了供应商的资金周转，减少了供货商的坏账风险，最终实现双方的共赢。此外注意到，在相同的现金折扣比例β取值情形下，现金折扣期限M1和延期支付期限M2的时间间隔越短，零售商的平均成本越低，这就暗示着零售商在面对同等幅度的现金折扣比例下，选择接受现金折扣期限M1和延期支付期限M2的时间间隔较短的现金折扣信用合同是最优的。

表4 参数β取值变化对零售商最优策略的影响

5 结束语

延期支付作为一种重要的短期融资方式，在企业生产经营实践活动中已被广泛使用。供应商向零售商提供延期支付除了能增加销量、降低库存外，还可以与零售商保持长期的合作关系，同时对买方的信用状况更好地进行了解。然而，在实际商业运营中，供应商为了更有效地激励零售商增大订货量，同时促使其尽早支付货款，往往向零售商提供条件延期支付和现金折扣的组合信用条款，但是现有库存模型均未能体现这一现实情形。为契合实际，本文考虑一个非瞬时补货的库存系统，假定供应商向零售商提供条件延期支付的同时给予现金折扣激励，以年平均成本最小化为目标，研究零售商的最优订货和付款问题。首先，根据延期支付期限和补货周期的关系，分3种情形构建了零售商的库存模型；然后证明了最优解的存在性和唯一性，并利用最优解的相关性质给出了若干定理结论；接着利用相关定理结论设计了相应的算法用以确定零售商最优订货和付款策略；最后通过具体算例验证了模型和算法的可行性和实用性,并完成相关参数的敏感性分析。研究发现：

(1)设置合适的延期支付阈值，该组合信用条款能同时实现激励零售商大幅度增加订货量、促使零售商尽早支付货款的目的。反之，当延期支付阈值取值较小时，零售商的最优订货策略和付款策略将不受阈值的影响，即条件延期支付的激励机制是无效的；而当延期支付阈值取值较大时，该组合信用条款只能单方面激励零售商提前支付货款，而不能有效激励零售商增加订货量。

(2)当现金折扣期限与延期支付期限的时间间隔较短时，零售商应尽早支付货款以利用现金折扣来降低成本，反之，零售商不应提前支付货款，同时需要降低订货量，缩短补货周期，以频繁利用延期支付来获得资金的机会收益。

(3)取值适中的现金折扣比例能够促使零售商尽早支付货款，同时适当增加订货量，反之，过大或过小的现金折扣比例取值，都将导致现金折扣的激励机制无效。此外，在同等大小的现金折扣比例取值下，零售商选择接受现金折扣期限和延期支付期限的时间间隔较短的现金折扣信用条款是最优的。

总之，本文所研究的库存模型可认为是对现有模型的修正和拓展。另外，本文仅从零售商的角度来研究条件延期支付和现金折扣组合信用条款下的库存问题，未来将从供应商的视角出发，探讨该组合信用条款的参数设计问题将具有重大现实意义。