双曲线模型在地铁隧道道床沉降监测中的应用

◇三亚水文地质工程地质勘察院 刘 伟

随着城市经济不断发展和地面交通量的饱和，地铁已成为现今现代化必不可少的公共交通。但是，运营期的轨道长时间使用，难免会发生轨道道床沉降，过大的沉降变形会危及到列车的行驶安全，因此进行科学的、有针对性的地铁隧道道床的沉降监测的同时，还要建立模型进行道床沉降分析预报，提前采取预防措施。本文结合武汉某地铁监测实例，对地铁隧道道床沉降监测数据进行了分析研究，对变形预报的几种常用模型，进行了简要介绍，分析比较了其优势与不足，分析比较了模型的适用性，结果表明双曲线模型用于沉降预测的精度较高。

20世纪中叶以来，随着城市化进展速度不断的加快，各国城市人口增长迅猛，城市建设规模空前扩张。伴随而来的便是城市地面交通量呈急剧增长的态势，地面交通已经不堪重负，导致了城市交通堵塞，人们出行难，用车难等一系列问题。所以为了缓解地面交通问题，合理开发和利用地下空间，使其为公共交通服务成了全世界共同关注的课题。有人说:“19世纪是桥梁诞生的世纪，20世纪是高层建筑蓬勃发展的世纪，那么21世纪则是人类开发和利用地下空间的世纪”。

然而，与其他地下工程相似，地铁隧道一般建在软弱的第四纪冲积土层，且地质情况较为复杂，地下各类管线交错穿插，十分密集。施工又不可避免的穿越城市相较繁华的商业中心。所以必将引起地铁隧道道床，甚至整个地铁隧道的纵向沉降，一定范围内的变形沉降可视为正常情况。然而变形沉降量超过了正常情况下的变形界限，尤其是不均匀沉降。将会引起地铁隧道道床发生沉降变形，给地铁正常运行带来隐患。所以为了避免由于不均匀沉降对地铁隧道造成的巨大危害，保护隧道道床及隧道的整体结构，避免周围建筑物受影响，必须对地铁隧道道床进行沉降监测，对监测数据及时分析反馈，提前采取措施，防止事故发生。

1 常用的预报模型

目前常用的用于地铁隧道道床沉降的预测方法主要有：双曲线模型，幂多项式模型，时间序列模型和灰色模型。

1.1 双曲线模型

在使用该模型时有一个默认的近似假设，即沉降量与时间成双曲线关系。在作图时将“沉降—时间”作为时间起点的时间零点，沉降曲线的关系是满足双曲线公式，因此时间与沉降之间的关系双曲线表示。

两边取倒数得：

其中：

总的来说，双曲线模型清晰易懂，简单实用。可解决地铁隧道道床的非线性沉降问题。该模型在应用于地铁隧道道床的沉降预测方面并取得了良好的效果。并且沉降达到一定稳定程度后，模型效果更加准确。

1.2 幂多项式模型

此模型一般用在路堤沉降的预测，很少有研究人员将该模型用在地铁隧道道床的沉降预测中，直到刘加湾[10]首次在其论文中将幂多项式用在地铁隧道沉降预测中，并取得很好的预测效果，其原理是：地铁隧道道床沉降量随着时间的增大而不断增大，但其增长速度会逐渐减小并趋于某一定值。同样，沉降量的倒数和时间倒数也必须满足：当时间不断往后推移，即时间不断增大时，时间倒数减小，那么沉降的倒数也相应的减小，那么沉降量便会增加。

利用该模型时参数得求解可以利用Excel求得，方便快捷，但是幂多项式模型只是一种纯数学模型，可以用来计算，不能用来分析地铁隧道道床沉降的机理等实际问题。

1.3 时间序列模型

通过观测数据的整个过程我们可以发现，不管采取时间排序还是空间位置排序，这两种方法之间都会存在不同程度的自相关关系，但是我们常用来处理该类数据的方法都假设他们之间没有相关性，都是独立的数据，因此从严格意义而言这种方法的处理方式不符合该此类项目的数据处理，所以需要新的方法来解决。此次介绍的方法是一种动态的处理方法，诞生于20世纪20年代的一种方法，经过后来的发展，广泛用于多个领域。最大的优点在于观测得到的数据是不连续的，但是在观测过程中需要考虑到时间顺序，通过分析前面所得的数据可以初步也测后面的结果，利用所得的数据结果进行建立数学模型，用来分析具有的相关特征。它与通常所用的回归模型有很大的区别：主要区别在于回归模型用来分析某一个随机变量与其他变量之间的关系，但对于某一时间序列下所获得的一组数据表示其之间的相关关系，此外，一般而言在实际的生产工程中的情况都是很复杂的，不能用某一条曲线或者某一个公式来展示，因此我们需要利用在这个随机过程中所产生的数据之间的关系来表示特殊的规律。

