各向同性与各向异性损伤理论的比较研究

谷 钰

（1.安徽省建筑科学研究设计院，安徽 合肥 230031 ；2.安徽省建筑工程质量第二监督检测站，安徽 合肥 230031）

材料在成型过程中会产生微裂纹、微空洞等细观结构缺陷，其受到外部荷载的影响时，材料中微裂纹的发展及各种微观结构的相互影响作用，最终会形成宏观裂缝直至材料完全破坏。这种损伤过程会使承载能力减弱，同时承载面积变小，降低材料的力学性能，影响结构的使用寿命，为了能够正确分析材料的力学行为，研究在外部荷载和环境作用下，由损伤介质引起的材料的损伤演化过程， 即为损伤力学。 1963 年Kachanov- rabotnov 首次提出了金属的损伤变量这一概念，在此基础上，经过进一步研究，Mazars 提出经典损伤本构模型，经过几十年的研究，损伤力学理论已经形成了连续损伤力学和细观损伤力学两大主要分支。

连续损伤力学（Continuum damage mechanics）是从连续介质力学和不可逆热力学理论基础上发展而来的，通过材料的宏观力学性质及损伤演化过程，引入合适的损伤变量，利用不可逆热力学理论建立损伤本构模型，使损伤本构模型计算得到的材料力学行为符合实际情况，与试验结果一致。相较于考虑材料细观结构的细观损伤力学，只考虑材料的宏观力学行为的连续损伤力学更容易用于实际问题的分析研究，应用更为广泛。

目前广泛使用的一些经典损伤理论，包括Kachanov- rabotnov 损伤理论，Mazars 经典损伤理论等等，皆假定损伤是各向同性的，采用的损伤变量为标量损伤变量，即在材料劣化过程的所有方向上损伤变量均相同。而在材料损伤过程中，外部施加应力和应变的方向往往决定了微裂纹产生和发展的方向，显然损伤过程是各向异性的。各向同性损伤理论没有考虑微裂纹、微空洞的方向性，不符合实际材料的损伤演化过程，因此考虑各向异性损伤模型能够更加准确地描述材料损伤的力学行为。

在连续损伤力学理论基础上，建立损伤模型最重要的是定义合适的损伤变量，选择适当的损伤变量来表示存在各种劣化的损伤材料的力学特征，考虑到损伤的各向异性时，采用的损伤变量可以定义为一个矢量、二阶张量或者四阶张量。之后，通过未损伤材料和损伤材料的各种等效假定，利用未损伤材料的本构方程推导出损伤材料的本构方程。

1 各向同性损伤理论

1.1Kachanov-rabotnov 损伤理论

1958 年，Kachanov 在研究金属材料的蠕变断裂情况时提出了连续度的概念，即有效承载面面积与初始承载面面积的比值，将材料中复杂离散的损伤过程简单化。1963 年，Rabotnov 定义材料的损伤因子D，当D=1 时，材料处于完全损伤状态；当D=0 时，材料处于初始未损伤状态。Kachanov- rabotnov 损伤理论假定材料损伤的主要特征是，微裂纹扩展会使得有效承载面积的A减小，可以得到有效应力的表达式，并利用有效应力建立损伤演化方程。

1.2 Mazars 损伤理论

经典Mazars 损伤理论假定损伤材料是各向同性的，但在受到拉伸和压缩应力时表现出不同损伤情况，在受到拉伸应力时，微裂纹的产生与发展与受力方向一致；而在受到压缩应力时，微裂纹沿受力的垂直方向发展，由于泊松效应，微裂纹发展较为缓慢。因此采用双模量损伤变量，即分别定义拉伸损伤变量为D，压缩损伤变量为D，则在单轴加载情况下，损伤变量为D=αD+αD，其中α、α为拉伸和压缩时的材料常数。

Mazars 通过实验分析，拟合出材料的应力应变曲线，并结合损伤材料的应力应变关系式σ=（1- D）E∶ε，式中E是未损伤材料的四阶弹性刚度张量，推导出损伤演化方程，其中A、A、B、B为材料常数，ε为初始损伤阈值，ε为等效应变。

2 各向异性蠕变损伤理论

2.1Murakam i 损伤理论

在连续损伤力学理论框架下，Murakami 损伤理论能够描述各向异性损伤状态下的材料，并给出有效应力张量的定义。为了将Kachanov- rabotnov经典蠕变损伤理论推广到一般的三维各向异性损伤理论，需要建立合理的各向异性损伤模型，故引入虚拟的无损伤构造，其力学性质等效于损伤材料的真实构造，Murakami 定义损伤变量为对称的二阶张量。

正确理解材料损伤过程中的力学行为，对定义损伤变量、建立损伤演化方程至关重要。Murakami 同样认为材料中微裂纹的扩展会引起有效承载面积的减小，定义一个虚拟的变形梯度G 来表示虚拟未损伤构造到当前损伤构造状态下由于损伤导致的净面积减小。在这种虚拟未损伤构造中，存在有效承载面积越小，净面积承载应力越大的关系，即等式σA=σ A。Kachanov- rabotnov 损伤理论得到的等式（1）很难描述由三维各向异性微裂纹扩展产生的损伤状态，因此考虑引入一个二阶张量定义损伤变量。

即时损伤构造中的承载面积PQR等效于虚拟未损构造中的PQR，由于损伤导致的有效承载面积的减小不止发生在PQR 平面上，同时也发生在其它各个方向的平面上，因此vdA 和vdA的方向不一定相同。将平面PQR 和平面PQR通过变形梯度G 建立关系式：

由等式（4）可以看出，损伤状态下的构造可以由K（G）线性转化为假定的虚拟未损伤状态下的构造。为了方便计算，引入二阶张量（I-D）代替张量K（G），其中I 为单位二阶张量，D 为各向异性损伤材料中内部状态变量的二阶张量，即损伤构造的损伤变量。值得注意的是，材料受损过程中存在内部损伤演化和外部宏观变形，在材料存在大的宏观裂缝时则不能使用损内部状态变量D。由于vdA 等效于vdA，则（I-D）应为正定的二阶张量，可将其分解为对称部分和反对称部分，仅考虑反对称部分，有：

因此Murakami 损伤理论定义的损伤变量为对称二阶张量。

3 各向异性脆性损伤模型

岩石、混凝土等准脆性材料的应力应变曲线通常有线性阶段、非线性阶段、应变软化等阶段，当外部荷载到达承载力极限前，会发生应变强化阶段，随着外部荷载的持续增加至承载力极限时，出现应变软化，构件的承载能力逐渐下降。

3.1Sidoroff 损伤理论

但是，Sidoroff 提出的能量等效假设存在一定的缺陷，并未考虑到损伤导致的能量耗散以及有效体积等材料的形状变化。

4 总结

研究材料的损伤演化过程的前提是建立合适的损伤本构模型，目前，学者们普遍重视材料的损伤研究，提出了各种不同的描述材料损伤的理论，建立了各种损伤本构模型，其中最重要的是选择合适的损伤变量，在各向异性损伤理论中采用张量作为损伤变量，往往会导致模型研究困难加大，首先难以直接表示材料变形特征，其次通过分析计算得到的损伤刚度矩阵不对称，因此不适用于实际工程应用中。所以目前在工程实际中仍优先采用各向同性损伤模型，即标量损伤变量。考虑到材料单边效应，即在受拉和受压作用下材料的强度和变形不同，可以采用双模量损伤变量，分别定义受拉、受压作用下的损伤变量。