基于互协方差稀疏重构的MIMO雷达低仰角估计算法

张子鑫, 胡国平, 周 豪, 占成宏,2

(1. 空军工程大学防空反导学院, 陕西 西安 710051; 2. 空军工程大学研究生院, 陕西 西安 710051)

0 引 言

多输入多输出(multi-input and multi-output,MIMO)雷达具有多个输入和输出阵元,各个阵元发射相互正交的信号,具有波形分集、空间分集的能力,是当前研究的热点。针对低空目标多径效应问题,引入MIMO雷达[1-2]能够有效解决多径效应对目标估计带来的不利影响[3-6],但MIMO雷达低空目标角度估计仍然是目前亟待解决的难点之一。

传统的波达方向(direction of arrival, DOA)估计算法主要有基于特征分解的多重信号分类(multiple signal classification, MUSIC)算法[7]和子空间旋转不变技术估计参数(estimating signal parameter via rotational invariance techniques, ESPRIT)算法[8]等。针对低空目标,广义多重信号分类算法[9-11]是将直射回波信号和多径反射回波信号合起来看作一个信号来进行特征分解求解信号子空间和噪声子空间,进而对直射回波信号和多径反射回波信号的DOA进行联合估计。有学者提出了一种基于波束空间的MIMO雷达低空目标DOA算法[12],该算法将MIMO雷达虚拟域与广义MUSIC算法结合共同用于低空目标DOA估计,在保证估计精度的同时降低了复杂度。文献[13] 提出了一种双基地MIMO雷达联合波离方向(direction of departure, DOD)DOA估计的新方法,该算法将ESPRIT和MUSIC联合,在将二维测向分解为双一维测向的基础上,利用ESPRIT方法估计DOD,并利用Root-MUSIC进行DOA估计,同时保证了算法的精度和复杂度。文献[14]提出了一种基于单基地MIMO雷达的降维(reduced dimension, RD) ESPRIT算法,在低信噪比的条件下,该算法在保证估计精度的同时降低了算法复杂度。

近年来,压缩感知理论[15-18]的提出,突破了传统的奈奎斯特采样定理。在压缩感知理论中对信号进行重构只需要少量的观测数据,同时利用信号在空域中的稀疏性就可以实现,并且在相干信源的情况下,相比于传统DOA估计算法有着更好的性能。文献[19]开创性地实现了对阵列输出数据的稀疏表示,并结合奇异值分解(singular value decomposition, SVD),提出了L1-SVD算法,通过SVD减小数据矩阵的规模来降低算法复杂度,但需要预知信源个数。文献[20]利用阵列输出数据的协方差矩阵的误差满足渐近正态分布,提出了一种无需知晓信源个数就能对相干信号进行DOA估计的L1-SRACV算法,但其运算量较大。对此有学者将KR(Khatri-Rao)积变换引入到L1-SRACV算法当中进行DOA估计[21],降低了算法的运算量, 但是无法对相干信号进行有效估计。针对相干目标,空域平滑稀疏表示DOA估计算法[22]首先对信号进行解相干,再利用L1-SRACV算法进行估计,有效提高了算法精度。Salama根据最小方差失真响应原理提出一种改进的自适应LASSO算法[23],该方法无需SVD且可检测更多目标,相比于传统LASSO方法具有更高的估计性能。文献[24]研究了利用原子范数最小化法估计线性阵列波束空间DOA的方法,减小了运算量。文献[25]提出了一种互协方差矩阵压缩感知DOA估计算法,利用多快拍数互协方差矩阵的特点降低了噪声的影响。本文将压缩感知与MIMO雷达相结合,引入KR积变换,并利用多快拍数据中互协方差矩阵噪声不相关的特性,减小了噪声的影响,然后构造冗余字典,将角度估计转化为凸优化问题,最后利用CVX等凸优化工具包进行求解。