在所有的时间序列的不同时刻的随机变量，彼此之间有相互关系，因此这就是一种较复杂的动态数据模型。

1.4 灰色模型

我国著名学者邓聚龙教授于20世纪80年代提出了一种新的用来解决信息不完善的分析方法，称之为灰色模型，经过后期的发展已经得到了很广泛的应用。一般传统的方法认为系统产生的过程就是随机变量产生的过程，从统计角度概率论出发，对所获得的数据进行分析处理，但是如果对于该过程中所产生的数据较少，不具有统计的最剧本要求时，该种方法的使用就遇到了困难，需要新的方法来解决。灰色分析法将随机过程认为是在一定范围内变化的灰色过程，经再次此过程产生的杂乱的数据整理为一定的数列数据，在此基础上做研究。即用有些数据是已经知道的，有些数据是不知道的样本数据作为研究对象，通过对这些“小样本”数据进行开发研究，提取有用的信息的过程。虽然灰色理论产生的数据是杂乱无章的，但具有整体功能，因此灰数的产生就是寻找规律。

Gm（1，1）灰色模型是灰色系统理论里的基本模型，其原理是将一些随机上下波动的离散数据序列进行累加生成有规律的数据序列，然后进行建模预测。地铁沉降监测的数据通常都是非等时距的时间序列，因此在建立灰色模型前，首先要对沉降数据进行处理，将其转化为等时距数据序列。

2 工程实例

结合武汉某地铁四期的道床实测数据，利用经典曲线方法构建地铁隧道道床沉降的双曲线模型，从而对该隧道道床的沉降变形趋势做预测。

（1）构建双曲线模型：

（2）取首期观测时间，即3月11日为时间零点，这时认为它的沉降变形量为零，为双曲线模型的起始点（0，0）。

（3）以R1为例，计算其双曲线模型，令：

已知第一期为时间零点，令第二期相对于第一期沉降记作2过程，第三期相对于第一期沉降记作3过程，第四期相对于第一期沉降记作4过程。则。

已知一周期为20天，则：

第二期相对于第一期，第三期相对于第一期，第四期相对于第一期的沉降量。所以沉降量如下：

其中：

所以带入式子可求得：

所以可求得：

带入式（9）得双曲线模型：

所以计算到这就可以得出R1的双曲线沉降预报模型，将任意时刻的带入，便可得知该时刻的R1的道床沉降量。

按照此方法，可以将所有监测点的沉降预测模型求出来如下：

表1 各点的沉降预测曲线

验证模型是否正确：

现已知第五期的实际观测高程，如表2第五列所示。令第五期观测距第一期观测间隔为，则易知。带入求得的双曲线模型，可得以下结果：

表2 各点的预计和实测高程以及预计和实际沉降量结果

其中，第五期实际高程表示实际观测结果，第五期预计高程表示通过双曲线预报模型求得的理论高程，第五期相对于第一期预计沉降量表示表示通过双曲线预报模型计算出来的第五期相对于第一期的理论沉降量,第五期相对于第一期的实际沉降量为第五期高程与第一期高程之间的差值。

通过计算，我们可以把所有点的沉降趋势用双曲线模型表示出来，并绘制第五期相对于第一期的预计和实际沉降量对比如图1所示。

图1 第五期相对于第一期的预计和实际沉降量对比图

可以看出，除了R2，R3两个点的预计沉降量和实际沉降量相差较大，大约差了1 mm～1.5 mm。剩下的监测点预计沉降累积量和实际沉降累积量大致相同。这就证明了双曲线模型用在地铁隧道道床沉降预测具有可行性。

3 结语

双曲线沉降预测计算方法是以现场实测沉降数据为基础，并结合沉降随时间的变化曲线、沉降量的变化趋势情况，对地铁隧道道床的最终沉降进行预测，预测效果较好，计算误差较小，能够较为准确的预测地铁隧道道床沉降量。在上述计算过程中，基本上没有涉及到土体的各项物理和力学性质参数，能够适用于各种工程地质条件，计算过程简单快捷，广泛应用于实际工程的最终沉降预测。