1 MIMO雷达多径信号模型

以相参型收发共置MIMO雷达为基础,图1为MIMO雷达低空目标多径信号模型,图1中发射信号的传输路径为虚线部分,接收信号的传输路径为实线部分,由图1可得,MIMO雷达低空目标多径信号在收发过程中一共有4条传输路径,分别为雷达直射到目标,再由目标直射到雷达;雷达直射到目标,再由目标通过地面反射到雷达;雷达通过地面反射到目标,再由目标直射到雷达;雷达通过地面反射到目标,再由目标通过地面反射到雷达。

图1 多径情况下MIMO雷达收发信号示意图

假设单基地MIMO雷达为M个全向阵元组成的均匀线阵,阵元间隔为半波长d,阵列均置于y轴。空域中低空目标为K个,θdk和θrk分别为第k个目标的直射信号DOA和多径反射信号DOA。MIMO雷达发射信号的M个阵元发射矩阵为

SF(t)=[sF1(t),sF2(t), …,sFM(t)]T

(1)

式中,sFm(t)表示第m个阵元的发射信号。

根据MIMO雷达的特性,其M个阵元发射的信号是一组相互正交的信号,即发射信号需满足

(2)

K个目标接收到的信号为

(3)

式中,A(θ)为方向矩阵,可表示为

A(θ)=[a(θd1),a(θr1),a(θd2),a(θr2),…,a(θdK),a(θrK)]

(4)

其中,a(θdk)=[1， e-jβdk， …， e-j(M-1)βdk]T表示第k个目标直达波的导向矢量,其中βdk=2πdsinθdk/λ,a(θrk)同理为第k个目标反射波的导向矢量;εk=ρkej2πΔRk/λ为第k个目标的总反射系数,其中ρk为复反射系数,2πΔRk/λ为目标直射信号和多径反射信号的路程差引起的相位差。

为了便于表示,设:

(5)

则MIMO雷达接收回波时信号矩阵可表示为

X(t)=A(θ)ωαST(t)+N(t)=A(θ)ωαωTA(θ)HSF(t)+N(t)

(6)

已知发射矩阵为SF(t),对单基地MIMO雷达的多径回波信号进行广义匹配滤波可得

Y(l)=E[X(t)SF(t)H]=A(θ)ωωTA(θ)H+V(l)

(7)

根据式(7),将单基地MIMO雷达多径回波信号广义匹配滤波后的虚拟矩阵向量化,可进一步增大单基地MIMO雷达的虚拟孔径:

Yv(l)=vec(Y(l))=(A(θ)∘A(θ))Λ+vec(V)=(A(θ)∘A(θ))Λ+v

(8)

A(θ)∘A(θ)=[a(θd1)⊗a(θd1),a(θr1)⊗a(θr1),…,a(θdK)⊗a(θdK),a(θrK)⊗a(θrK)]

(9)

式中,⊗表示Kronecker积。

2 基于互协方差矩阵稀疏重构低仰角估计算法

2.1 降维变换

(10)

由导向矢量的表达式,能够发现如下关系:

a(θd1)⊗a(θd1)=Gb(θd1)

(11)

(12)

定义WGHG=diag(1,2…,M-1,M,M-1…,1),其中diag(·)为对角矩阵,其对角线元素分别对应括号中的元素,其余位置元素为0。对MIMO雷达多径回波接收信号进行左乘降维变换,可得

(13)

降维变换前后的数据信噪比分别为

(14)

(15)

式中,tr(·)为矩阵的迹。

(16)

由式(16)可以看出,通过降维变换处理能够增大信噪比,进而提高算法估计精度。

2.2 互协方差矩阵稀疏重构低仰角估计算法

(17)

(18)

(19)

(20)

式中,Q(h,∶)表示Q矩阵的第h行；01×(2M-1)表示1×(2M-1)的零矩阵。所以互协方差可以表示为

R21=W1/2ΘQ

(21)

(22)

(23)

至此,可以将基于互协方差矩阵稀疏重构的MIMO雷达低仰角估计算法的步骤总结如下:

步骤 1根据第1节将MIMO雷达多径信号模型进行广义匹配滤波,计算虚拟矩阵Y(l),并进行向量化得到更大的虚拟孔径Yv(l),按一定的快拍数采样;

步骤 4根据式(21)构建冗余字典Θ和稀疏矩阵Q;

3 仿真结果

在仿真实验中,假设单基地MIMO雷达与常规阵列雷达均为全向阵元组成的均匀线阵,阵元间隔为信号波长的1/2,阵列均置于y轴,阵元数M=12,且MIMO雷达各个阵元发射的信号相互正交。低空目标个数为1个,其直射信号DOA和多径反射信号DOA分别为θd=2°和θr=-2°,总反射系数ε=0.9ej120/180π;快拍数L为300次,信噪比为10 dB。通过实验将本文算法、L1-SRACV算法和L1-SVD算法的估计性能进行对比,检验了本文算法在多径效应下对低空目标的角度估计性能。

图2为3种算法的归一化空间谱。从图2中可以看出3种重构算法的空间谱呈现针状,具有较高的角度分辨率,但本文算法相比于其他两种算法能够更精准地估计出目标直达波与反射波的来波方向,对多径信号测角性能更好。

图2 3种算法的空间谱

图3为快拍数L=300,信噪比由-14～14 dB变化,蒙特卡罗实验次数为200时,不同信噪比条件下3种算法的均方根误差(root mean square error,RMSE)。

图3 不同信噪比下3种算法的RMSE

定义RMSE为

(24)

图4为快拍数L=300,信噪比由-14～14 dB变化,蒙特卡罗实验次数为200时,不同信噪比条件下3种算法的发现概率。估计不成功时RMSE记为2°。

图4 不同信噪比下3种算法的发现概率

由图3和图4分析可以看出,在处理多径效应下低空目标DOA估计中,3种算法的RMSE均随着信噪比的增大而逐渐减小,成功估计目标的概率均随着信噪比的增大而逐渐增大。说明随着信噪比的增大,3种算法的估计性能均有所提高。通过对比3种算法能够看出,L1-SRACV算法即使在高信噪比条件下也不能很好地估计出信号来波方向,算法性能较差;L1-SVD算法只有在高信噪比条件下才能表现出较好的性能,但不如本文算法;本文算法在低信噪比条件下也具有较好的性能,对低空目标的DOA估计性能明显优于其他算法。

图5为信噪比为10 dB,快拍数L从100到500变化,蒙特卡罗实验次数为200时,3种算法在不同快拍数下的RMSE。

图5 不同快拍数下3种算法的RMSE

图6为信噪比为10 dB,快拍数L从100到500变化,蒙特卡罗实验次数为200时,3种算法在不同快拍数下的成功估计概率。估计不成功时RMSE记为2°。

图6 不同快拍数下3种算法的发现概率

由图5和图6分析可以看出,在处理多径效应下目标来波方向估计中,随着快拍数的增加,3种算法的RMSE均逐渐减小,成功估计目标的概率逐渐增大。说明随着快拍数的增加,3种算法的估计性能均有所提高。通过对比3种算法能够看出,L1-SRACV算法随着快拍数的不断增加对多径信号来波方向的估计性能的提升较小;L1-SVD算法的估计能力略有提升,但性能一般;本文算法在低快拍条件下也具有较好的性能,对低空目标的DOA估计性能明显优于其他算法。

4 结束语

本文通过对MIMO雷达多径接收信号广义匹配滤波后的虚拟矩阵向量化处理,得到虚拟孔径扩展,并且利用多快拍数互协方差矩阵中噪声互不相关的优点,有效降低了噪声的影响;针对虚拟矩阵向量化后运算量增大的问题,算法在利用互协方差矩阵之前先进行了降维处理,降低信号的维度,减小计算量,同时提高了信噪比;然后,利用稀疏重构算法能够省去解相干过程,无需信源数目的先验知识能对多径信号进行DOA估计。另外,本文算法虽然对接收数据进行了降维处理,但是算法复杂度上仍然比L1-SVD算法大,在信源数较少时,算法复杂度远远大于传统的DOA估计算法,但本文算法无需信源数目的先验知识以及低信噪比条件下仍然有较高的估计性能的优点是其他算法不能达到的。仿真实验验证了算法的有效性。